BŪLA ALGEBRA: VĒSTURE, TEORĒMAS UN POSTULĀTI, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Būla algebra vai Būla algebra ir algebrisko notācija lieto, lai ārstētu bināro mainīgajiem. Tas aptver jebkura mainīgā lieluma pētījumus, kuriem ir tikai 2 iespējamie rezultāti, savstarpēji papildinoši un savstarpēji izslēdzoši. Piemēram, mainīgie, kuru vienīgā iespējamība ir patiesa vai nepatiesa, pareiza vai nepareiza, ieslēgta vai izslēgta, ir Būlijas algebras izpētes pamatā.

Būla algebra ir digitālās elektronikas pamats, kas to padara mūsdienīgu. To regulē loģisko vārtu jēdziens, kurā īpaši tiek ietekmētas zināmās darbības tradicionālajā algebrā.

Avots: pexels.com

Vēsture

Būla algebru 1854. gadā ieviesa angļu matemātiķis Džordžs Būls (1815 - 1864), kurš bija tā laika pašmācītais zinātnieks. Viņa bažas izraisīja pastāvošais strīds starp Augustu De Morgu un Viljamu Hamiltonu par parametriem, kas nosaka šo loģisko sistēmu.

Džordžs Būls apgalvoja, ka skaitlisko vērtību 0 un 1 definīcija loģikas jomā attiecīgi atbilst interpretācijai Nekas un Visums.

Džordža Būla nolūks bija caur algebra īpašībām definēt ierosinājuma loģikas izteicienus, kas nepieciešami, lai apstrādātu binārā tipa mainīgos.

1854. gadā nozīmīgākās Būla algebras sadaļas tika publicētas grāmatā "Domas likumu izpēte, uz kuriem balstās loģikas un varbūtības matemātiskās teorijas".

Šis ziņkārīgais nosaukums vēlāk tiks apkopots kā “Domas likumi” (“Domas likumi”). Nosaukums kļuva slavens, pateicoties tūlītējai uzmanībai, ko tā saņēma no tā laika matemātiskās kopienas.

1948. gadā Klods Šenons to izmantoja bistamu elektrisko komutācijas ķēžu projektēšanai. Tas kalpoja kā ievads Būla algebras lietošanā visā elektroniski-digitālajā shēmā.

Uzbūve

Pamatvērtības šāda veida algebrā ir 0 un 1, kas attiecīgi atbilst FALSE un TRUE. Būlijas algebras pamatdarbības ir 3:

- UN darbība vai savienojums. Pārstāvēts periods (.). Produkta sinonīms.

- VAI darbība vai atdalīšana. Attēlots ar krustiņu (+). Summas sinonīms.

- NAV operācija vai noliegums. Pārstāv prefiksu NOT (NOT A). Tas ir arī pazīstams kā papildinājums.

Ja A 2 komplektā iekšējā sastāva likumi tiek definēti kā produkts un summa (. +), Tiek teikts, ka trīskāršais (A. +) ir Būla algebra tikai tad, ja minētais trīskāršais elements atbilst režģa nosacījumam. sadalošs.

Lai definētu sadalījuma režģi, starp dotajām operācijām ir jāizpilda sadalījuma nosacījumi:

. ir sadalāms attiecībā pret summu + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ ir izplatāms attiecībā uz produktu. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Elementiem, kas veido A kopu, jābūt bināriem, tādējādi tiem ir visuma vai tukšuma vērtības.

Lietojumprogrammas

Tās galvenais pielietojuma scenārijs ir digitālā filiāle, kur tā kalpo, lai strukturētu shēmas, kas veido iesaistītās loģiskās operācijas. Ķēdes vienkāršības māksla par labu procesu optimizācijai ir pareizā Būla algebras pielietošanas un prakses rezultāts.

Sākot no elektrisko paneļu izstrādes, caur datu pārraidi, līdz programmēšanas sasniegšanai dažādās valodās, Boolean algebru mēs bieži varam atrast visu veidu digitālajās lietojumprogrammās.

Būla mainīgie ir ļoti izplatīti programmēšanas struktūrā. Atkarībā no izmantotās programmēšanas valodas kodā būs strukturālas darbības, kurās tiek izmantoti šie mainīgie. Katras valodas nosacījumi un argumenti ļauj Būla mainīgajiem noteikt procesus.

Postulāti

Pastāv teorēmas, kas regulē Būla algebras strukturālos loģiskos likumus. Tādā pašā veidā ir postulāti, lai zinātu iespējamos rezultātus dažādās bināro mainīgo kombinācijās atkarībā no veiktās operācijas.

