KONGRUENCE: SASKANĪGI SKAITĻI, KRITĒRIJI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Kongruence ģeometrija saka, ka, ja divi lidmašīnu skaitļi ir arī tādas pašas formas un izmēru, tie ir saskanīgs. Piemēram, divi segmenti ir vienādi, ja to garums ir vienāds. Tāpat sakrītiem leņķiem ir vienāds izmērs, kaut arī plaknē tie nav orientēti vienādi.

Termins "kongruence" nāk no latīņu valodas kongruentia, kuras nozīme ir sarakste. Tādējādi divi saskaņoti skaitļi precīzi atbilst viens otram.

1. attēls. Četrstūri ABCD un A'B'C'D attēlā ir sakrīt: to malām ir tāds pats izmērs kā to iekšējiem leņķiem. Avots: F. Zapata.

Piemēram, ja attēlā uzstumjam abus četrstūrus, mēs redzēsim, ka tie ir sakrīt, jo to sānu izvietojums ir identisks un tie mēra vienādi.

Novietojot taisnstūri ABCD un A'B'C'D viens otram virs, skaitļi precīzi sakrīt. Sakritīgās puses tiek sauktas par homoloģiskām vai atbilstošām pusēm, un simbols ≡ tiek izmantots, lai izteiktu kongruenci. Tātad mēs varam teikt, ka ABCD ≡ A'B'C'D '.

Sastrēguma kritēriji

Konkrētiem daudzstūriem ir raksturīgas šādas īpašības:

-Tā pati forma un izmērs.

- to leņķu identiski mērījumi.

-Tas pats pasākums katrā pusē.

Ja divi attiecīgie daudzstūri ir regulāri, tas ir, ja visas malas un iekšējie leņķi mēra vienādi, tiek nodrošināta saderība, ja ir izpildīts kāds no šiem nosacījumiem:

-Puses ir vienveidīgas

-Ateotēmās ir tāds pats mērs

-Katra daudzstūra rādiuss mēra vienādi

Regulāra daudzstūra apotēma ir attālums starp centru un vienu no sāniem, savukārt rādiuss atbilst attālumam starp centru un figūras virsotni vai stūri.

Sastrēguma kritērijus izmanto bieži, jo tik daudz detaļu un visu veidu gabalu tiek ražoti masveidā, un tiem jābūt vienādai formai un izmēriem. Šādā veidā tos var viegli nomainīt, ja nepieciešams, piemēram, uzgriežņus, skrūves, loksnes vai bruģakmeņus uz zemes uz ielas.

2. attēls. Ielas bruģakmeņi ir vienādas figūras, jo to forma un izmēri ir tieši tādi paši, kaut arī to orientācija uz grīdas var mainīties. Avots: Pixabay.

Sastrēgums, identitāte un līdzība

Ir ģeometriski jēdzieni, kas saistīti ar kongruenci, piemēram, identiski skaitļi un līdzīgas figūras, kas nebūt nenozīmē, ka skaitļi ir vienādi.

Ņemiet vērā, ka sakrītotie skaitļi ir identiski, tomēr 1. attēlā redzamie četrstūri varēja būt atšķirīgi orientēti plaknē un joprojām paliek sakrīt, jo atšķirīgā orientācija nemaina to sānu izmēru vai leņķi. Tādā gadījumā tie vairs nebūtu identiski.

Otrs jēdziens ir figūru līdzība: divas plaknes figūras ir līdzīgas, ja tām ir vienāda forma un to iekšējie leņķi mēra vienādus, kaut arī figūru izmēri var būt atšķirīgi. Ja tas tā ir, skaitļi nav saskaņoti.

Konkrētības piemēri

- leņķu sašaurināšanās

Kā mēs norādījām sākumā, sakrītie leņķi ir vienādi. Ir vairāki veidi, kā iegūt saskanīgus leņķus:

1. piemērs

Divas līnijas ar kopēju punktu nosaka divus leņķus, kurus virsotnes dēļ sauc par pretējiem leņķiem. Šiem leņķiem ir vienāds izmērs, tāpēc tie ir vienādi.

3. attēls. Punkts, kas atrodas pretī virsotnei. Avots: Wikimedia Commons.

2. piemērs

Ir divas paralēlas līnijas plus līnija t, kas krustojas abas. Tāpat kā iepriekšējā piemērā, kad šī līnija šķērso paralēles, tā rada sakrītotus leņķus, vienu katrā rindā labajā pusē un vēl divus kreisajā pusē. Attēlā pa labi no līnijas t ir α un α ₁ , kas ir vienādi.

