DAĻĒJAS FRAKCIJAS: GADĪJUMI UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Par daļējie frakcijas ir frakcijas, ko polinomi, kurā saucējs var būt lineāra vai kvadrāta polinomu un arī veidojas var tikt palielināta līdz spēku. Dažreiz, kad mums ir racionālas funkcijas, ir ļoti noderīgi šo funkciju pārrakstīt kā daļēju vai vienkāršu frakciju summu.

Tas ir tāpēc, ka šādā veidā mēs varam labāk manipulēt ar šīm funkcijām, it īpaši gadījumos, kad ir nepieciešams integrēt minēto lietojumprogrammu. Racionāla funkcija ir vienkārši koeficients starp diviem polinomiem, un tie var būt pareizi vai nepareizi.

Ja skaitītāja polinoma pakāpe ir mazāka par saucēju, to sauc par racionālu pareizu funkciju; pretējā gadījumā to sauc par nepareizu racionālu funkciju.

Definīcija

Ja mums ir nepareiza racionāla funkcija, mēs varam dalīt skaitītāja polinomu ar saucēja polinomu un tādējādi pārrakstīt frakciju p (x) / q (x), ievērojot dalīšanas algoritmu kā t (x) + s (x) / q (x), kur t (x) ir polinoms un s (x) / q (x) ir pareiza racionāla funkcija.

Daļēja frakcija ir jebkura pareiza polinomu funkcija, kuru saucējs ir formas (ax + b) ⁿ vai (ax ² + bx + c) ^{n formā} , ja polinomam ax ² + bx + c nav reālu sakņu un n ir skaitlis. dabiski.

Lai racionālu funkciju pārrakstītu daļās, vispirms jādara faktors saucējam q (x) kā lineāru un / vai kvadrātisku faktoru reizinājums. Kad tas ir izdarīts, tiek noteiktas daļējas frakcijas, kas ir atkarīgas no šo faktoru rakstura.

Gadījumi

Mēs izskatām vairākus gadījumus atsevišķi.

1. gadījums

Visi q (x) koeficienti ir lineāri un netiek atkārtoti. Proti:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ )… (a _s x + b _s )

Nav lineāra faktora, kas būtu identisks citam. Kad šis gadījums notiks, mēs rakstīsim:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ )… + A _s / (a _s x + b _s ).

Kur A ₁ , A ₂ ,…, A _s ir atrodamās konstantes.

Piemērs

Mēs vēlamies racionālo funkciju sadalīt vienkāršās daļās:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Mēs pāriet uz saucēju, tas ir:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Tad:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Izmantojot vismazāk izplatītos daudzkārtņus, var iegūt, ka:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Mēs vēlamies iegūt konstanšu A, B un C vērtības, kuras var atrast, aizstājot saknes, kas atceļ katru no terminiem. Aizstājot 0 ar x, mums ir:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Aizstājot - 1 x, mums ir:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Aizstājot - 2 x, mums ir:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

Tādā veidā iegūst vērtības A = –1/2, B = 2 un C = –3/2.

Ir vēl viena metode A, B un C vērtību iegūšanai. Ja vienādojuma labajā pusē x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x apvienojot terminus, mums ir:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Tā kā šī ir polinomu vienādība, mums ir noteikts, ka koeficientiem kreisajā pusē jābūt vienādiem ar labajā pusē esošajiem. Rezultātā rodas šāda vienādojumu sistēma:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Atrisinot šo vienādojumu sistēmu, iegūstam rezultātus A = –1/2, B = 2 un C = –3 / 2.

Visbeidzot, aizstājot iegūtās vērtības, iegūst:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

2. gadījums

Q (x) koeficienti visi ir lineāri, un daži atkārtojas. Pieņemsim, ka (ax + b) ir faktors, kas atkārto "s" reizes; tad šim koeficientam atbilst daļiņu "s" summa.

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 +… + A ₁ / (ax + b).

Kur A _s , A _s-1 ,…, A ₁ ir konstantes, kuras jānosaka. Ar šo piemēru mēs parādīsim, kā noteikt šīs konstantes.

Piemērs

Sadalās daļējās daļās:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Racionālo funkciju kā daļskaitļu summu mēs uzrakstām šādi:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2) ).

Tad:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Aizstājot 2 ar x, mums ir šāds:

7 = 4C, tas ir, C = 7/4.

Aizstājot 0 ar x, mums ir:

- 1 = –8A vai A = 1/8.

