REĀLIE SKAITĻI: VĒSTURE, PIEMĒRI, REKVIZĪTI, OPERĀCIJAS - MATEMĀTIKA - 2025

Ar reāliem skaitļiem veido skaitlisko komplektu, kas ietver dabas numurus, veselus skaitļus, racionālo un neracionāla. Tos apzīmē ar simbolu ℝ vai vienkārši R, un to darbības joma zinātnē, inženierzinātnēs un ekonomikā ir tāda, ka, runājot par “skaitli”, gandrīz tiek uzskatīts par pašsaprotamu, ka tas ir reāls skaitlis.

Reāli skaitļi tiek izmantoti kopš seniem laikiem, lai gan viņiem šis vārds netika dots. Jau no brīža, kad Pitagors izstrādāja savu slaveno teorēmu, radās skaitļi, kurus nevarēja iegūt kā naturālo skaitļu vai veselu skaitļu koeficientus.

1. attēls. Venna diagramma, kurā parādīts, kā reālo skaitļu kopā ietilpst pārējās skaitļu kopas. Avots> Wikimedia Commons.

Ciparu piemēri ir √2, √3 un π. Šos skaitļus sauc par neracionāliem pretstatā racionālajiem skaitļiem, kas nāk no veselu skaitļu koeficientiem. Tāpēc bija nepieciešams ciparu komplekts, kas aptver abas numuru klases.

Terminu "reālais skaitlis" izveidoja lielais matemātiķis Renē Dekarts (1596-1650), lai atšķirtu divu veidu saknes, kas var rasties, atrisinot polinoma vienādojumu.

Dažas no šīm saknēm var būt pat negatīvu skaitļu saknes, Dekarts sauca šos "iedomātos skaitļus", un tie, kas nebija, bija reāli skaitļi.

Denominācija saglabājās laika gaitā, radot divas lielas skaitliskās kopas: reālos skaitļus un sarežģītos skaitļus, lielāku kopu, kas ietver reālos skaitļus, iedomātos skaitļus un tos, kas ir daļēji reāli un daļēji iedomāti.

Reālo skaitļu evolūcija turpināja savu gaitu, līdz 1872. gadā matemātiķis Ričards Dedekinds (1831–1936) formāli definēja reālo skaitļu kopumu, izmantojot tā sauktos Dedekind griezumus. Viņa darba sintēze tika publicēta rakstā, kas tajā pašā gadā ieraudzīja gaismu.

Reālo skaitļu piemēri

Zemāk esošajā tabulā parādīti reālo skaitļu piemēri. Šajā komplektā kā apakšgrupas ir naturālie skaitļi, veseli skaitļi, racionālais un iracionālais. Jebkurš šo kopu skaits pats par sevi ir reāls skaitlis.

Tāpēc 0, negatīvi, pozitīvi, frakcijas un decimāldaļas ir reālie skaitļi.

2. attēls. Reālo skaitļu piemēri ir dabiski, veseli skaitļi, racionāli, neracionāli un pārpasaulīgi. Avots: F. Zapata.

Reālo skaitļu attēlojums reālajā līnijā

Reālos skaitļus var attēlot uz reālās līnijas R , kā parādīts attēlā. Nav nepieciešams, lai 0 vienmēr būtu klāt, tomēr ir ērti zināt, ka negatīvās reālijas atrodas pa kreisi un pozitīvās - pa labi. Tāpēc tas ir lielisks atskaites punkts.

Reālajā rindā tiek ņemta skala, kurā tiek atrasti veseli skaitļi:… 3, -2, -1, 1, 2, 3…. Bultiņa norāda, ka līnija stiepjas līdz bezgalībai. Bet tas vēl nav viss, jebkurā aplūkotajā intervālā vienmēr atradīsim arī bezgalīgus reālos skaitļus.

Reālie skaitļi tiek attēloti secībā. Sākumā ir veselo skaitļu secība, kurā pozitīvie vienmēr ir lielāki par 0, bet negatīvie ir mazāki.

Šis pasūtījums tiek turēts reālajos skaitļos. Kā piemērs parādītas šādas nevienlīdzības:

a) -1/2 <√2

b) e <π

c) π> -1/2

3. attēls. Īstā līnija. Avots: Wikimedia Commons.

Reālo skaitļu īpašības

-Reālie skaitļi ietver naturālos skaitļus, veselus skaitļus, racionālus skaitļus un neracionālus skaitļus.

