KONJUGĒTAIS BINOMIJS: KĀ TO ATRISINĀT, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Konjugāts binominālo cita binomiālajiem ir tāda, kas to atšķir tikai ar zīmi no operācijas. Binomijs, kā norāda nosaukums, ir algebriska struktūra, kas sastāv no diviem terminiem.

Daži binominālu piemēri ir: (a + b), (3m - n) un (5x - y). Un to konjugētie binomi ir: (a - b), (-3m - n) un (5x + y). Kā redzams uzreiz, atšķirība ir zīmē.

1. attēls. Binomāls un tā konjugētais binomijs. Viņiem ir vienādi termini, taču tie atšķiras ar zīmēm. Avots: F. Zapata.

Binoms, kas reizināts ar tā konjugātu, iegūst ievērojamu produktu, ko plaši izmanto algebrā un zinātnē. Reizināšanas rezultāts ir sākotnējā divdomīgā attēla kvadrātu atņemšana.

Piemēram, (x - y) ir binomāls, un tā konjugāts ir (x + y). Tātad, divu binominālu reizinājums ir terminu kvadrātu atšķirība:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Kā jūs atrisināt konjugēto binomu?

Deklarētais konjugēto binomu noteikums ir šāds:

Kā pielietojuma piemēru mēs vispirms sāksim demonstrēt iepriekšējo rezultātu, ko var izdarīt, izmantojot produkta izplatīšanas īpašību attiecībā pret algebrisko summu.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Iepriekš minēto reizināšanu ieguva, veicot šādas darbības:

- Pirmā binomija pirmo terminu reizina ar otrā termina pirmo terminu

- Tad pirmais no pirmajiem, otrais par otro

- Tad otrais no pirmajiem pēc otrās pirmās

- Beidzot otro no pirmajiem pēc otrās otrās.

Tagad veiksim nelielas izmaiņas, izmantojot komutācijas īpašību: yx = xy. Tas izskatās šādi:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Tā kā ir divi vienādi vārdi, bet pretēja zīme (izcelta krāsa un pasvītrota), tie tiek atcelti un ir vienkāršoti:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Visbeidzot, tiek piemērots, ka skaitļa reizināšana pati par sevi ir līdzvērtīga tā paaugstināšanai līdz kvadrātam, lai xx = x ² un arī yy = y ² .

Tādā veidā tiek parādīts, kas tika norādīts iepriekšējā sadaļā, ka summas un tās starpības reizinājums ir kvadrātu starpība:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

2. attēls. Summa, kas reizināta ar tās starpību, ir kvadrātu starpība. Avots: F. Zapata.

Piemēri

- dažādu izteicienu konjugēti binomi

1. piemērs

Atrodiet (y ² - 3y) konjugātu .

Atbilde : (y ² + 3 g)

2. piemērs

Iegūstiet produktu no (y ² - 3y) un tā konjugātu.

Atbilde: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

3. piemērs

Izstrādājiet produktu (1 + 2a). (2a -1).

Atbilde: iepriekšējā izteiksme ir ekvivalenta (2a + 1). (2a -1), tas ir, tā atbilst binomija un tā konjugāta reizinājumam.

Ir zināms, ka binomija produkts pēc tā konjugētā binomija ir vienāds ar binomināla vārdu kvadrātu starpību:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

4. piemērs

Uzrakstiet reizinājumu (x + y + z) (x - y - z) kā kvadrātu starpību.

Atbilde: mēs varam pielīdzināt iepriekš minētos trinomālos materiālus konjugētās binomālās formas formā, uzmanīgi izmantojot iekavas un kvadrātiekavas:

(x + y + z) (x - y - z) =

Tādā veidā var izmantot kvadrātu starpību:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

5. piemērs

Izsakiet produktu (m ² - m -1) (M ² + m -1) kā kvadrātu starpību.

