VEKTORA ALGEBRA: PAMATI, LIELUMI, VEKTORI - MATEMĀTIKA

Vektoru algebra ir matemātikas nozare, kurās studijas sistēmas lineāro vienādojumu, vektoriem, matricām, vektoru telpas un lineāru transformāciju. Tas ir saistīts ar tādām jomām kā inženierija, diferenciālvienādojumu risināšana, funkcionālā analīze, operāciju izpēte, datorgrafika, cita starpā.

Vēl viena joma, kuru ir pieņēmusi lineārā algebra, ir fizika, jo caur to ir bijis iespējams attīstīt fizisko parādību izpēti, aprakstot tās, izmantojot vektorus. Tas ļāva labāk izprast Visumu.

Pamati

Vektora algebra radusies no kvadrāciju (reālo skaitļu pagarinājuma) 1, i, j un k izpētes, kā arī no Dekarta ģeometrijas, ko reklamēja Gibbs un Heaviside un kuras saprata, ka vektori kalpos par instrumentu attēlo dažādas fiziskas parādības.

Vektoru algebra tiek pētīta, izmantojot trīs pamatus:

Ģeometriski

Vektorus attēlo līnijas, kurām ir orientācija, un tādas darbības kā saskaitīšana, atņemšana un reizināšana ar reāliem skaitļiem tiek noteiktas, izmantojot ģeometriskas metodes.

Analītiski

Vektoru un to darbību apraksts tiek veikts ar cipariem, ko sauc par komponentiem. Šāda veida apraksts ir ģeometriskas attēlojuma rezultāts, jo tiek izmantota koordinātu sistēma.

Aksiomatiski

Vektoru apraksts tiek veikts neatkarīgi no koordinātu sistēmas vai jebkura veida ģeometriskā attēlojuma.

Skaitļu izpēte kosmosā tiek veikta, izmantojot to attēlojumu atsauces sistēmā, kurai var būt viena vai vairākas dimensijas. Starp galvenajām sistēmām ir:

- viendimensiju sistēma, kas ir taisna līnija, kurā viens punkts (O) apzīmē sākumu, bet cits punkts (P) nosaka mērogu (garumu) un tā virzienu:

- taisnstūrveida koordinātu sistēma (divdimensiju), kas sastāv no divām perpendikulārām līnijām, kuras sauc par x asi un y asi, un kas iet caur punkta (O) sākumu; šādā veidā plakne tiek sadalīta četros reģionos, ko sauc par kvadrantiem. Šajā gadījumā punktu (P) plaknē piešķir attālumi, kas pastāv starp asīm un P.

- Polāro koordinātu sistēma (divdimensiju). Šajā gadījumā sistēmu veido punkts O (sākums), ko sauc par polu, un stars, kura izcelsme ir O, ko sauc par polāro asi. Šajā gadījumā plaknes punktu P, atsaucoties uz polu un polāro asi, norāda ar leņķi (Ɵ), ko veido attālums, kas atrodas starp sākumu un punktu P.

- taisnstūra trīsdimensiju sistēma, ko veido trīs perpendikulāras līnijas (x, y, z), kuru sākums ir punkts O telpā. Tiek izveidotas trīs koordinātu plaknes: xy, xz un yz; telpa tiks sadalīta astoņos reģionos, kurus sauc par oktantiem. Punkta P atskaiti telpā norāda attālumi, kas pastāv starp plaknēm un P.

Magnitūdi

Lielums ir fizisks lielums, ko var saskaitīt vai izmērīt, izmantojot skaitlisku vērtību, kā dažu fizisku parādību gadījumā; tomēr daudzas reizes ir jāprot šīs parādības aprakstīt ar citiem faktoriem, nevis skaitliskiem. Tāpēc lielumus iedala divos veidos:

Skalarais lielums

Tie ir lielumi, kas ir definēti un attēloti skaitliski; tas ir, izmantojot moduli kopā ar mērvienību. Piemēram:

a) Laiks: 5 sekundes.

b) masa: 10 kg.

c) Tilpums: 40 ml.

d) temperatūra: 40 ºC.

Vektoru lielums

Tie ir lielumi, kurus nosaka un attēlo modulis kopā ar vienību, kā arī jēga un virziens. Piemēram:

a) Ātrums: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) paātrinājums: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Spēks: 280 N, 120º.

d) Svars: -40 ĵ kg-f.

Vektoru lielumus grafiski attēlo vektori.

Kas ir pārnēsātāji?

Vektori ir vektora daudzuma grafiski attēlojumi; tas ir, tie ir līnijas segmenti, kuru galīgais gals ir bultiņas gals.