-Piepildīšanas komutācijas īpašība ir izpildīta: papildinājumu secība nemaina summu. Ja a un b ir divi reāli skaitļi, vienmēr ir taisnība, ka:

a + b = b + a

-0 ir summas neitrālais elements: a + 0 = a

-Par summu tiek izpildīts asociatīvais īpašums. Ja a, b un c ir reālie skaitļi: (a + b) + c = a + (b + c).

-Pretība reālajam skaitlim ir -a.

-Atņemšanu definē kā pretējo summu: a - b = a + (-b).

-Produkta komutācijas īpašība ir izpildīta: faktoru secība produktu nemaina: ab = ba

-Ražojumā tiek piemērots arī asociatīvais īpašums: (ab) .c = a. (Bc)

-1 ir reizināšanas neitrāls elements: a.1 = a

Reizināšanas dalāmais īpašums ir spēkā attiecībā uz saskaitīšanu: a. (b + c) = ab + ac

-Piedalījums ar 0 nav definēts.

-Jebkurš reālais skaitlis a, izņemot 0, ir reizināms ar apgrieztu vērtību ^-1 tā, ka aa ^-1 = 1.

-Ja a ir reāls skaitlis: a ⁰ = 1 un a ¹ = a.

-Reālā skaitļa absolūtā vērtība vai modulis ir attālums starp minēto skaitli un 0.

Operācijas ar reāliem skaitļiem

Izmantojot reālos skaitļus, jūs varat veikt operācijas, kas tiek veiktas ar citām ciparu kopām, ieskaitot saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, pilnvarošanu, izstarošanu, logaritmus un daudz ko citu.

Kā vienmēr, dalījums ar 0 nav definēts, tāpat nav definēti negatīvo skaitļu vai 0 logaritmi, lai gan ir taisnība, ka log 1 = 0 un ka skaitļu logaritmi starp 0 un 1 ir negatīvi.

Lietojumprogrammas

Reālo skaitļu pielietojums visu veidu situācijās ir ļoti atšķirīgs. Reālie skaitļi parādās kā atbildes uz daudzām eksakto zinātņu, datorzinātņu, inženierzinātņu, ekonomikas un sociālo zinātņu problēmām.

Visu veidu lielumi un lielumi, piemēram, attālumi, laiki, spēki, skaņas intensitāte, nauda un daudz kas cits, tiek izteikti reālos skaitļos.

Telefona signālu pārraidi, video attēlu un skaņu, gaisa kondicionētāja, sildītāja vai ledusskapja temperatūru var kontrolēt digitāli, kas nozīmē fizisko lielumu pārveidošanu skaitliskās sekvencēs.

Tas pats notiek, veicot bankas darījumu internetā vai konsultējoties ar tūlītējo ziņojumapmaiņu. Reālie skaitļi ir visur.

Vingrinājums atrisināts

Ar vingrinājumiem mēs redzēsim, kā šie skaitļi darbojas ikdienišķās situācijās.

1. vingrinājums

Pasts pieņem tikai tādas pakas, kuru garums plus apkārtmērs nepārsniedz 108 collas. Tāpēc, lai parādīto paku varētu pieņemt, ir jāpārliecinās, ka:

L + 2 (x + y) ≤ 108

a) Vai iepakojums, kas ir 6 collas plats, 8 collas augsts un 5 pēdas garš, to izdarīs?

b) Kā būtu ar vienu, kura izmērs ir 2 x 2 x 4 pēdas ³ ?

c) Kāds ir visaugstākais pieļaujamais augstums iepakojumam, kura pamatne ir kvadrātā un izmērs ir 9 x 9 collas ² ?

Atbilde uz

L = 5 pēdas = 60 collas

x = 6 collas

y = 8 collas

Risināmā operācija ir šāda:

L + 2 (x + y) = 60 + 2 (6 + 8) collas = 60 + 2 x 14 collas = 60 + 28 collas = 88 collas

Komplekts tiek pieņemts.

Atbilde b

Šīs paketes izmēri ir mazāki nekā paketei a), tāpēc viņi abi to izlasa.

Atbilde c

Šajā paketē:

x = L = 9 collas

Jāievēro, ka:

9+ 2 (9 + y) ≤ 108

27 + 2y ≤ 108

2y ≤ 81

un ≤ 40,5 collas

Atsauces

1. Kerna, M. 2019. Pirmsuniversitātes matemātikas rokasgrāmata. Litoralas Nacionālā universitāte.
2. Diego, A. Reālie skaitļi un to īpašības. Atgūts no: matematica.uns.edu.ar.
3. Figuera, J. 2000. Matemātika 9.kl. Grāds. CO-BO izdevumi.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
5. Stewart, J. 2006. Precalculus: Calculus matemātika. 5. Izdevums. Cengage mācīšanās.