IEDOMĀTI SKAITĻI: ĪPAŠĪBAS, LIETOJUMI, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Par iedomātas skaitļi ir tie, kas atrisināt vienādojumu, kurā zināms, paaugstināts kvadrātam ir vienāda ar negatīvu reālu skaitli. Iedomātā vienība ir i = √ (-1).

Vienādojumā: z ² = - a, z ir iedomāts skaitlis, ko izsaka šādi:

z = √ (-a) = i√ (a)

Būt pozitīvam reālajam skaitlim. Ja a = 1, tad z = i, kur i ir iedomātā vienība.

1. attēls. Kompleksa plakne, kurā parādīti daži reālie skaitļi, daži iedomāti skaitļi un daži sarežģīti skaitļi. Avots: F. Zapata.

Parasti tīru iedomātu skaitli z vienmēr izsaka šādā formā:

z = y⋅i

Kur y ir reālais skaitlis un i ir iedomātā vienība.

Tāpat kā reālie skaitļi tiek attēloti uz līnijas, ko sauc par reālo līniju, līdzīgā veidā iztēlotie skaitļi tiek attēloti uz iedomātas līnijas.

Iedomātā līnija vienmēr ir taisnleņķa (90 ° forma) attiecībā pret reālo līniju, un abas līnijas nosaka Dekarta plakni, ko sauc par komplekso plakni.

1. attēlā parādīta sarežģītā plakne, un tajā attēloti daži reālie skaitļi, daži iedomāti skaitļi un arī daži sarežģīti skaitļi:

X ₁ , X ₂ , X ₃ ir reāli skaitļi

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ ir iedomāti skaitļi

Z ₂ un Z ₃ ir sarežģīti skaitļi

Skaitlis O ir reālā nulle un tā ir arī iedomātā nulle, tāpēc iznākums O ir kompleksais nulle, ko izsaka:

0 + 0i

Īpašības

Iedomātu skaitļu kopu apzīmē ar:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., Es,…., 2i,…., 3i, ……}

Un jūs varat definēt dažas operācijas ar šo ciparu kopu. Šajās operācijās ne vienmēr tiek iegūts iedomāts skaitlis, tāpēc apskatīsim tos nedaudz sīkāk:

Pievienojiet un atņemiet iedomāto

Iztēlotos skaitļus var saskaitīt un atņemt viens no otra, iegūstot jaunu iedomātu skaitli. Piemēram:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Iedomātā produkta produkts

Kad tiek iegūts viena iedomāta skaitļa reizinājums ar otru, rezultāts ir reāls skaitlis. Lai to pārbaudītu, veiksim šādu darbību:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Un kā redzam, -6 ir reāls skaitlis, kaut arī tas iegūts, reizinot divus tīri iedomātu skaitļus.

Cita iedomāta reālā skaitļa reizinājums

Ja reālais skaitlis tiek reizināts ar i, rezultāts būs iedomāts skaitlis, kas atbilst 90 grādu pretēji pulksteņa rādītāja virzienam.

Un tas ir tāds, ka i ² atbilst divām secīgām rotācijām 90 grādu leņķī, kas ir ekvivalents reizinot ar -1, tas ir, i ² = -1. To var redzēt šajā diagrammā:

2. attēls. Reizinājums ar iedomātu vienību i atbilst 90 ° pretēji pulksteņa rādītāja virzienam. Avots: wikimedia commons.

Piemēram:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Iedomātā iedrošināšana

Varat definēt iedomāta skaitļa potenciāciju skaitļa eksponentam:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Kopumā mums ir, ka i ⁿ = i ^ (n mod 4), kur mod ir atlikuma dalījums starp n un 4.

Var veikt arī negatīvu skaitļu potenciifikāciju:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Kopumā iedomātais skaitlis b⋅i, kas paaugstināts līdz jaudai n, ir:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Daži piemēri ir šādi:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Reālā skaitļa un iedomātā skaitļa summa

Pievienojot reālu skaitli ar iedomātu, rezultāts nav ne reāls, ne iedomāts, tas ir jauna veida numurs, ko sauc par kompleksu numuru.