Tos nosaka tā modulis vai segmenta garums, virziens, ko norāda ar bultiņas galu, un virziens atbilstoši tai līnijai, kurai tas pieder. Vektoru izcelsmi sauc arī par pielietojuma punktu.

Vektoru elementi ir šādi:

Modulis

Tas ir attālums no vektora sākuma līdz galam, ko apzīmē reālais skaitlis kopā ar vienību. Piemēram:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adrese

Tiek izmantots leņķa lielums, kas pastāv starp x asi (no pozitīvā) un vektoru, kā arī tiek izmantoti kardinālie punkti (ziemeļi, dienvidi, austrumi un rietumi).

Sajūta

To piešķir ar bultiņas galviņu, kas atrodas vektora galā, norādot, kur tā virzās.

Pārnēsātāju klasifikācija

Parasti vektorus klasificē šādi:

Fiksēts vektors

Tas ir tāds, kura piemērošanas punkts (izcelsme) ir noteikts; tas ir, tas paliek saistīts ar punktu telpā, tāpēc tajā nevar pārvietoties.

Bezmaksas vektors

Tas var brīvi pārvietoties telpā, jo tā izcelsme pārvietojas uz jebkuru punktu, nemainot tā moduli, virzienu vai virzienu.

Bīdāmais vektors

Tas ir tāds, kas var pārnest savu izcelsmi pa darbības līniju, nemainot tā moduli, virzienu vai virzienu.

Vektoru īpašības

Starp galvenajām vektoru īpašībām ir šādas:

Vektoru komandu apskats

Tie ir brīvie vektori, kuriem ir vienāds modulis, virziens (vai tie ir paralēli) un jēga kā slīdošajam vektoram vai fiksētam vektoram.

Ekvivalenti vektori

Tas notiek, ja diviem vektoriem ir vienāds virziens (vai ir paralēli), viena un tā pati jēga, un, neskatoties uz to, ka tiem ir dažādi moduļi un pielietojuma punkti, tie rada vienādus efektus.

Vektoru vienlīdzība

Tiem ir vienāds modulis, virziens un jēga, pat ja to sākuma punkti ir atšķirīgi, kas ļauj paralēlam vektoram sevi iztulkot, neietekmējot to.

Pretēji vektori

Tie ir tie, kuriem ir vienāds modulis un virziens, bet to nozīme ir pretēja.

Vienības vektors

Tajā modulis ir vienāds ar vienību (1). To iegūst, dalot vektoru ar tā moduli, un to izmanto, lai noteiktu vektora virzienu un izjūtu plaknē vai telpā, izmantojot bāzes vai normalizētus vienību vektorus, kas ir:

Nulles vektors

Tas ir tāds, kura modulis ir vienāds ar 0; tas ir, tā sākuma un beigu punkts sakrīt vienā un tajā pašā punktā.

Vektoru komponenti

Vektora komponenti ir tās vektora projekcijas vērtības uz atskaites sistēmas asīm; Atkarībā no vektora sadalīšanās, kas var būt uz divām vai trīsdimensiju asīm, iegūs attiecīgi divus vai trīs komponentus.

Vektoru komponenti ir reāli skaitļi, kas var būt pozitīvi, negatīvi vai pat nulle (0).

Tātad, ja mums ir vektors Ā, kura izcelsme ir taisnstūrveida koordinātu sistēmā xy plaknē (divdimensiju), projekcija uz x ass ir Āx un projekcija uz y ass ir Āy. Tādējādi vektors tiks izteikts kā tā komponentu vektoru summa.

Piemēri

Pirmais piemērs

Mums ir vektors Ā, kas sākas no sākuma, un tiek norādītas tā galu koordinātas. Tādējādi vektors Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Ja vektors Ā darbojas trīsdimensiju trīsstūrveida koordinātu sistēmas (telpā) x, y, z sākumā līdz citam punktam (P), projekcijas uz tā asīm būs Āx, Āy un Āz; tādējādi vektors tiks izteikts kā tā trīs komponentu vektoru summa.

Otrais piemērs

Mums ir vektors Ā, kas sākas no sākuma, un tiek norādītas tā galu koordinātas. Tādējādi vektors Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektorus, kuriem ir taisnstūra koordinātas, var izteikt ar bāzes vektoriem. Šim nolūkam katra koordināta jāreizina tikai ar tās atbilstošo vienības vektoru tā, lai plaknei un telpai tās būtu šādas:

Plaknei: Ā = A _x i + A _y j.

Atstarpei: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektoru operācijas

Daudzos daudzumos ir modulis, jēga un virziens, piemēram, paātrinājums, ātrums, pārvietojums, spēks.

