TAISNSTŪRA KOORDINĀTAS: PIEMĒRI UN ATRISINĀTI VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

The taisnstūra koordinātas vai Dekarta ir tie, kas iegūti uz ortogonāli izvirzītajām trim Dekarta asīm X, Y, Z punkts, kas atrodas uz trim - dimensional space.

Dekarta asis ir savstarpēji orientētas līnijas, kas ir perpendikulāras viena otrai. Dekarta koordinātu sistēmā katram telpas punktam tiek piešķirti trīs reālie skaitļi, kas ir tā taisnstūra koordinātas.

1. attēls. P punkta taisnstūra koordinātas (pašu izstrādājums)

Plakne ir trīsdimensiju telpas apakštelpa. Ja tiek ņemti vērā punkti plaknē, pietiek ar to, lai kā Dekarta sistēmu izvēlētos perpendikulāru asu X, Y pāri. Tad katram plaknes punktam tiek piešķirti divi reālie skaitļi, kas ir tā taisnstūra koordinātas.

Taisnstūra koordinātu izcelsme

Taisnstūra koordinātas sākotnēji ieteica franču matemātiķis Renē Dekarts (1596 un 1650), tāpēc tās sauc par Dekarta.

Ar šo Dekarta ideju plaknes punktiem un atstarpei tiek piešķirti skaitļi, lai ģeometriskajiem skaitļiem būtu saistīts algebriskais vienādojums un klasiskās ģeometriskās teorēmas var pierādīt algebriski. Ar Dekarta koordinātām rodas analītiskā ģeometrija.

Dekarta lidmašīna

Ja plaknē izvēlas divas perpendikulāras līnijas, kas krustojas punktā O; un ja papildus katrai līnijai tiek piešķirts virziens un skaitliska skala starp secīgiem vienādās attālumā esošiem punktiem, tad pastāv Dekarta sistēma vai plakne, kurā katrs plaknes punkts ir saistīts ar pasūtītu divu reālu skaitļu pāri, kas attiecīgi ir to projekcijas uz X un Y asis.

Punkti A = (3, 2); B = (- 2,3); C = (- 2, -3) un D = (3, -3) ir attēlotas Dekarta virzienā, kā parādīts zemāk:

2. attēls. Punkti Dekarta plaknē. (Pašu izstrādāts)

Ņemiet vērā, ka divas asis X un Y sadala plakni četros sektoros, ko sauc par kvadrantiem. A punkts atrodas pirmajā kvadrantā, punkts B ir otrajā kvadrantā, punkts C ir trešajā kvadrantā, un punkts D ir ceturtajā kvadrantā.

Attālums starp diviem punktiem

Attālums starp diviem punktiem A un B Dekarta plaknē ir to savienojošā segmenta garums. Šo attālumu analītiski var aprēķināt šādi:

d (A, B) = √ (Bx - ass) ^ 2 + (pēc - Ay) ^ 2)

Iepriekš minēto formulu iegūst, piemērojot Pitagora teorēmu.

Piemērojot šo formulu A, B punktiem 2. attēlā, mums ir:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

Tas ir, d (A, B) = 5,10 vienības. Ņemiet vērā, ka attālums tika iegūts bez nepieciešamības mērīt ar lineālu, tika ievērota pilnīgi algebriska procedūra.

Līnijas analītiskā izteiksme

Taisnstūra koordinātas ļauj analizēt pamata ģeometriskos objektus, piemēram, punktu un līniju. Divi punkti A un B nosaka vienu līniju. Līnijas slīpumu definē kā koeficientu starp punkta B Y koordinātu starpību, atskaitot A, dalot ar B punkta X koordinātu starpību, atskaitot A:

slīpums = (By - Ay) / (Bx - Ax)

Jebkuram koordinātu punktam P (x, y), kas pieder pie līnijas (AB), jābūt vienādam slīpumam:

slīpums = (y - Ay) / (x - Ax)

Vienādojums, ko iegūst, izmantojot slīpumu vienlīdzību, ir līnijas, kas iet caur punktiem A un B, analītiskais vai algebriskais attēlojums:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

Ja A un B ņem vērā 2. attēla taisnstūra koordinātas, tad mums ir:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

Šajā konkrētajā gadījumā mums ir līnija ar negatīvu slīpumu -⅕, kas nozīmē, ka, atrodoties uz līnijas līnijas un palielinot x-koordinātu par vienu vienību, y-koordināta samazinās par 0,2 vienībām.

