SFĒRISKĀS KOORDINĀTAS: PIEMĒRI UN ATRISINĀTIE VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Ar sfērisku koordinātas ir kopums atrašanās punkti trīsdimensiju telpā, kas sastāv no radiālā koordinēt un divas leņķa koordinātes sauc polāro koordinātu un azimutālajai koordinātu.

1. attēlā, ko mēs redzam zemāk, ir parādītas punkta M sfēriskās koordinātas (r, φ, These). Šīs koordinātas ir norādītas O sākotnējā Dekarta ass X, Y, Z ortogonālā sistēmā.

1. attēls. Punkta M (wikimedia Commons) sfēriskās koordinātas (r, θ, φ)

Šajā gadījumā punkta M koordināta r ir attālums no šī punkta līdz sākumam O. Polārā koordināta θ apzīmē leņķi starp pozitīvo pusass Z un rādiusa vektoru OM. Kamēr azimutālā koordināta φ ir leņķis starp pozitīvo pusass X un rādiusa vektoru OM ', kur M' ir M ortogonāla projekcija uz XY plaknes.

Radiālā koordināta r ņem tikai pozitīvas vērtības, bet, ja punkts atrodas pie sākuma vietas, tad r = 0. Polārā koordināta θ ņem minimālo vērtību 0º punktiem, kas atrodas uz pozitīvās Z pusass, un maksimālā vērtība 180º punktiem atrodas uz negatīvās Z pusass. Visbeidzot, azimutālā koordināta φ ņem kā minimālo vērtību 0º un maksimālo paaugstinājumu 360º.

0 ≤ r <∞

0 ≤ θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360º

Koordinātu maiņa

Tālāk tiks parādītas formulas, kas ļauj iegūt M punkta Dekarta koordinātas (x, y, z), pieņemot, ka ir zināmas tā paša (r, θ, φ) punkta sfēriskās koordinātas:

x = r Sen (θ) Cos (φ)

y = r Sen (θ) Sen (φ)

z = r Cos (θ)

Tādā pašā veidā ir lietderīgi atrast sakarības, kas aiziet no attiecīgā punkta Dekarta koordinātām (x, y, z) līdz minētā punkta sfēriskajām koordinātām:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = Arktāns (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = arktāns (g / x)

Vektoru bāze sfēriskās koordinātēs

No sfēriskajām koordinātām tiek noteikta bāzes vektoru ortonormālā bāze, ko apzīmē ar Ur , Uθ , Uφ . 1. attēlā ir parādīti šie trīs vienības vektori, kuriem ir šādas īpašības:

- Ur ir vienības vektora pieskare radiālajai līnijai θ = ctte un φ = ctte;

- Uθ ir vienības vektora pieskare loka φ = ctte un r = ctte;

- Uφ ir vienības vektora pieskare lokam r = ctte un θ = ctte.

Līnijas un tilpuma elementi sfēriskās koordinātēs

Vietas punkta vektoru sfēriskās koordinātēs raksta šādi:

r = r Ur

Bet bezgalīgu punkta variāciju vai pārvietojumu trīsdimensiju telpā šajās koordinātās izsaka ar šādu vektora sakarību:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

Visbeidzot, bezgalīgs tilpums dV sfēriskās koordinātēs ir uzrakstīts šādi:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

Šīs attiecības ir ļoti noderīgas, lai aprēķinātu līnijas un tilpuma integrāļus fiziskās situācijās, kurām ir sfēriska simetrija.

Saistība ar ģeogrāfiskajām koordinātām

Ar ģeogrāfiskajām koordinātām saprot tās, kuras kalpo, lai noteiktu vietas uz zemes virsmas. Šī sistēma izmanto platuma un garuma koordinātas, lai noteiktu atrašanās vietu uz Zemes virsmas.

Ģeogrāfiskajā koordinātu sistēmā tiek pieņemts, ka zemes virsma ir sfēriska ar rādiusu Rt, kaut arī ir zināms, ka tā ir saplacināta pie poliem, un tiek ņemts vērā iedomātu līniju kopums, ko sauc par paralēlēm un meridiāniem.

2. attēls. Novērotāja uz zemes virsmas garums α un platums β.

Platums β ir leņķis, ko veido rādiuss, kas sākas no Zemes centra līdz punktam, kuru vēlaties novietot. To mēra no ekvatoriālās plaknes, kā parādīts 2. attēlā. No otras puses, garums α ir leņķis, ko veido noteiktā punkta meridiāns attiecībā pret nulles meridiānu (pazīstams kā Griničas meridiāns).