4. attēls. Attēlā redzamie leņķi ir vienādi. Avots: Wikimedia Commons. Lfahlbergs / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

3. piemērs

Paralēlā diagrammā ir četri iekšējie leņķi, kas sakrīt divi pret diviem. Tie ir tie, kas atrodas starp pretējām virsotnēm, kā parādīts nākamajā attēlā, kuros abi leņķi zaļā krāsā ir saskanīgi, kā arī abi leņķi ir sarkanā krāsā.

5. attēls. Paralēles diagrammas iekšējie leņķi ir sakrīt divi pa diviem. Avots: Wikimedia Commons.

- trijstūru sabrukums

Divi vienādas formas un izmēra trīsstūri ir sakrīt. Lai to pārbaudītu, ir trīs kritēriji, kurus var pārbaudīt, meklējot saskaņotību:

- LLL kritērijs : trijstūru trīs pusēm ir vienādi izmēri, tāpēc L ₁ = L ' ₁ ; L ₂ = L ' ₂ un L ₃ = L' _3.

6. attēls. Konkrētu trīsstūru piemērs, kuru malas ir vienādas. Avots: F. Zapata.

- ALA un AAL kritēriji : trīsstūriem ir divi vienādi iekšējie leņķi, un pusei starp šiem leņķiem ir vienāds izmērs.

7. attēls. ALA un AAL kritēriji trīsstūra kongruencei. Avots: Wikimedia Commons.

- LAL kritērijs : divas malas ir identiskas (atbilstošas), un starp tām ir vienāds leņķis.

8. attēls. LAL kritērijs trijstūru sakrītībai. Avots: Wikimedia Commons.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Šajā attēlā parādīti divi trīsstūri: ΔABC un ΔECF. Ir zināms, ka AC = EF, ka AB = 6 un ka CF = 10. Turklāt leņķi ∡BAC un ∡FEC ir vienādi, un leņķi ∡ACB un ∡FCB ir arī saderīgi.

9. attēls. Izstrādātā piemēra trīsstūri 1. Avots: F. Zapata.

Tad BE segmenta garums ir vienāds ar:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Risinājums

Tā kā abiem trīsstūriem ir vienāda garuma mala AC = EF starp vienādiem leņķiem ∡BAC = ∡CEF un ∡BCA = ∡CFE, var teikt, ka abi trīsstūri ir sakrīt ar ALA kritēriju.

Tas ir, ΔBAC ≡ ΔCEF, tāpēc mums:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Bet aprēķināmais segments ir BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Tātad pareizā atbilde ir (iii).

- 2. vingrinājums

Zemāk redzamajā attēlā ir parādīti trīs trīsstūri. Ir arī zināms, ka abi norādītie leņķi mēra katru 80º un ka segmenti AB = PD un AP = CD. Atrodiet attēlā norādītā leņķa X vērtību.

10. attēls. Izšķirtā piemēra trīsstūri. 2. Avots: F. Zapata.

Risinājums

Jums jāpiemēro trīsstūru īpašības, kuras ir detalizētas soli pa solim.

1. solis

Sākot ar LAL trīsstūra kongruences kritēriju, var apgalvot, ka BAP un PDC trīsstūri ir kongruzīvi:

ΔBAP ≡ ΔPDC

2. solis

Iepriekš teiktais apstiprina, ka BP = PC, tāpēc trīsstūris ΔBPC ir vienādsānu un ∡PCB = ∡PBC = X.

3. solis

Ja mēs saucam leņķi BPC γ, tas izriet, ka:

2x + γ = 180º

4. solis

Un, ja leņķus saucam par APB un DCP β un α par leņķiem ABP un ​​DPC, mums ir:

α + β + γ = 180º (jo APB ir plaknes leņķis).

5. solis

Turklāt α + β + 80º = 180º no trijstūra APB iekšējo leņķu summas.

6. solis

Apvienojot visus šos izteicienus, kas mums ir:

α + β = 100º

7. solis

Un tāpēc:

γ = 80º.

8. solis

Visbeidzot no tā izriet, ka:

2X + 80º = 180º

Ar X = 50º.

Atsauces

1. Baldor, A. 1973. Plakne un kosmosa ģeometrija. Centrālamerikas kultūras.
2. CK-12 fonds. Kongruentie daudzstūri. Atgūts no: ck 12.org.
3. Izbaudi matemātiku. Definīcijas: rādiuss (daudzstūris). Atgūts no: enjoylasmatematicas.com.
4. Matemātikas atvērtā atsauce. Daudzstūru kongruences pārbaude. Atgūts no: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Kongruence (ģeometrija). Atgūts no: es.wikipedia.org.
6. Zapata, F. Trijstūri, vēsture, elementi, klasifikācija, īpašības. Atgūts no: lifeder.com.