- Bāzes īpašības
- Bāzu piemēri
- Kanoniskais pamats ℜ
- Kanoniskais pamats ℜ
- Citas ortonormālās bāzes ℜ
- Atrisināti vingrinājumi
- - 1. vingrinājums
- Risinājums
- - 2. vingrinājums
- Risinājums
- Atsauces
Orthonormal bāze ir izveidota ar vektori ir perpendikulāras viena otrai un kuras modulis ir arī 1 (vienības vektors). Atcerēsimies, ka bāze B vektoru telpā V ir definēta kā lineāri neatkarīgu vektoru kopums, kas spēj radīt minēto telpu.
Savukārt vektora telpa ir abstrakta matemātiska vienība, kuras elementi ir vektori un parasti ir saistīti ar fizikāliem lielumiem, piemēram, ātrumu, spēku un pārvietojumu, vai arī ar matricām, polinomiem un funkcijām.
1. attēls. Ortonormālā bāze plaknē. Avots: Wikimedia Commons. Kvartāls.
Vektoriem ir trīs atšķirīgi elementi: lielums vai modulis, virziens un maņa. Ortonormāls pamats ir īpaši noderīgs, lai tos attēlotu un ar tiem darbotos, jo jebkuru vektoru, kas pieder noteiktai vektoru telpai V, var uzrakstīt kā lineāru vektoru kombināciju, kas veido ortonormālo bāzi.
Tādā veidā analītiski tiek veiktas operācijas starp vektoriem, piemēram, saskaitīšana, atņemšana un dažāda veida produkti, kas definēti minētajā telpā.
Starp fizikā visizplatītākajām bāzēm ir bāze, ko veido vienības vektori i , j un k, kas attēlo trīsdimensiju telpas trīs atšķirīgos virzienus: augstumu, platumu un dziļumu. Šie vektori ir zināmi arī kā kanoniski vienības vektori.
Ja tā vietā vektorus strādā plaknē, pietiktu ar diviem no šiem trim komponentiem, savukārt viendimensiju vektoriem ir nepieciešams tikai viens.
Bāzes īpašības
1- B bāze ir mazākā iespējamā vektoru kopa, kas ģenerē vektoru telpu V.
2- B elementi ir lineāri neatkarīgi.
3- Jebkura vektora telpas V bāze B ļauj izteikt visus V vektorus kā lineāru tā kombināciju, un šī forma ir unikāla katram vektoram. Šī iemesla dēļ B sauc arī par ģenerēšanas sistēmu.
4- vienai un tai pašai vektoru telpai V var būt dažādas bāzes.
Bāzu piemēri
Šeit ir daži ortonormālo bāzu un bāzu piemēri kopumā:
Kanoniskais pamats ℜ
Saukta arī par dabisko bāzi vai base n standarta bāzi , kur ℜ n ir n-dimensijas telpa, piemēram, trīsdimensiju telpa ir ℜ 3 . N vērtību sauc par vektoru telpas dimensiju un apzīmē ar dim (V).
Visus vektorus, kas pieder ℜ n , attēlo sakārtotas n-reklāmas. Atstarpei ℜ n kanoniskais pamats ir:
e 1 = <1,0,. . . , 0>; e 2 = <0,1,. . . , 0>; …… .. e n = <0,0,. . . , 1>
Šajā piemērā mēs esam izmantojuši apzīmējumu ar iekavām vai “iekavām” un treknrakstu vienību vektoriem e 1 , e 2 , e 3 …
Kanoniskais pamats ℜ
Pazīstamie vektori i , j un k pieļauj to pašu attēlojumu, un visi trīs ir pietiekami, lai pārstāvētu vektorus ℜ 3 :
i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>
Tas nozīmē, ka bāzi var izteikt šādi:
B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}
Lai pārbaudītu, vai tie ir lineāri neatkarīgi, ar tiem izveidotais determinants nav nulle un arī vienāds ar 1:
F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.
Tāpēc i , j un k veido system 3 ģeneratoru sistēmu .
Citas ortonormālās bāzes ℜ
Iepriekšējā sadaļā aprakstītā standarta bāze nav vienīgā ortonormālā bāze ℜ 3 . Šeit mums, piemēram, ir bāzes:
B 1 = {
B 2 = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>}
Var parādīt, ka šīs bāzes nav normālas, tāpēc mēs atceramies nosacījumus, kas jāizpilda:
-Vektoriem, kas veido bāzi, jābūt taisnleņķa viens otram.
