APROKSIMĀCIJA, IZMANTOJOT DIFERENCIĀLI - MATEMĀTIKA - 2026

Aproksimācija matemātikā ir skaitlis, kas nav kaut kā precīza vērtība, bet ir tik tuvu tam, ka to uzskata par noderīgu kā šo precīzo vērtību.

Kad matemātikā tiek veiktas tuvināšanas, tas notiek tāpēc, ka manuāli ir grūti (vai dažreiz pat neiespējami) zināt precīzu vēlamās vērtības vērtību.

Galvenais rīks, strādājot ar tuvinājumiem, ir funkcijas diferenciālis.

Funkcijas f diferenciālis, ko apzīmē ar Δf (x), nav nekas vairāk kā funkcijas f atvasinājums, kas reizināts ar neatkarīgā mainīgā izmaiņām, tas ir, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Dažreiz Δf un x vietā tiek izmantoti df un dx.

Aproksimācijas, izmantojot diferenciāli

Formula, kas tiek piemērota tuvināšanas veikšanai caur diferenciāli, rodas tieši no funkcijas atvasinājuma definīcijas kā robeža.

Šo formulu sniedz:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Šeit saprot, ka Δx = x-x0, tāpēc x = x0 + Δx. Izmantojot šo formulu, var pārrakstīt kā

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Jāatzīmē, ka "x0" nav patvaļīga vērtība, bet tāda vērtība, ka f (x0) ir viegli zināma; turklāt "f (x)" ir tikai vērtība, kuru vēlamies tuvināt.

Vai ir labāki tuvinājumi?

Atbilde ir jā. Iepriekš minētais ir vienkāršākais no tuvinājumiem, ko sauc par "lineāro tuvinājumu".

Labākas kvalitātes tuvināšanai (pieļauto kļūdu ir mazāk) tiek izmantoti polinomi ar vairāk atvasinājumiem, kurus sauc par "Teilora polinomiem", kā arī citas skaitliskās metodes, piemēram, Ņūtona-Rafsona metode.

Stratēģija

Stratēģija, kas jāievēro, ir šāda:

- Izvēlieties piemērotu funkciju f, lai veiktu tuvināšanu un vērtību «x», lai f (x) būtu tuvināmā vērtība.

- Izvēlieties vērtību "x0", kas ir tuvu "x", tā, lai f (x0) būtu viegli aprēķināt.

- Aprēķiniet Δx = x-x0.

- Aprēķiniet funkcijas y f '(x0) atvasinājumu.

- Aizvietojiet datus formulā.

Atrisināti tuvināšanas vingrinājumi

Turpinājumā ir virkne vingrinājumu, kur tuvināšana tiek veikta, izmantojot diferenciāli.

Pirmais vingrinājums

Aptuveni √3.

Risinājums

Ievērojot stratēģiju, jāizvēlas piemērota funkcija. Šajā gadījumā var redzēt, ka izvēlētajai funkcijai jābūt f (x) = √x un tuvināmajai vērtībai ir f (3) = √3.

Tagad mums jāizvēlas vērtība "x0", kas tuvu "3", lai f (x0) būtu viegli aprēķināt. Ja ir izvēlēts "x0 = 2", tad "x0" ir tuvu skaitlim "3", bet f (x0) = f (2) = √2 nav viegli aprēķināt.

Piemērotā "x0" vērtība ir "4", jo "4" ir tuvu "3" un arī f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Ja "x = 3" un "x0 = 4", tad Δx = 3-4 = -1. Tagad mēs turpinām aprēķināt f atvasinājumu. Tas ir, f '(x) = 1/2 * √x, tātad f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Aizstājot visas iegūtās formulas vērtības:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Ja izmantojat kalkulatoru, iegūst šādu √3≈1.73205… Tas parāda, ka iepriekšējais rezultāts ir labs patiesās vērtības tuvinājums.

Otrais vingrinājums

Aptuveni √10.

Risinājums

Tāpat kā iepriekš, f (x) = √xy tiek izvēlēta kā funkcija, šajā gadījumā x = 10.

X0 vērtība, lai izvēlētos šo laiku, ir "x0 = 9". Pēc tam mums ir Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 un f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Novērtējot formulā, tiek iegūts, ka

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3,1666…

Izmantojot kalkulatoru, tiek iegūts, ka √10 ≈ 3,1622776 … Šeit arī redzams, ka iepriekš tika iegūts labs tuvinājums.

Trešais vingrinājums

Aptuveni ³√10, kur ³√ apzīmē kuba sakni.

Risinājums

Skaidrs, ka šajā uzdevumā izmantojamā funkcija ir f (x) = ³√x, un “x” vērtībai jābūt “10”.

Vērtība, kas tuvu "10" ir zināma tās kuba sakne, ir "x0 = 8". Tad mums ir Δx = 10-8 = 2 un f (x0) = f (8) = 2. Mums ir arī f '(x) = 1/3 * ³√x², un attiecīgi f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Aizvietojot datus formulā, iegūst:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666….

Kalkulators saka, ka ³√10 ≈ 2,15443469… Tāpēc atrastais tuvinājums ir labs.

Ceturtais vingrinājums

Aptuvenais ln (1.3.), Kur "ln" apzīmē dabiskā logaritma funkciju.

Risinājums

Vispirms mēs izvēlamies kā funkciju f (x) = ln (x), un "x" vērtība ir 1,3. Tagad, nedaudz zinot par logaritma funkciju, mēs zinām, ka ln (1) = 0, un turklāt "1" ir tuvu "1,3". Tāpēc tiek izvēlēts "x0 = 1" un tādējādi Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

No otras puses, f '(x) = 1 / x, lai f' (1) = 1. Novērtējot dotajā formulā, mums ir:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Izmantojot kalkulatoru, mums ir ln (1.3) ≈ 0,262364 … Tātad iegūtais tuvinājums ir labs.

Atsauces

1. Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika. Prentice Hall PTR.
2. Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika: problēmu risināšanas pieeja (2, ilustrēts red.). Mičigana: Prentice zāle.
3. Flemings, W., un Varbergs, D. (1991). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
4. Larsons, R. (2010). Precalculus (8 izd.). Cengage mācīšanās.
5. Leāls, JM un Vilorija, NG (2005). Plaknes analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: Venezolana CA redakcija
6. Perezs, CD (2006). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkuluss (devītais izdevums). Prentice zāle.
8. Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins ar agrīnām transcendentām funkcijām zinātnei un inženierijai (otrais izdevums, ed.). Hipotenūza.
9. Skots, Kalifornija (2009). Dekarta plaknes ģeometrija, daļa: Analītiskie koniski (1907) (atkārtots izdošana). Zibens avots.
10. Sullivans, M. (1997). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.