Platums var būt ziemeļu vai dienvidu platums atkarībā no tā, vai jūsu atrašanās vieta ir ziemeļu puslodē vai dienvidu puslodē. Tāpat garums var būt rietumos vai austrumos atkarībā no tā, vai atrašanās vieta ir uz rietumiem vai austrumiem no nulles meridiāna.

Formulas mainās no ģeogrāfiskas uz sfērisku

Lai iegūtu šīs formulas, vispirms ir jāizveido koordinātu sistēma. XY plakne ir izvēlēta tā, lai tā sakristu ar ekvatoriālo plakni, un pozitīvā X pusass ir tā, kas iet no Zemes centra un iet caur nulles meridiānu. Savukārt Y ass šķērso meridiānu 90 ° E. Zemes virsmai ir rādiuss Rt.

Ar šo koordinātu sistēmu transformācijas no ģeogrāfiskā uz sfērisko izskatās šādi:

αEβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN → (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS → (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

Piemēri

1. piemērs

Palma de Maljorka (Spānija) ģeogrāfiskās koordinātas ir:

Austrumu garums 38,847º un ziemeļu platums 39,570º. Lai noteiktu sfēriskās koordinātas, kas atbilst Palma de Maljorka, tiek piemērots pirmais no iepriekšējās sadaļas formulu veidiem:

38,847ºE39,570ºN → (r = 6371 km, θ = 90º – 39,570º, φ = 38,847º)

Sfēriskās koordinātas ir:

Palma de Maljorka: (r = 6371 km, θ = 50,43º, φ = 38,85º)

Iepriekšējā atbildē r tika pieņemts vienāds ar vidējo Zemes rādiusu.

2. piemērs

Zinot, ka Malvinu (Folklandes) salu ģeogrāfiskās koordinātas ir 59ºO 51,75ºS, nosakiet atbilstošās polārās koordinātas. Atcerieties, ka X ass iet no Zemes centra uz 0º meridiānu un ekvatoriālajā plaknē; Y ass atrodas arī ekvatoriālajā plaknē un šķērso 90 ° rietumu meridiānu; visbeidzot Z ass uz Zemes rotācijas ass dienvidu-ziemeļu virzienā.

Lai atrastu atbilstošās sfēriskās koordinātas, mēs izmantojam formulas, kas parādītas iepriekšējā sadaļā:

59ºO 51,75ºS → (r = 6371 km, θ = 90º + 51,75º, φ = 360º – 59º), kas ir

Malvinas: (r = 6371 km, θ = 141,75º, φ = 301º)

Vingrinājumi

1. vingrinājums

Atrodiet Palma de Maljorkas Dekarta koordinātas XYZ Dekarta atskaites sistēmā, kas parādīta 2. attēlā.

Risinājums: Iepriekš 1. piemērā sfēriskās koordinātas tika iegūtas, sākot no Maljorkas Palma ģeogrāfiskajām koordinātām. Iepriekš dotās formulas var izmantot, pārejot no sfēriskas uz Dekarta:

x = 6371 km Sen (50,43º) Cos (38,85º)

y = 6371 km Sen (50,43º) Sen (38,85º)

z = 6371 km Koš (50,43º)

Veicot attiecīgos aprēķinus, mums ir:

Palma de Maljorka: (x = 3825 km, y = 3081 km, z = 4059)

2. vingrinājums

Atrodiet Folklenda salu Dekarta koordinātas XYZ Dekarta atskaites sistēmā, kas parādīta 2. attēlā.

Risinājums: Iepriekš 2. piemērā sfēriskās koordinātas tika iegūtas, sākot no Malvinu salu ģeogrāfiskajām koordinātām. Iepriekš dotās formulas var izmantot, pārejot no sfēriskas uz Dekarta:

x = 6371 km Sen (141,75º) Cosa (301º)

y = 6371 km Sen (141,75º) Sen (301º)

z = 6371 km Koš (141,75º)

Veicot attiecīgos aprēķinus, iegūstam:

Folklenda salas: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

Atsauces

1. Arfken G un Weber H. (2012). Matemātiskās metodes fiziķiem. Visaptveroša rokasgrāmata. 7. izdevums. Akadēmiskā prese. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Aprēķins cc. Atrisinātas cilindrisko un sfērisko koordinātu problēmas. Atgūts no: calculo.cc
3. Astronomijas darbnīca. Platums un garums. Atgūts no: tarifamates.blogspot.com/
4. Veisšteins, Ēriks W. "Sfēriskās koordinātas." No MathWorld-A Wolfram Web. Atgūts no: mathworld.wolfram.com
5. wikipedia. Sfēriskā koordinātu sistēma. Atgūts no: en.wikipedia.com
6. wikipedia. Vektoru lauki cilindriskās un sfēriskās koordinātēs. Atgūts no: en.wikipedia.com