Summa (+)

OR operators, kura loģiskais elements ir savienība (U), binārajiem mainīgajiem tiek definēts šādi:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkts (.)

UN operators, kura loģiskais elements ir krustojums (∩), binārajiem mainīgajiem tiek definēts šādi:

0 0 = 0

0 1 = 0

viens. 0 = 0

viens. 1 = 1

Pretī (NAV)

NOT operators, kura loģiskais elements ir papildinājums (X) ', binārajiem mainīgajiem tiek definēts šādi:

NAV 0 = 1

NAV 1 = 0

Daudzi postulāti atšķiras no to parastajiem algebriem. Tas ir saistīts ar mainīgo domēnu. Piemēram, Visuma elementu pievienošana Būla algebrā (1 + 1) nevar dot parasto rezultātu 2, jo tas nepieder binārās kopas elementiem.

Teormas

Likums par nulli un vienotību

Tiek definēta jebkura vienkārša darbība, kas ietver elementu ar binārajiem mainīgajiem:

0 + A = A

1 + A = 1

0 A = 0

viens. A = A

Vienādas varas vai idempotences

Darbības starp vienādiem mainīgajiem lielumiem definē šādi:

A + A = A

LĪDZ. A = A

Papildināšana

Jebkura darbība starp mainīgo un tā papildinājumu tiek definēta kā:

A + NAV A = 1

LĪDZ. NAV A = 0

Involūcija vai dubultā negācija

Jebkura dubultā negācija tiks uzskatīta par dabisko mainīgo.

NAV (NAV A) = A

Komutējošs

A + B = B + A; Summas komutativitāte.

LĪDZ. B = B TO; Produkta komutativitāte.

Asociācijas

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Summas asociācija.

LĪDZ. (B. C) = (A. B). C = A. B. C; Produktu asociācija.

Izplatīšanas

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Summas izplatība attiecībā uz preci.

LĪDZ. (B + C) = (A. B) + (A + C); Produkta izplatība attiecībā pret summu.

Absorbcijas likumi

Starp vairākām atsaucēm ir daudz absorbcijas likumu, no kuriem daži ir pazīstamākie:

LĪDZ. (A + B) = A

LĪDZ. (NAV A + B) = A. B

NAV A (A + B) = NAV A. B

(A + B). (A + NAV B) = A

A + A. B = A

A + NAV A. B = A + B

NAV A + A. B = NAV A + B

LĪDZ. B + A NAV B = A

Morgana teorēma

Tie ir pārveidošanas likumi, kas apstrādā mainīgo pāri, kas mijiedarbojas starp Būla algebras noteiktajām operācijām (+.).

NAV (A. B) = NAV A + NAV B

NAV (A + B) = NAV A. NAV B

A + B = NAV (NAV A + NAV B)

LĪDZ. B = NAV (NAV A. NAV B)

Dualitāte

Visiem postulātiem un teorēmām piemīt dualitātes faktors. Tas nozīmē, ka, apmainoties ar mainīgajiem un operācijām, tiek pārbaudīts iegūtais piedāvājums. Tas ir, apmainoties ar 0 pret 1 un AND pret VAI vai otrādi; tiek izveidots izteiciens, kas arī būs pilnīgi derīgs.

Piemēram, ja tiek pieņemts postulāts

viens. 0 = 0

Un tiek piemērota divdabība

0 + 1 = 1

Tiek iegūts vēl viens pilnīgi derīgs postulāts.

Karnaugh karte

Karnaugh karte ir diagramma, ko izmanto Būla algebrā, lai vienkāršotu loģiskās funkcijas. Tas sastāv no divdimensiju izkārtojuma, kas līdzīgs ierosinājuma loģikas patiesības tabulām. Datus no patiesības tabulām var tieši tvert Karnaugh kartē.

Karnaugh kartē var ietilpt ne vairāk kā 6 mainīgo procesi. Funkcijām ar lielāku mainīgo skaitu ieteicams procesa vienkāršošanai izmantot programmatūru.

1953. gadā to ierosināja Maurice Karnaugh, un tas tika izveidots kā fiksēts rīks Būla algebras jomā, jo tā ieviešana sinhronizē cilvēka potenciālu ar vajadzību vienkāršot Būla izteiksmes, kas ir digitālo procesu plūstamības galvenais aspekts.

Piemēri

Būla algebra tiek izmantota loģisko vārtu samazināšanai ķēdē, kur prioritāte ir panākt ķēdes sarežģītību vai līmeni pēc iespējas zemākā izteiksmē. Tas ir saistīts ar skaitļošanas aizkavēšanos, kādu katrs vārts pieprasa.

