CILINDRISKĀS KOORDINĀTAS: SISTĒMA, IZMAIŅAS UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

The cilindrisku koordinātas tiek izmantoti, lai atrastu punktus trīsdimensiju telpā un sastāv no radiālais koordinātu ρ, φ azimutālajai koordinātu un z koordināta augstuma.

Punkts P, kas atrodas telpā, tiek projicēts perpendikulāri XY plaknei, veidojot punktu P 'šajā plaknē. Attālums no sākuma līdz punktam P 'nosaka koordinātu ρ, bet leņķis, ko X ass veido ar staru OP', nosaka koordinātu φ. Visbeidzot, z koordināta ir P punkta ortogonāla projekcija uz Z ass. (skat. 1. attēlu).

1. attēls. Cilindrisko koordinātu P punkts (ρ, φ, z). (Pašu izstrādāts)

Radiālā koordināta ρ vienmēr ir pozitīva, azimutālā koordināta φ mainās no nulles radiāniem līdz diviem pi radiāniem, savukārt z koordinātei var būt jebkura reālā vērtība:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Koordinātu maiņa

Salīdzinoši viegli ir iegūt P punkta Dekarta koordinātas (x, y, z) no tā cilindriskajām koordinātām (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Bet ir arī iespējams iegūt polārās koordinātas (ρ, φ, z), sākot no P punkta Dekarta koordinātu (x, y, z) zināšanām:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arktāns (g / x)

z = z

Vektoru bāze cilindriskās koordinātēs

Tiek noteikta cilindrisko vienību vektoru Uρ , Uφ , Uz bāze .

Vektors Uρ ir pieskaras līnijai φ = ctte un z = ctte (vērsts uz radiāli uz āru), vektors Uφ ir pieskares līnijai ρ = ​​ctte un z = ctte, un visbeidzot Uz ir vienāds Z ass virziens.

2. attēls. Cilindriskā koordinātu bāze. (Wikimedia Commons)

Cilindriskās vienības pamatnē punkta P pozīcijas vektors r tiek rakstīts vektoriāli šādi:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

No otras puses, bezgalīgu pārvietojumu d r no punkta P izsaka šādi:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Līdzīgi, bezgalīgs tilpuma dV elements cilindriskās koordinātēs ir:

dV = ρ dρ dφ dz

Piemēri

Ir neskaitāmi cilindrisko koordinātu izmantošanas un pielietošanas piemēri. Piemēram, kartogrāfijā tiek izmantota cilindriskā projekcija, precīzi balstoties uz šīm koordinātām. Ir vēl citi piemēri:

1. piemērs

Cilindriskajām koordinātām ir pielietojums tehnoloģijās. Kā piemērs mums ir CHS (cilindru-galvas sektors) datu atrašanās vietas noteikšanas sistēma cietajā diskā, kas faktiski sastāv no vairākiem diskiem:

- Balons vai sliede atbilst koordinātai ρ.

- Sektors atbilst diska stāvoklim φ, kas rotē ar lielu leņķisko ātrumu.

- Galva atbilst lasāmgalvas z stāvoklim attiecīgajā diskā.

Katram informācijas baitam ir precīza adrese cilindriskās koordinātēs (C, S, H).

2. attēls. Informācijas atrašanās vieta cilindriskās koordinātēs uz cietā diska sistēmas. (Wikimedia Commons)

2. piemērs

Celtniecības celtņi nosaka kravas stāvokli cilindriskās koordinātēs. Horizontālo stāvokli nosaka ar attālumu līdz celtņa asij vai bultiņai ρ un ar tā leņķisko stāvokli φ attiecībā pret kādu atskaites asi. Kravas vertikālo stāvokli nosaka ar augstuma z koordinātu.

3. attēls. Kravas pozīciju uz celtņa var viegli izteikt cilindriskās koordinātēs. (image pixabay - anotācijas R. Peress)

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Ir punkti P1 ar cilindriskām koordinātām (3, 120º, -4) un punkts P2 ar cilindriskām koordinātām (2, 90º, 5). Atrodiet Eiklīda attālumu starp šiem diviem punktiem.