Piemēram, ja X = 3,5 un Y = 3,75i, tad rezultāts ir kompleksa skaitlis:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Ņemiet vērā, ka summā reālo un iedomāto daļu nevar sagrupēt, tāpēc kompleksam skaitlim vienmēr būs reālā daļa un iedomātā daļa.

Šī operācija paplašina reālo skaitļu kopu līdz visplašākajam kompleksajam skaitlim.

Lietojumprogrammas

Iedomāto numuru nosaukumu franču matemātiķis Renē Dekarts (1596-1650) ierosināja kā ņirgāšanos vai nepiekrišanu tam, ko izteica gadsimta itāļu matemātiķis Raffaelle Bombelli.

Citi lieliski matemātiķi, piemēram, Eulers un Leibnizs, atbalstīja Dekartu šajā nesaskaņā un sauca iedomātu numuru abinieku numurus, kas tika saplēsti starp būtni un neko.

Iedomātu skaitļu nosaukums joprojām ir mūsdienās, taču to esamība un nozīme ir ļoti reāla un taustāma, jo tie dabiski parādās daudzās fizikas jomās, piemēram:

- relativitātes teorija.

-In elektromagnētisms.

-Kvantu mehānika.

Vingrinājumi ar iedomātajiem skaitļiem

- 1. vingrinājums

Atrodiet šāda vienādojuma risinājumus:

z ² + 16 = 0

Risinājums

z ² = -16

Ņemot kvadrātsakni abos biedros, mums ir:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Citiem vārdiem sakot, sākotnējā vienādojuma risinājumi ir:

z = + 4i oz = -4i.

- 2. vingrinājums

Atrodiet rezultātu, iedomāto vienību paceļot līdz jaudai 5, no kuras atņemot iedomāto vienību, kas pacelta līdz jaudai -5.

Risinājums

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- 3. vingrinājums

Atrodiet šādas operācijas rezultātu:

(3i) ³ + 9i

Risinājums

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- 4. vingrinājums

Atrodiet šāda kvadrātiskā vienādojuma risinājumus:

(-2x) ² + 2 = 0

Risinājums

Vienādojumu pārkārto šādi:

(-2x) ² = -2

Tad tiek ņemta abu locekļu kvadrātsakne

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Tad mēs izlemjam par x, lai beidzot iegūtu:

x = ± √2 / 2 i

Tas ir, ir divi iespējamie risinājumi:

x = (√2 / 2) i

Vai arī šo citu:

x = - (√2 / 2) i

- 5. vingrinājums

Atrodiet Z vērtību, ko nosaka:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Risinājums

Mēs zinām, ka negatīvā reālā skaitļa kvadrātsakne ir iedomāts skaitlis, piemēram, √ (-9) ir vienāds ar √ (9) x √ (-1) = 3i.

No otras puses, √ (-4) ir vienāds ar √ (4) x √ (-1) = 2i.

Tātad sākotnējo vienādojumu var aizstāt ar:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- 6. vingrinājums

Atrodiet Z vērtību, kas iegūta, sadalot divus sarežģītus skaitļus:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Risinājums

Izteiciena skaitītāju var ņemt vērā, izmantojot šādu īpašību:

Tātad:

Z = / (3 + i)

Iegūtais izteiciens ir vienkāršots zemāk, atstājot

Z = (3 - i)

Atsauces

1. Earl, R. Sarežģīti skaitļi. Atgūts no: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matemātika 1.sēr. Daudzveidīgs. CO-BO izdevumi.
3. Hoffmann, J. 2005. Matemātikas tēmu atlase. Monforta publikācijas.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
5. Wikipedia. Iedomāts numurs. Atgūts no: en.wikipedia.org