VESELI SKAITĻI: ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par veseli skaitļi ir noderīgas skaitļu skaitīt objektus pilnīgu bagātajiem un nav. Skaitīt arī tos, kuri atrodas vienā un otrā pusē noteiktā atsauces vietā.

Arī ar veselajiem skaitļiem jūs varat veikt atņemšanu vai starpību starp skaitli un citu, kas ir lielāks par to, piemēram, rezultāts tiek nokārtots kā parāds. Atšķirība starp ienākumiem un parādiem tiek veikta attiecīgi ar + un - zīmēm.

1. attēls. Ciparu rinda veseliem skaitļiem. Avots: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Tāpēc veselo skaitļu komplektā ietilpst:

-Pozitīvi veseli skaitļi, kas ir rakstīti pirms + zīmes vai vienkārši bez zīmes, jo ir arī saprotams, ka tie ir pozitīvi. Piemēram: +1, +2, + 3… un tā tālāk.

-0, kurā apzīmējumam nav nozīmes, jo nav nozīmes to pievienot, lai to atņemtu no kāda daudzuma. Bet 0 ir ļoti svarīgs, jo tas ir atsauce uz veseliem skaitļiem: vienā pusē ir pozitīvi, bet otrā - negatīvi, kā mēs redzam 1. attēlā.

-Negatīvie veseli skaitļi, kas vienmēr jāraksta pirms zīmes, - jo ar tiem tiek atšķirtas tādas summas kā parādi un visas tās, kas atrodas atsauces otrā pusē. Negatīvu skaitļu piemēri ir: -1, -2, -3… un pēc tam.

Kā tiek attēloti veseli skaitļi?

Sākumā mēs attēlojam veselos skaitļus ar iestatīto apzīmējumu: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, + 4…}, tas ir, sarakstus un organizēts. Bet ļoti noderīgs attēlojums ir tas, ko izmanto ciparu rinda. Šim nolūkam ir jānovelk līnija, kas parasti ir horizontāla, uz kuras ir atzīmēta 0 un sadalīta identiskās sekcijās:

2. attēls. Veselu skaitļu attēlojums ciparu rindā. No 0 pa labi ir pozitīvi veseli skaitļi un no 0 pa kreisi - negatīvi. Avots: F. Zapata.

Negatīvie iet pa kreisi no 0 un pozitīvie iet pa labi. Bultas uz ciparu līnijas simbolizē to, ka skaitļi turpina iet uz bezgalību. Ņemot vērā veselu skaitli, vienmēr ir iespējams atrast vienu, kas ir lielāks, vai otru, kas ir mazāks.

Vesela skaitļa absolūtā vērtība

Vesela skaitļa absolūtā vērtība ir attālums starp skaitli un 0. Un attālumi vienmēr ir pozitīvi. Tāpēc negatīvā skaitļa absolūtā vērtība ir skaitlis bez tā mīnusa zīmes.

Piemēram, absolūtā vērtība -5 ir 5. Absolūto vērtību apzīmē ar joslām šādi:

--5- = 5

Lai to vizualizētu, vienkārši saskaitiet atstarpes ciparu rindā no -5 līdz 0. Kaut arī pozitīvā vesela skaitļa absolūtā vērtība ir vienāds skaitlis, piemēram, - + 3- = 3, jo tā attālums no 0 ir ar 3 atstarpēm:

3. attēls. Vesela skaitļa absolūtā vērtība vienmēr ir pozitīvs lielums. Avots: F. Zapata.

Īpašības

- Veselu skaitļu kopa tiek apzīmēta ar Z un ietver dabisko skaitļu kopu N, to elementi ir bezgalīgi.

-Veselais skaitlis un sekojošais (vai tas, kas ir pirms tā) vienmēr tiek diferencēti vienoti. Piemēram, pēc 5 nāk 6, ar 1 atšķirību starp tām.

-Katram veselam skaitlim ir priekštecis un pēctecis.

-Jebkurš pozitīvs vesels skaitlis ir lielāks par 0.

-Negatīvs vesels skaitlis vienmēr ir mazāks par 0 un jebkurš pozitīvs skaitlis. Piemēram, ņemsim skaitli -100, tas ir mazāks par 2, 10 un 50. Bet tas ir arī mazāks par -10, -20 un -99 un lielāks par -200.