Visbiežākais līnijas vienādojuma ierakstīšanas plaknē veids ir y koordinātes notīrīšana kā mainīgā x funkcija:

y = - (1/5) x + 13/5

Piemēri

1. piemērs

Ar analītiskām metodēm iegūst attālumu starp punktiem C un A, kas ir C = (-2, -3) un A = (3,2) taisnstūra koordinātas.

Eiklīda attāluma starp šiem diviem punktiem formula ir uzrakstīta šādi:

d (A, C) = √ ((Cx - ass) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

Aizstājot to atbilstošās taisnstūra koordinātas, mums ir:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7,07

2. piemērs

Iegūstiet līnijas vienādojumu, kas iet caur koordinātu punktu C (-2, -3) un punktu P koordinātēm (2, 0).

Pirmkārt, tiek iegūts līnijas CP slīpums:

slīpums = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

Jebkuram vispārējo taisnstūra koordinātu punktam Q (x, y), kas pieder līnijai CP, jābūt ar tādu pašu slīpumu:

slīpums = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

Citiem vārdiem sakot, līnijas CP vienādojums ir:

(y +3) / (x +2) = ¾

Alternatīvs veids, kā uzrakstīt līnijas CP vienādojumu, tiek atrisināts y:

y = ¾ x - 3/2

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Iegūstiet taisnstūra koordinātas krustošanās punktam starp taisnēm y = - (1/5) x + 13/5 un līniju y = ¾ x - 3/2.

Risinājums: Pēc definīcijas divu līniju krustošanās punktam ir vienādas taisnstūra koordinātas. Tāpēc y-koordinātas krustošanās vietā abām līnijām ir identiskas:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

kas noved pie šādas izteiksmes:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

atrisinot iegūto frakciju summu:

19/20 x = 41/10

Risinājums x:

x = 82/19 = 4,32

Lai iegūtu krustojuma y vērtību, iegūto x vērtību aizstāj ar jebkuru no taisnēm:

y = ¾ 4,32 - 3/2 = 1,74

Tas nozīmē, ka dotās līnijas krustojas koordinātu I punktā I = (4.32, 1.74).

2. vingrinājums

Iegūstiet apkārtmēra vienādojumu, kas iet caur taisnstūra koordinātu punktu R (3, 4) R un kura centrs ir koordinātu sākumā.

Risinājums: R rādiuss ir attālums no punkta R līdz koordinātu sākumam O (0, 0).

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

Tas ir, tas ir apļa rādiuss 5, kura centrs ir (0,0).

Jebkuram perimetra punktam P (x, y) jābūt vienādam 5 attālumā no centra (0, 0), lai to varētu uzrakstīt:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Proti:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

Lai novērstu kvadrātsakni, abus vienlīdzības locekļus sadala kvadrātā, iegūstot:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

Kāds ir apkārtmēra vienādojums.

Šis piemērs ilustrē taisnstūrveida koordinātu sistēmas jaudu, kas ļauj noteikt ģeometriskus objektus, piemēram, apkārtmēru, neizmantojot papīru, zīmuli un kompasu. Pieprasītais apkārtmērs ir noteikts tikai ar algebriskām metodēm.

Atsauces

1. Arfken G un Weber H. (2012). Matemātiskās metodes fiziķiem. Visaptveroša rokasgrāmata. 7. izdevums. Akadēmiskā prese. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Aprēķins cc. Atrisinātas taisnstūra koordinātu problēmas. Atgūts no: calculo.cc
3. Veisšteins, Ēriks W. "Dekarta koordinātas." No MathWorld-A Wolfram Web. Atgūts no: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Dekarta koordinātu sistēma. Atgūts no: en.wikipedia.com