Atbilde : iepriekšējā izteiksme ir divu trinomu rezultāts. Vispirms tas jāpārraksta kā divu konjugētu binomu produkts:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Mēs pielietojam faktu, ka binomija produkts pēc tā konjugāta ir tā nosacījumu kvadrātiskā atšķirība, kā paskaidrots:

. = (m ² -1) ² - m ²

Vingrinājumi

Kā vienmēr, jūs sākat ar vienkāršākajiem vingrinājumiem un pēc tam palielinat sarežģītības pakāpi.

- 1. vingrinājums

Rakstiet (no 9 līdz ² ) kā produktu.

Risinājums

Pirmkārt, mēs pārrakstām izteiksmi kā kvadrātu starpību, lai piemērotu iepriekš izskaidroto. Tādējādi:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Tālāk mēs koeficients, kas ir līdzvērtīgs šīs kvadrātu atšķirības uzrakstīšanai kā produktam, kā prasīts paziņojumā:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3 -a)

- 2. vingrinājums

Faktors 16x ² - 9y ⁴ .

Risinājums

Izteiksmes faktorēšana nozīmē to uzrakstīt kā produktu. Šajā gadījumā ir nepieciešams iepriekš pārrakstīt izteiksmi, lai iegūtu kvadrātu starpību.

To nav grūti izdarīt, jo, uzmanīgi apskatot, visi faktori ir perfekti kvadrāti. Piemēram, 16 ir kvadrāts 4, 9 ir kvadrāts 3 un ⁴ ir y ² kvadrāts un x ² ir x kvadrāts:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Tad mēs piemērojam to, ko mēs jau zinām iepriekš: ka kvadrātu atšķirība ir konjugētu binomu rezultāts:

(4x) ² - (3 un ² ) ² = (4x - 3 un ² ). (4x + 3 un ² )

- 3. vingrinājums

Rakstiet (a - b) kā binominālu produktu

Risinājums

Iepriekš minētā atšķirība jāraksta kā kvadrātu atšķirība

(√a) ² - (√b) ²

Tad piemēro, ka kvadrātu starpība ir konjugēto binomu rezultāts

(√a - √b) (√a + √b)

- 4. vingrinājums

Viens no konjugētās binomijas lietojumiem ir algebrisko izteiksmju racionalizācija. Šī procedūra sastāv no frakcionētas izteiksmes saucēja sakņu likvidēšanas, kas daudzos gadījumos atvieglo operācijas. Lai racionalizētu šādu izteiksmi, tiek lūgts izmantot konjugāta binomu:

√ (2-x) /

Risinājums

Pirmais ir noteikt saucēja konjugēto binomu:.

Tagad oriģinālās izteiksmes skaitītāju un saucēju reizinām ar konjugāta binomu:

√ (2-x) / {.}

Iepriekšējās izteiksmes saucējā mēs atpazīstam starpības reizinājumu ar summu, kas mums jau ir zināma un atbilst binomināļu kvadrātu starpībai:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Saucēja vienkāršošana ir šāda:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Tagad mēs strādājam ar skaitītāju, kuram par summu izmantosim produkta izplatīšanas īpašību:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

Iepriekšējā izteiksmē mēs atpazīstam binomija (2-x) reizinājumu ar tā konjugātu, kas ir ievērojams produkts, kas vienāds ar kvadrātu starpību. Šādā veidā tiek iegūts racionalizēts un vienkāršots izteiciens:

/ (1 - x)

- 5. vingrinājums

Izmantojot konjugētā binomija īpašības, izstrādā šādu produktu:

.

Risinājums

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = .a ^(2x)

Uzmanīgs lasītājs būs pamanījis kopējo faktoru, kas ir izcelts krāsā.

Atsauces

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Redakcija Cultural Venezolana SA
2. González J. Konjugēti binomiālie vingrinājumi. Atgūts no: academia.edu.
3. Matemātikas skolotājs Alekss. Ievērojami produkti. Atgūts no vietnes youtube.com.
4. Math2me. Konjugēti binomi / nozīmīgi izstrādājumi. Atgūts no vietnes youtube.com.
5. Konjugēti binomiālie produkti. Atgūts no: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugēti binomi. Atgūts no: youtube.com.