Aizstājot šīs vērtības iepriekšējā vienādojumā un attīstot, mums ir šāds:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Vienādojot koeficientus, iegūstam šādu vienādojumu sistēmu:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Atrisinot sistēmu, mums ir:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Lai to izdarītu, mums:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

3. gadījums

Q (x) koeficienti ir lineāri kvadrātiski, bez atkārtotiem kvadrātiskiem koeficientiem. Šajā gadījumā kvadrātiskais koeficients (ass ² + bx + c) atbildīs daļējai daļai (Ax + B) / (ax ² + bx + c), kur jānosaka konstantes A un B.

Šis piemērs parāda, kā rīkoties šajā gadījumā

Piemērs

Sadalās vienkāršās frakcijās a (x + 1) / (x ³ - 1).

Vispirms ķeramies pie saucēja koeficienta, kas rezultātā dod mums:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Var novērot, ka (x ² + x + 1) ir nesadalāms kvadrātiskais polinoms; tas ir, tam nav īstu sakņu. Tā sadalīšanās daļējās daļās būs šāda:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

No tā mēs iegūstam šādu vienādojumu:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Izmantojot polinomu vienādību, mēs iegūstam šādu sistēmu:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

No šīs sistēmas mums ir, ka A = 2/3, B = - 2/3 un C = 1/3. Aizstājot, mums ir:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

4. gadījums

Visbeidzot, 4. gadījums ir tāds, kurā q (x) koeficienti ir lineāri un kvadrātiski, kur daži no lineārajiem kvadrātiskajiem faktoriem tiek atkārtoti.

Šajā gadījumā, ja (ax ² + bx + c) ir kvadrātiskais koeficients, kas atkārtojas "s" reizes, tad daļējai daļai, kas atbilst koeficientam (ax ² + bx + c), būs:

(A ₁ x + B) / (ass ² + bx + c) +… + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ax ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ass ² + bx + c) ^s

Kur A _s , A _s-1 ,…, A un B _s , B _s-1 ,…, B ir konstantes, kuras jānosaka.

Piemērs

Mēs vēlamies sadalīt šādu racionālu funkciju daļās:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Tā kā x ² - 4x + 5 ir nesadalāms kvadrātiskais koeficients, mums ir, ka tā sadalīšanos daļējās daļās nosaka šādi:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Vienkāršojot un pilnveidojot, mums ir:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

No iepriekšminētā mums ir šāda vienādojumu sistēma:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Risinot sistēmu, mums atliek:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 un E = - 3/5.

Aizstājot iegūtās vērtības, mums ir:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

Lietojumprogrammas

Integrāls aprēķins

Daļējas frakcijas galvenokārt tiek izmantotas integrālo aprēķinu izpētei. Šeit ir daži piemēri, kā veikt integrāļus, izmantojot daļējas frakcijas.

1. piemērs

Mēs vēlamies aprēķināt:

Var redzēt, ka saucēju q (x) = (t + 2) ² (t + 1) veido lineāri koeficienti, kur viens no tiem atkārtojas; Tāpēc mēs esam 2. gadījumā.

Mums vajag:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Mēs pārrakstām vienādojumu un mums ir:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Ja t = - 1, mums ir:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Ja t = - 2, tas dod mums:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Tad, ja t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

A un C vērtību aizstāšana:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

No visa iepriekšminētā mums ir B = - 1.

Mēs pārrakstām integrālu kā:

Mēs to risinām, izmantojot aizvietošanas metodi:

Tas ir rezultāts:

2. piemērs

Atrisiniet šādu integrālu:

Šajā gadījumā koeficientu aq (x) = x ² - 4 var izteikt kā q (x) = (x - 2) (x + 2). Mēs nepārprotami atrodamies 1. gadījumā. Tāpēc:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

To var izteikt arī kā:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ja x = - 2, mums ir:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Un, ja x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Tādējādi mums atliek atrisināt doto integrālu, kas ir līdzvērtīgs risinājumam:

Rezultātā mēs iegūstam:

3. piemērs

Atrisiniet integrālu:

Mums ir q (x) = 9x ⁴ + x ² , ko mēs varam ņemt vērā q (x) = x ² (9x ² + 1).

Šoreiz mums ir atkārtots lineārais un kvadrātiskais koeficients; tas ir, mēs esam 3. gadījumā.

Mums vajag:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Grupējot un izmantojot vienādus polinomus, mums ir:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

No šīs vienādojumu sistēmas mums ir:

D = - 9 un C = 0

Tādā veidā mums ir:

Atrisinot iepriekš minēto, mums ir:

Masu rīcības likums

Interesants daļdaļu frakciju pielietojums integrālajam kalkulātam ir atrodams ķīmijā, precīzāk, masas darbības likumā.

Pieņemsim, ka mums ir divas vielas A un B, kas savienojas un veido vielu C, tā, ka C daudzuma atvasinājums attiecībā pret laiku ir proporcionāls A un B daudzumu reizinājumam attiecīgajā laikā.

Masu rīcības likumu mēs varam izteikt šādi:

Šajā izteiksmē α ir sākotnējais gramu skaits, kas atbilst A, un β, sākotnējais gramu skaits, kas atbilst B,.

Turklāt r un s apzīmē attiecīgi A un B gramu skaitu, kas apvienojas, veidojot r + s gramus C. Savukārt x apzīmē vielas C gramu skaitu laikā t, un K ir proporcionalitātes konstante. Iepriekš minēto vienādojumu var pārrakstīt šādi:

Veicot šādas izmaiņas:

Mums ir tāds, ka vienādojums kļūst:

No šī izteiciena mēs varam iegūt:

Ja a a b, integrācijai var izmantot daļējas frakcijas.

Piemērs

Ņemsim, piemēram, vielu C, kas rodas, apvienojot vielu A ar B, tādā veidā, ka tiek izpildīts masas likums, kur a un b vērtības ir attiecīgi 8 un 6. Sniedziet vienādojumu, kas dod C vērtību gramos kā laika funkciju.

Aizstājot dotā masu likuma vērtības, mums ir:

Atdalot mainīgos, mums ir:

Šeit 1 / (8 - x) (6 - x) var uzrakstīt kā daļskaitļu summu šādi:

Tādējādi 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ja x aizstājam ar 6, mums ir B = 1/2; un aizstājot x ar x, mums ir A = - 1/2.

Integrācija, izmantojot daļējas frakcijas, mums ir:

Rezultātā mēs iegūstam:

Diferenciālvienādojumi: loģistikas vienādojums

Vēl viens lietojums, ko var dot daļējām frakcijām, ir loģistikas diferenciālvienādojumā. Vienkāršos modeļos mums ir tas, ka iedzīvotāju skaita pieauguma temps ir proporcionāls tā lielumam; proti:

Šis gadījums ir ideāls un tiek uzskatīts par reālu, kamēr nenotiek tā, ka sistēmā pieejamie resursi ir nepietiekami, lai atbalstītu iedzīvotājus.

Šajās situācijās vissaprātīgākais ir domāt, ka ir maksimālā jauda, ​​ko mēs sauksim par L, ka sistēmu var uzturēt un ka pieauguma temps ir proporcionāls iedzīvotāju skaitam, kas reizināts ar pieejamo lielumu. Šis arguments rada šādu diferenciālvienādojumu:

Šo izteiksmi sauc par loģistikas diferenciālvienādojumu. Tas ir atdalāms diferenciālvienādojums, ko var atrisināt ar daļējas frakcijas integrācijas metodi.

Piemērs

Kā piemēru var minēt populāciju, kas aug saskaņā ar šādu loģistikas diferenciālvienādojumu y '= 0.0004y (1000 - y), kura sākotnējie dati ir 400. Mēs vēlamies uzzināt populācijas lielumu laikā t = 2, kur t tiek izmērīts gados.

Ja mēs uzrakstām y 'ar Leibnica apzīmējumu kā funkciju, kas ir atkarīga no t, mums ir:

Integrāciju kreisajā pusē var atrisināt, izmantojot daļējas frakcijas integrācijas metodi:

Mēs varam pārrakstīt šo pēdējo vienlīdzību šādi:

- Aizstājot y = 0, mums ir, ka A ir vienāds ar 1/1000.

- Aizstājot y = 1000, mums ir, ka B ir vienāds ar 1/1000.

Ar šīm vērtībām integrālis ir šāds:

Risinājums ir:

Sākotnējo datu izmantošana:

Kad mijieskaita un mums ir:

Tad mums ir tā, ka t = 2:

Noslēgumā jāsecina, ka pēc 2 gadiem iedzīvotāju skaits ir aptuveni 597,37.

Atsauces

1. A, RA (2012). Matemātika 1. Universidad de los Andes. Publikāciju padome.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Izšķirtspējīgi integrāļi. Tačiras Nacionālā eksperimentālā universitāte.
3. Leithold, L. (1992). Aprēķins ar analītisko ģeometriju. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Aprēķins. Meksika: Pīrsona izglītība.
5. Saenz, J. (nd). Integrāls aprēķins. Hipotenūza.