-Katram no viņiem jābūt vienotiem.
To varam pārbaudīt, zinot, ka to izveidotajam determinantam jābūt nullei un vienādam ar 1.
Bāze B 1 ir tieši cilindrisko koordinātu ρ, φ un z bāze , kas ir vēl viens veids, kā izteikt vektorus telpā.
2. attēls. Cilindriskās koordinātas. Avots: Wikimedia Commons. Matemātika
Atrisināti vingrinājumi
- 1. vingrinājums
Parādiet, ka pamatne B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5,0; <0,0,1>} ir ortonormāls.
Risinājums
Lai parādītu, ka vektori ir perpendikulāri viens otram, mēs izmantosim skalāru koeficientu, ko sauc arī par divu vektoru iekšējo vai punktveida produktu.
Ļaujiet jebkuriem diviem vektoriem u un v , to punktu reizinājumu nosaka:
u • v = uv cosθ
Lai atšķirtu to moduļu vektorus, pirmajam izmantosim treknrakstu, bet otrajam - parasto burtu. θ ir leņķis starp u un v, tāpēc, ja tie ir perpendikulāri, tas nozīmē, ka θ = 90 ° un skalārā koeficienta vērtība ir nulle.
Alternatīvi, ja vektori ir norādīti to sastāvdaļu izteiksmē: u =
u • v = u x .v x + u y .v y + u z .v z
Tādā veidā skalārie produkti starp katru vektoru pāri ir attiecīgi:
i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0
ii) <3/5, 4 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
iii) <- 4/5, 3 / 5,0> • <0, 0,1> = 0
Otrajam nosacījumam aprēķina katra vektora moduli, ko iegūst:
│u │ = √ (u x 2 + u y 2 + u z 2 )
Tādējādi katra vektora moduļi ir:
│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1
│ <0, 0,1> │ = √ = 1
Tāpēc visi trīs ir vienības vektori. Visbeidzot, to veidojošais faktors nav nulle un vienāds ar 1:
- 2. vingrinājums
Uzrakstiet vektora koordinātas w = <2, 3.1> iepriekšminētās bāzes izteiksmē.
Risinājums
Lai to izdarītu, tiek izmantota šāda teorēma:
w = < w • v 1 > v 1 + < w • v 2 > v 2 + < w • v 3 > v 3 +… < w • v n > v n
Tas nozīmē, ka vektoru varam uzrakstīt B bāzē, izmantojot koeficientus < w • v 1 >, < w • v 2 >,… < w • v n >, kuriem mums jāaprēķina norādītie skalārie reizinājumi:
<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1,0 = (6/5) + (12) / 5) = 18/5
<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1,0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5
<2, 3,1> • <0,0,1> = 1
Ar iegūtajiem skalārajiem produktiem tiek izveidota matrica, ko sauc par w koordinātu matricu.
Tāpēc vektora w koordinātas bāzē B izsaka šādi:
B =
Koordinātu matrica nav vektors, jo vektors nav tas pats, kas tā koordinātas. Tās ir tikai skaitļu kopa, kas kalpo, lai izteiktu vektoru dotajā bāzē, nevis vektors kā tāds. Tie ir atkarīgi arī no izvēlētās bāzes.
Visbeidzot, pēc teorēmas, vektors w tiks izteikts šādi :
w = (18/5) v 1 + (1/5) v 2 + v 3
Ar: v 1 = <3/5, 4 / 5,0>; v 2 = <- 4/5, 3 / 5,0>; v 3 = <0,0,1>}, tas ir, bāzes B vektoriem.
Atsauces
- Larsons, R. Lineārās algebras pamati. 6. Izdevums. Cengage mācīšanās.
- Larsons, R. 2006. Kalkulus. 7. Izdevums. 2. sējums. Makgreiva kalns.
- Salas, J. Lineārā algebra. 10. vienība. Ortonormālās bāzes. Atgūts no: ocw.uc3m.es.
- Seviļas universitāte. Cilindriskās koordinātas. Vektoru bāze. Atgūts no: laplace.us.es.
- Wikipedia. Ortonormālā bāze. Atgūts no: es.wikipedia.org.