Risinājums: Vispirms mēs meklējam katra punkta Dekarta koordinātas pēc formulas, kas tika dota iepriekš.

P1 = (3 * cos 120 °, 3 * sin 120 °, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Eiklīda attālums starp P1 un P2 ir:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

2. vingrinājums

Punktam P ir Dekarta koordinātas (-3, 4, 2). Atrodiet atbilstošās cilindriskās koordinātas.

Risinājums: Mēs turpinām atrast cilindriskās koordinātas, izmantojot iepriekš dotās sakarības:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arktāns (y / x) = arktāns (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Jāatceras, ka arktangenta funkcija tiek daudzvērtēta ar 180º periodiskumu. Arī leņķim φ jāpieder otrajam kvadrantam, jo ​​punkta P x un y koordinātas atrodas šajā kvadrantā. Tas ir iemesls, kāpēc rezultātam added ir pievienota 180º.

3. vingrinājums

Izsaka cilindriskās koordinātēs un Dekarta koordinātēs cilindra virsmu ar rādiusu 2 un kura ass sakrīt ar Z asi.

Risinājums: Saprotams, ka cilindram ir bezgalīgs pagarinājums z virzienā, tāpēc minētās virsmas vienādojums cilindriskās koordinātēs ir:

ρ = 2

Lai iegūtu cilindriskās virsmas Dekarta vienādojumu, ņem iepriekšējā vienādojuma abu locekļu kvadrātu:

ρ ² = 4

Mēs reizinām abus iepriekšējās vienlīdzības locekļus ar 1 un izmantojam pamata trigonometrisko identitāti (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Iekavas ir izstrādātas, lai iegūtu:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Mēs atceramies, ka pirmās iekavas (ρ sin (φ)) ir punkta y koordinātas polārajās koordinātēs, bet iekavas (ρ cos (φ)) apzīmē x koordinātu, tā ka mums ir cilindra vienādojums koordinātēs Dekarta:

y ² + x ² = 2 ²

Iepriekš minēto vienādojumu nevajadzētu sajaukt ar apkārtmēru XY plaknē, jo šajā gadījumā tas izskatās šādi: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

4. vingrinājums

Balona rādiusam R = 1 m un augstumam H = 1 m ir tā masa, kas radiāli sadalīta saskaņā ar šādu vienādojumu D (ρ) = C (1 - ρ / R), kur C ir vērtības konstante C = 1 kg / m ³ . Atrodiet balona kopējo masu kilogramos.

Risinājums: Pirmais, kas jāsaprot, ka funkcija D (ρ) attēlo masas tilpumu un ka masas blīvums ir sadalīts cilindriskos apvalkos, kuru blīvums samazinās no centra uz perifēriju. Neierobežots tilpuma elements atbilstoši problēmas simetrijai ir:

dV = ρ dρ 2π H

Tādējādi cilindriskā apvalka bezgalīgā masa būs:

dM = D (ρ) dV

Tāpēc balona kopējo masu izsaka ar šādu noteiktu integrālu:

M = ∫ _vai ^R D (ρ) dV = ∫ _vai ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _vai ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Norādītā integrala risinājumu nav grūti iegūt, tā rezultāts ir:

∫ _vai ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Iekļaujot šo rezultātu balona masas izteiksmē, iegūstam:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Atsauces

1. Arfken G un Weber H. (2012). Matemātiskās metodes fiziķiem. Visaptveroša rokasgrāmata. 7. izdevums. Akadēmiskā prese. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Aprēķins cc. Atrisinātas cilindrisko un sfērisko koordinātu problēmas. Atgūts no: calculo.cc
3. Veisšteins, Ēriks W. "Cilindriskās koordinātas." No MathWorld - Wolfram Web. Atgūts no: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cilindriskā koordinātu sistēma. Atgūts no: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektoru lauki cilindriskās un sfēriskās koordinātēs. Atgūts no: en.wikipedia.com