VARBŪTĪBAS AKSIOMAS: VEIDI, SKAIDROJUMS, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - DUDAS - 2025

Par ar varbūtību aksiomas ir matemātiski priekšlikumi, kas attiecas uz varbūtību teoriju, kas nepienākas pierādījums. Aksiomas 1933. gadā izveidoja krievu matemātiķis Andrejs Kolmogorovs (1903–1987) savos Varbūtības teorijas pamati un lika pamatus varbūtības matemātiskai izpētei.

Veicot noteiktu izlases eksperimentu the, parauga telpa E ir visu iespējamo eksperimenta rezultātu kopa, ko sauc arī par notikumiem. Jebkurš notikums tiek apzīmēts kā A, un P (A) ir tā rašanās varbūtība. Tad Kolmogorovs konstatēja, ka:

1. attēls. Varbūtības aksiomas ļauj mums aprēķināt tādu azartspēļu kā rulete trāpīšanas varbūtību. Avots: Pixabay.

- 1. aksioma (nenegativitāte) : varbūtība, ka notiek kāds notikums A, vienmēr ir pozitīva vai nulle, P (A) ≥0. Ja notikuma varbūtība ir 0, to sauc par neiespējamu notikumu.

- 2. aksioma (noteiktība) : vienmēr, kad notiek kāds notikums, kas pieder E, tā iestāšanās varbūtība ir 1, ko mēs varam izteikt kā P (E) = 1. Tas ir zināms kā noteikts notikums, jo, veicot eksperimentu, noteikti ir rezultāts.

- 3. aksioma (papildinājums) : ja notiek divi vai vairāki nesavienojami notikumi pa diviem, kurus sauc par A ₁ , A ₂ , A ₃ …, varbūtība, ka notiks notikums A ₁ plus A ₂ un A ₃ utt. secīgi, tā ir varbūtību summa, kas notiek katram atsevišķi.

To izsaka šādi: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) +…

2. attēls. Ievērojamais krievu matemātiķis Andrejs Kolmogorovs (1903–1987), kurš lika pamatus aksiomātiskai varbūtībai. Avots: Wikimedia Commons.

Piemērs

Varbūtības aksiomas plaši izmanto daudzos pielietojumos. Piemēram:

Sīktēls vai sadursme tiek izmesta gaisā, un, kad tā nokrīt uz grīdas, ir iespēja nolaisties ar punktu uz augšu (U) vai ar punktu uz leju (D) (mēs neizvērtēsim citas iespējas). Šī eksperimenta parauga telpa sastāv no šiem notikumiem, pēc tam E = {U, D}.

3. attēls. Stieņa mešanas eksperimentā ir divi dažādu varbūtību notikumi: piezemēšanās ar punktu uz augšu vai pret zemi. Avots: Pixabay.

Izmantojot aksiomas, mums ir:

Ja vienlīdz iespējams nolaisties uz augšu vai uz leju, P (U) = P (D) = ½ (1. aksioma). Tomēr sīktēla uzbūve un dizains var padarīt to lielāku iespēju nokrist vienā vai otrā veidā. Piemēram, var būt, ka P (U) = ¾, kamēr P (D) = ¼ (1. aksioma).

Ņemiet vērā, ka abos gadījumos varbūtību summa dod 1. Tomēr aksiomas nenorāda, kā vismaz pielīdzināt varbūtības. Bet viņi apgalvo, ka tie ir skaitļi no 0 līdz 1 un ka, tāpat kā šajā gadījumā, visu summa ir 1.

Varbūtības piešķiršanas veidi

Varbūtības aksiomas nav varbūtības vērtības noteikšanas metode. Šim nolūkam ir trīs aksiomām saderīgas iespējas:

Laplasa noteikums

Katram notikumam tiek piešķirta tāda pati notikumu varbūtība, tad notikuma varbūtību definē šādi:

Piemēram, kāda ir varbūtība uzvilkt dūzīti no franču karšu klāja? Klājā ir 52 kārtis, pa 13 no katra uzvalka, un ir 4 uzvalki. Katrā uzvalkā ir 1 dūža, tātad kopumā ir 4 dūži:

P (kā) = 4/52 = 1/13

Laplasa noteikums aprobežojas ar ierobežotām parauga vietām, kur katrs notikums ir vienlīdz ticams.