- Nullei 0 nav izteiktu apsvērumu, jo tā nav ne negatīva, ne pozitīva.

-Ar veseliem skaitļiem jūs varat veikt tās pašas darbības, kas tiek veiktas ar dabiskajiem skaitļiem, proti: saskaitīšana, atņemšana, reizināšana, pilnvarošana un daudz kas cits.

-Pilns skaitlis, kas atrodas pretī noteiktam skaitlim x, ir –x, un vesela skaitļa summa ar pretējo ir 0:

x + (-x) = 0.

Operācijas ar veseliem skaitļiem

- Summa

-Ja pievienotajiem skaitļiem ir vienāda zīme, to absolūtās vērtības tiek pievienotas, un rezultāts tiek novietots ar zīmi, kāda ir papildinājumiem. Šeit ir daži piemēri:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Ja skaitļiem ir atšķirīga zīme, absolūtās vērtības tiek atņemtas (augstākā no zemākās) un rezultātu ievieto ar skaitļa zīmi ar augstāko absolūto vērtību šādi:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Veseli skaitļi

-Summa ir komutējoša, tāpēc papildinājumu secība nemaina summu. Ļaujiet a un b būt diviem skaitļiem, ir taisnība, ka a + b = b + a

-0 ir veselo skaitļu summas neitrālais elements: a + 0 = a

-Jebkurš skaitlis, kas pievienots tā pretējam, ir 0. Pretstats + a ir –a, un tieši pretēji –a ir + a. Tāpēc: (+ a) + (-a) = 0.

2. attēls. Zīmju likme veselu skaitļu pievienošanai. Avots: Wikimedia Commons.

- atņemšana

Lai atņemtu veselus skaitļus, ir jāvadās pēc šī noteikuma: atņemšana ir līdzvērtīga skaitļa pievienošanai ar pretējo. Ļaujiet a un b būt diviem skaitļiem, tad:

a - b = a + (-b)

Piemēram, pieņemsim, ka jums jāveic šāda darbība: (-3) - (+7), pēc tam:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- reizināšana

Veseli skaitļi tiek reizināti, ievērojot dažus zīmju noteikumus:

-Divu skaitļu ar vienādu zīmi reizinājums vienmēr ir pozitīvs.

-Kad tiek reizināti divi cipari ar atšķirīgām zīmēm, rezultāts vienmēr ir negatīvs.

-Produkta vērtība ir vienāda ar attiecīgo absolūto vērtību reizināšanu.

Tūlīt daži piemēri, kas izskaidro iepriekš minēto:

(-5) x (+8) = - 5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Veseli skaitļi reizināšanas īpašības

- Daudzkārtošana ir komutējoša. Ļaujiet a un b būt diviem skaitļiem, ir taisnība, ka: ab = ba, ko var izteikt arī kā:

-Reizinājuma neitrālais elements ir 1. Ļaujiet a būt vesels skaitlis, tāpēc a.1 = 1

-Jebkurš vesels skaitlis, kas reizināts ar 0, ir vienāds ar 0: a.0 = 0

Izplatīšanas īpašums

Reizināšana atbilst izplatīšanas īpašībai attiecībā uz saskaitīšanu. Ja a, b un c ir veseli skaitļi, tad:

a. (b + c) = ab + ac

Šis ir piemērs, kā piemērot šo īpašumu:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Iespējas

-Ja bāze ir pozitīva, operācijas rezultāts vienmēr ir pozitīvs.

-Kad pamatne ir negatīva, ja eksponents ir vienmērīgs, rezultāts ir pozitīvs. un ja eksponents ir nepāra, rezultāts ir negatīvs.

- nodaļa

Dalīšanai tiek piemēroti tie paši zīmju noteikumi kā reizināšanai:

- Sadalot divus veselus vienas zīmes numurus, rezultāts vienmēr ir pozitīvs.

-Kad divi veseli skaitļi ar atšķirīgām zīmēm tiek dalīti, koeficients ir negatīvs.

Piemēram:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Svarīgi : dalīšana nav komutējoša, citiem vārdiem sakot, a ÷ b ≠ b ÷ a, un, kā vienmēr, dalīšana ar 0 nav atļauta.