Tos izmanto dažādās zinātnes jomās, un, lai tos piemērotu, dažos gadījumos ir jāveic tādas darbības kā vektoru un skalāru saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana.

vektoru saskaitīšana un atņemšana

Vektoru saskaitīšana un atņemšana tiek uzskatīta par vienu algebrisku operāciju, jo atņemšanu var uzrakstīt kā summu; piemēram, vektoru Ā un Ē atņemšanu var izteikt šādi:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Ir dažādas vektoru saskaitīšanas un atņemšanas metodes: tās var būt grafiskas vai analītiskas.

Grafiskās metodes

Izmanto, ja vektoram ir modulis, virziens un virziens. Šim nolūkam tiek novilktas līnijas, kas veido skaitli, kas vēlāk palīdz noteikt rezultātu. Starp pazīstamākajiem ir šādi:

Paralēlogrammas metode

Lai izdarītu divu vektoru saskaitīšanu vai atņemšanu, uz koordinātu ass tiek izvēlēts kopīgs punkts, kurš apzīmēs vektoru sākuma punktu, saglabājot tā moduli, virzienu un virzienu.

Tad līnijas tiek novilktas paralēli vektoriem, veidojot paralēlogrammu. Iegūtais vektors ir diagonāle, kas iet no abu vektoru izcelšanās punkta līdz paralelograma virsotnei:

Trīsstūra metode

Šajā metodē vektori tiek izvietoti viens pēc otra, saglabājot to moduļus, virzienus un virzienus. Iegūtais vektors būs pirmā vektora izcelsmes savienība ar otrā vektora galu:

Analītiskās metodes

Divus vai vairākus vektorus var pievienot vai atņemt, izmantojot ģeometrisko vai vektora metodi:

Ģeometriskā metode

Kad divi vektori veido trīsstūri vai paralēlogrammu, m) .push ({});

- Skalarais sadalījuma īpašums: ja vektoru reizina ar divu skalāru summu, tas ir vienāds ar vektora reizinājumu katram skalāram.

Vektoru reizināšana

Vektoru reizināšanu vai reizināšanu var veikt kā saskaitīšanu vai atņemšanu, bet, šādi darot, tiek zaudēta fiziskā nozīme un gandrīz nekad netiek atrasta lietojumprogrammās. Šī iemesla dēļ visbiežāk izmantotie produktu veidi ir skalārs un vektora produkts.

Skalārais produkts

To sauc arī par divu vektoru punktveida produktu. Kad divu vektoru moduļus reizina ar mazākā leņķa, kas izveidots starp tiem, kosinusu, iegūst skalāru. Lai izteiktu skalāru reizinājumu starp diviem vektoriem, starp tiem ievieto punktu, un to var definēt kā:

Starp abiem vektoriem esošā leņķa vērtība būs atkarīga no tā, vai tie ir paralēli vai perpendikulāri; tādējādi jums:

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir tāda pati izjūta, kosinuss 0º = 1.

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir pretēji virzieni, kosinuss 180º = -1.

- Ja vektori ir perpendikulāri, kosinuss 90 ° = 0.

Šo leņķi var aprēķināt arī, zinot, ka:

Punkta produktam ir šādas īpašības:

- Komutācijas īpašība: vektoru secība nemaina skalāru.

-Distributīvs īpašums: ja skalāru reizina ar divu vektoru summu, tas ir vienāds ar katra vektora skalāra reizināšanu.

Vektora produkts

Vektoru reizināšana vai divu vektoru A un B šķērsprodukts radīs jaunu vektoru C, un to izsaka, izmantojot vektoru krustu:

Jaunajam vektoram būs savas īpašības. Tādā veidā:

- Virziens: šis jaunais vektors būs perpendikulārs plaknei, kuru nosaka sākotnējie vektori.

- Virziens: to nosaka ar labās rokas likumu, kurā vektors A tiek pagriezts virzienā uz B, ar pirkstiem norādot rotācijas virzienu, un vektora virzienu apzīmē ar īkšķi.

- Modulis: to nosaka ar vektoru AxB moduļu reizinājumu ar mazākā leņķa sinusu, kas pastāv starp šiem vektoriem. To izsaka:

Starp abiem vektoriem esošā leņķa vērtība būs atkarīga no tā, vai tie ir paralēli vai perpendikulāri. Tātad ir iespējams norādīt sekojošo:

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir tāda pati izjūta, sinuss 0º = 0.

- Ja vektori ir paralēli un tiem ir pretēji virzieni, sinuss ir 180º = 0.

- Ja vektori ir perpendikulāri, sinuss ir 90º = 1.

Kad vektoru produktu izsaka tā bāzes vektoros, mums ir: