MATEMĀTISKĀS CERĪBAS: FORMULA, ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMS - DUDAS - 2025

Matemātiskā cerība vai gaidāms vērtību nejaušam mainīgo X, ir apzīmēts kā E (X), un tiek definēts kā summa produkta starp varbūtību nejaušu notikumu un vērtību minētā notikuma.

Matemātiskā formā to izsaka šādi:

1. attēls. Matemātiskās cerības tiek plaši izmantotas akciju tirgū un apdrošināšanā. Avots: Pixabay.

Kur x _i ir notikuma vērtība un P (x _i ) tā iestāšanās varbūtība. Summēšana aptver visas vērtības, kuras atzīst X. Un, ja tās ir ierobežotas, tad norādītā summa saplūst ar vērtību E (X), bet, ja summa nesaplūst, mainīgajam vienkārši nav paredzamās vērtības.

Ja tas ir nepārtraukts mainīgais x, mainīgajam var būt bezgalīgas vērtības, un integrāļi aizvieto summēšanu:

Šeit f (x) apzīmē varbūtības blīvuma funkciju.

Kopumā matemātiskās cerības (kas ir vidējā svērtā vērtība) nav vienādas ar vidējo aritmētisko vai vidējo, ja vien mums nav darīšana ar diskrētajiem sadalījumiem, kuros katrs notikums ir vienlīdz ticams. Tad un tikai tad:

Kur n ir iespējamo vērtību skaits.

Koncepcija ir ļoti noderīga finanšu tirgos un apdrošināšanas uzņēmumos, kur bieži trūkst pārliecības, bet pastāv varbūtības.

Matemātiskās cerības īpašības

Starp svarīgākajām matemātiskās cerības īpašībām izceļas:

- Pazīme: ja X ir pozitīvs, tad pozitīvs būs arī E (X).

- Paredzamā konstantes vērtība: reālās konstantes paredzamā vērtība k ir konstante.

- Summas linearitāte: izlases lieluma, kas savukārt ir divu mainīgo X un Y summa, sagaidāmo summu cerības.

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- Reizinājums ar konstanti : ja nejaušais mainīgais ir kX formā, kur k ir konstante (reālais skaitlis), tas iznāk ārpus paredzamās vērtības.

- Produkta paredzamā vērtība un neatkarība starp mainīgajiem : ja nejaušs mainīgais ir neatkarīgu izlases mainīgo X un Y reizinājums, tad paredzamā produkta vērtība ir gaidāmo vērtību reizinājums.

Parasti, ja Y = g (X):

- Kārtība paredzamajā vērtībā: ja X ≤ Y, tad:

Tā kā katram no tiem ir paredzamās vērtības.

Matemātiskās cerības derībās

Kad slavenais astronoms Kristians Huigens (1629-1695) nebija novērojis debesis, viņš veltīja citu disciplīnu iespēju izpēti azartspēlēs. Tas bija viņš, kurš ieviesa matemātiskās cerības jēdzienu savā 1656 darbā ar nosaukumu: Pamatojums par azartspēlēm.

Kristians Hjūgens (1629-1625) bija izcils un daudzpusīgs zinātnieks, kuram mēs esam pateicīgi par gaidāmās vērtības jēdzienu.

Hjūgens atklāja, ka derības var klasificēt trīs veidos, pamatojoties uz paredzamo vērtību:

-Spēles ar priekšrocībām: E (X)> 0

- Taisnīgas derības: E (X) = 0

-Spēle nelabvēlīgā situācijā: E (X) <0

Problēma ir tā, ka azartspēlē ne vienmēr ir viegli aprēķināt matemātiskās cerības. Kad jūs varat, rezultāts dažreiz rada vilšanos tiem, kuri domā, vai derēt.

Izmēģināsim vienkāršu derību: galvas vai astes un zaudētājs maksā USD 1 kafiju. Kāda ir šīs likmes paredzamā vērtība?

Labi, ka galvu apgāšanās varbūtība ir ½, kas vienāda ar asti. Nejaušais mainīgais lielums ir iegūt USD 1 vai zaudēt USD 1, ieguvumu apzīmē ar + zīmi un zaudējumu apzīmē ar -.

Informāciju mēs sakārtojam tabulā:

Mēs reizinām kolonnu vērtības: 1. ½ = ½ un (-1). ½ = -½ un, visbeidzot, rezultāti tiek pievienoti. Summa ir 0, un tā ir godīga spēle, kurā dalībniekiem tiek paredzēts ne uzvarēt, ne zaudēt.