- Iespējas

Ļaujiet skaitlim vesels skaitlis un mēs vēlamies to pacelt līdz eksponentam n, tad mums reizina a ar sevi n reizes, kā parādīts zemāk:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Ņemiet vērā arī šādus nosacījumus, ņemot vērā, ka n ir naturāls skaitlis:

-Ja a ir negatīvs un n ir vienmērīgs, rezultāts ir pozitīvs.

-Kad a ir negatīvs un n ir nepāra, tas rada negatīvu skaitli.

-Ja a ir pozitīvs un n ir pāra vai nepāra, vienmēr tiek iegūts pozitīvs vesels skaitlis.

-Jebkurš vesels skaitlis, kas paaugstināts līdz 0, ir vienāds ar 1: a ⁰ = 1

-Jebkurš skaitlis, kas pacelts līdz 1, ir vienāds ar skaitli: a ¹ = a

Piemēram, teiksim, ka mēs vēlamies atrast (–3) ⁴ , lai to izdarītu, reizinām (-3) četras reizes pats par sevi, šādi: (–3). (–3). (–3). (–3) = 81.

Vēl viens piemērs, arī ar negatīvu skaitli:

(-2) ³ = (-2). (- 2). (- 2) = -8

Vienādu bāzu spēku reizinājums

Pieņemsim, ka divi vienlīdzīgas bāzes spēki ir, ja tos reizinot, iegūstam citu jaudu ar tādu pašu bāzi, kuras eksponents ir doto eksponentu summa:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Vienāds bāzes jaudu koeficients

Sadalot vienādas bāzes spējas, rezultāts ir jauda ar vienādu bāzi, kuras eksponents ir doto eksponentu atņemšana:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Šie ir divi piemēri, kas izskaidro šos jautājumus:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Piemēri

Apskatīsim vienkāršus piemērus šo noteikumu piemērošanai, atceroties, ka pozitīvu skaitļu gadījumā zīmi var iztikt:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = - 16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8 - 15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = - 5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = - 8

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Skudra pārvietojas pa skaitļa līniju 1. attēlā. Sākot no punkta x = +3, tā veic šādas kustības:

-Pārvieto 7 vienības pa labi

-Tagad jūs atgriezīsities 5 vienības pa kreisi

-Noiet vēl 3 vienības pa kreisi.

-Viņš atgriežas un pārvietojas 4 vienības pa labi.

Kurā brīdī skudra ir ekskursijas beigās?

Risinājums

Sauksim pārvietojumus D. Kad viņi ir pa labi, viņiem tiek dota pozitīva zīme, bet, kad viņi atrodas pa kreisi, negatīva zīme. Tādā veidā un sākot no x = +3, mums ir:

-Pirmais D: x ₁ = +3 + 7 = +10

-Otrkārt D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

-Trešais D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Room D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Kad skudra pabeidz savu gājienu, tā atrodas stāvoklī x = +6. Tas ir, tas ir 6 vienības pa labi no 0 uz ciparu līnijas.

- 2. vingrinājums

Atrisiniet šādu darbību:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Risinājums

Šajā operācijā ir grupēšanas zīmes, kas ir iekavas, kvadrātiekavas un lencītes. Risinot, vispirms jārūpējas par iekavām, pēc tam - iekavām un, visbeidzot, ar lencēm. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāstrādā no iekšpuses.

Šajā uzdevumā punkts norāda reizinājumu, bet, ja starp ciparu un iekavām vai citu simbolu nav punkta, tas tiek saprasts arī kā produkts.

Zem izšķirtspējas soli pa solim krāsas kalpo kā ceļvedis, lai sekotu iekavu samazināšanas rezultātam, kas ir visdziļākie grupēšanas simboli:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1-4]} = {52}. {- 3} = -156

- 3. vingrinājums

Atrisiniet pirmās pakāpes vienādojumu:

12 + x = 30 + 3x

Risinājums

Termini ir sagrupēti ar nezināmu pa kreisi no vienlīdzības un skaitlisku terminu pa labi:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Atsauces

1. Kerna, M. 2019. Pirmsuniversitātes matemātikas rokasgrāmata. Litoralas Nacionālā universitāte.
2. Figuera, J. 2000. 7. klases matemātika. CO-BO izdevumi.
3. Hoffmann, J. 2005. Matemātikas tēmu atlase. Monforta publikācijas.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
5. Veseli skaitļi. Atgūts no: Cimanet.uoc.edu.