Šajā piemērā mēs novērosim loģiskās izteiksmes vienkāršošanu līdz tās minimālajai izteiksmei, izmantojot Būla algebras teorēmas un postulātus.

NAV (AB + A + B). NAV (A + NAV B)

NAV. NAV (A + NAV B); Faktorings A ar kopīgu faktoru.

NAV. NAV (A + NAV B); Pēc teorēmas A + 1 = 1.

NAV (A + B). NAV (A + NAV B); pēc teorēmas A. 1 = A

(NAV A. NAV B). ;

Pēc Morgana teorēmas NAV (A + B) = NAV A. NAV B

(NAV A. NAV B). (NAV A. B); Ar divkāršās negācijas teorēmu NOT (NOT A) = A

NAV Ā. NAV B. NAV Ā. B; Algebriskā grupa.

NAV Ā. NAV Ā. NAV B. B; Produkta A komutācijas spēja B = B LĪDZ

NAV Ā. NAV B. B; Pēc teorēmas A. A = A

NAV Ā. 0; Pēc teorēmas A. NAV A = 0

0; Pēc teorēmas A. 0 = 0

LĪDZ. B. C + NAV A + A. NAV B. C

LĪDZ. C. (B + NAV B) + NAV A; Faktorings (A. C) ar kopējo koeficientu.

LĪDZ. C. (1) + NAV A; Pēc teorēmas A + NAV A = 1

LĪDZ. C + NAV A; Pēc nulles teorēmas un vienotības likuma 1. A = A

NAV A + C ; Ar likumu Morgan A + NOT A. B = A + B

Šim risinājumam jāpagarina Morgana likums, lai definētu:

NAV (NAV A). C + NAV A = NAV A + C

Jo NAV (NAV A) = A ar iesaistīšanu.

Vienkāršojiet loģikas funkciju

NAV Ā. NAV B. NAV C + NAV A. NAV B. C + NAV A. NOT C līdz tā minimālajai izteiksmei

NAV Ā. NAV B. (NAV C + C) + NĒ. NAV C; Faktorings (NAV A. NAV B) ar kopējo koeficientu

NAV Ā. NAV B. (1) + NAV A. NAV C; Pēc teorēmas A + NAV A = 1

(NAV A. NAV B) + (NAV A. NAV C); Pēc nulles teorēmas un vienotības likuma 1. A = A

NAV A (NAV B + NĒ C); Faktorings NAV A ar kopīgu faktoru

NAV Ā. NAV (B. C); Pēc Morgana likumiem NAV (A. B) = NAV A + NAV B

NAV Pēc Morgana likumiem NAV (A. B) = NAV A + NAV B

Jebkura no 4 treknrakstā norādītajām opcijām ir iespējams risinājums, lai samazinātu ķēdes līmeni

Vienkāršojiet loģisko funkciju līdz visvienkāršākajai formai

(A. NAV B. C + A. NAV B. B. D + NĒ A. NAV B). C

(A. NAV B. C + A. 0. D + NAV A. NAV B). C; Pēc teorēmas A. NAV A = 0

(A. NAV B. C + 0 + NĒ A. NAV B). C; Pēc teorēmas A. 0 = 0

(A. NAV B. C + NĒ A. NAV B). C; Pēc teorēmas A + 0 = A

LĪDZ. NAV B. C. C + NAV A. NAV B. C; Pēc produkta izplatības attiecībā pret summu

LĪDZ. NAV B. C + NAV A. NAV B. C; Pēc teorēmas A. A = A

NAV B. C (A + NAV A) ; Faktorings (NAV B. C) ar kopējo koeficientu

NAV B. C (1); Pēc teorēmas A + NAV A = 1

NAV B. C; Pēc nulles teorēmas un vienotības likuma 1. A = A

Atsauces

1. Būla algebra un tās pielietojumi J. Eldons Vaitsits. Kontinentālās izdevniecības uzņēmums, 1980. gads.
2. Matemātika un inženierija datorzinātnēs. Kristofers J. van Viks. Datorzinātņu un tehnoloģijas institūts. Nacionālais standartu birojs. Vašingtona, DC 20234
3. Datorzinātnes matemātika. Ēriks Lehmans. Google Inc.
   F Thomson Leighton Matemātikas katedra un Datorikas un AI laboratorija, Masačūsetsas Tehnoloģiju institūts; Akamai Technologies.
4. Abstraktās analīzes elementi. Mícheál O'Searcoid PhD. Matemātikas katedra. Dublinas universitātes koledža, Beldfīlda, Dublinda.
5. Ievads loģikā un deduktīvo zinātņu metodoloģijā. Alfrēds Tarskis, Ņujorkas Oksforda. Oksfordas Universitātes prese.