Franču rulete un izloze ir handikapa spēles, kurās zaudē visvairāk derību zaudējušo spēlētāju. Vēlāk ir nedaudz sarežģītāka likme atrisināto vingrinājumu sadaļā.

Piemēri

Šeit ir daži vienkārši piemēri, kad matemātiskās cerības jēdziens ir intuitīvs un skaidro šo jēdzienu:

1. piemērs

Mēs sāksim ar godīgas nāves ripināšanu. Kāda ir palaišanas paredzamā vērtība? Ja taisnstūris ir godīgs un tam ir 6 galviņas, varbūtība, ka kāda vērtība (X = 1, 2, 3… 6) sakrīt, ir 1/6, piemēram:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3,5

3. attēls. Godīga nāves laikā paredzētā vērtība nav iespējamā vērtība. Avots: Pixabay.

Paredzamā vērtība šajā gadījumā ir vienāda ar vidējo, jo katra seja iznākšanas varbūtība ir vienāda. Bet E (X) nav iespējama vērtība, jo neviena no galvām nav vērtīga 3,5. Dažos sadalījumos tas ir pilnīgi iespējams, lai gan šajā gadījumā rezultāts derētājam neko daudz nepalīdz.

Apskatīsim vēl vienu piemēru ar divu monētu mētāšanu.

2. piemērs

Divas godīgas monētas tiek mestas gaisā, un mēs definējam izlases lielumu X kā velmēto galvu skaitu. Notikumi, kas var notikt, ir šādi:

-Nekļūst galvas: 0 galvas, kas ir vienāds ar 2 astēm.

-Iznāk 1 galva un 1 zīmogs vai aste.

-Divas sejas iznāk.

Ļaujiet C būt galvai un T zīmogam, parauga telpa, kas apraksta šos notikumus, ir šāda:

S _m = {Seal-Seal; Roņu seja; Sejas zīmogs; Face-Face} = {TT, TC, CT, CC}

Notikumu iespējamība ir šāda:

P (X = 0) = P (T) .P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C) .P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C) .P (C) = ½. ½ = ¼

Tabula ir veidota, izmantojot iegūtās vērtības:

Saskaņā ar definīciju, kas sniegta sākumā, matemātiskās cerības aprēķina šādi:

Aizvietojošās vērtības:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

Šis rezultāts tiek interpretēts šādi: ja cilvēkam ir pietiekami daudz laika, lai izdarītu lielu skaitu eksperimentu, izmetot abas monētas, ir sagaidāms, ka viņš saņems galvu par katru lozēšanu.

Tomēr mēs zinām, ka izlaišana ar 2 etiķetēm ir pilnīgi iespējama.

Vingrinājums atrisināts

Liecot divas godīgas monētas, tiek izdarīta šāda likme: ja iznāk 2 galvas, jūs laimējat 3 USD, ja iznāk 1 galva, jūs vinnējat 1 USD, bet, ja iznāk divas pastmarkas, jums jāmaksā 5 USD. Aprēķiniet paredzamo derības laimestu.

4. attēls. Atkarībā no likmes maina matemātiskās cerības, kad mest divas godīgas monētas. Avots: Pixabay.

Risinājums

Nejaušais mainīgais X ir vērtības, kuras nauda ieņem likmē, un varbūtības tika aprēķinātas iepriekšējā piemērā, tāpēc derību tabula ir šāda:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5). ¼ = 0

Tā kā paredzamā vērtība ir 0, tā ir godīga spēle, tāpēc der sagaidīt, ka derētājs neuzvar un nezaudēs. Tomēr likmju summas var tikt mainītas, lai likme būtu handikapa spēle vai handikapa spēle.

Atsauces

1. Brase, C. 2009. Saprotama statistika. Hjūdens Miflins.
2. Olmedo, F. Ievads nejauša mainīgā sagaidāmās vērtības vai matemātisko cerību jēdzienā. Atgūts no: personal.us.es.
3. Statistika LibreTexts. Paredzētā diskrēto izlases veida mainīgo vērtība. Atgūts no: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. Elementārā statistika. 11. Ed. Addison Wesley.
5. Walpole, R. 2007. Zinātnes un inženierijas varbūtība un statistika. 8. Izdevums. Pīrsona izglītība.