Relatīvais biežums

Šeit eksperimentam jābūt atkārtojamam, jo ​​metodes pamatā ir liela skaita atkārtojumu veikšana.

Veiksim i eksperimenta pet atkārtojumus, no kuriem mēs secinām, ka n ir noteikts notikuma A reižu skaits, tad varbūtība, ka šis notikums notiek:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Kur n / i ir notikuma relatīvais biežums.

P (A) noteikšana šādā veidā apmierina Kolmogorova aksiomas, taču tai ir trūkums, ka, lai varbūtība būtu piemērota, ir jāveic daudzi testi.

Subjektīvā metode

Persona vai cilvēku grupa var vienoties par notikuma varbūtības noteikšanu, izmantojot savu lēmumu. Šīs metodes trūkums ir tāds, ka dažādi cilvēki vienam un tam pašam notikumam var piešķirt dažādas varbūtības.

Vingrinājums atrisināts

Eksperimentējot vienlaicīgi mest 3 godīgas monētas, iegūstiet aprakstīto notikumu iespējamību:

a) 2 galvas un aste.

b) 1 galva un divas astes

c) 3 krusti.

d) Vismaz 1 seja.

Risinājums

Galvas apzīmē ar C un astes ar X. Bet ir vairākas iespējas, kā iegūt divas galvas un asti. Piemēram, pirmās divas monētas var nolaist galviņas un trešās var nolaist astes. Vai arī pirmajai var nokrist galvas, otrajai astei un trešajai galvai. Un visbeidzot pirmās var būt astes un atlikušās galvas.

Lai atbildētu uz jautājumiem, ir jāzina visas iespējas, kas aprakstītas rīkā, ko sauc par koku diagrammu vai varbūtības koku:

4. attēls. Koka diagramma trīs godīgu monētu vienlaicīgai mētāšanai. Avots: F. Zapata.

Varbūtība, ka jebkurai monētai būs galvas, ir ½, tas pats attiecas uz astēm, jo ​​monēta ir godīga. Labajā kolonnā ir uzskaitītas visas mētāšanās iespējas, tas ir, parauga vieta.

No parauga vietas tiek izvēlētas kombinācijas, kas reaģē uz pieprasīto notikumu, jo seju parādīšanas secība nav svarīga. Ir trīs labvēlīgi notikumi: CCX, CXC un XCC. Katra notikuma iespējamība ir šāda:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Tas pats notiek ar CXC un XCC notikumiem, katram no tiem ir 1/8 varbūtība. Tāpēc varbūtība iegūt precīzi 2 galvas ir visu labvēlīgo notikumu varbūtību summa:

P (divpusējs) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Risinājums b

Atrodot varbūtību, ka notiek tieši divi krusti, ir problēma, kas ir analoga iepriekšējai, ir arī trīs labvēlīgi notikumi, kas ņemti no parauga telpas: CXX, XCX un XXC. Tādējādi:

P (2 krusti) = 3/8 = 0,375

Risinājums c

Intuitīvi mēs zinām, ka varbūtība iegūt 3 astes (vai 3 galvas) ir mazāka. Šajā gadījumā vēlamais notikums ir XXX labās slejas beigās, kura varbūtība ir šāda:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Risinājums d

Tiek prasīts iegūt vismaz 1 seju, tas nozīmē, ka var parādīties 3 sejas, 2 sejas vai 1 seja. Vienīgais ar to nesaderīgais notikums ir tāds, kurā iznāk 3 astes, kuru varbūtība ir 0,125. Tāpēc tiek meklēta varbūtība:

P (vismaz 1 galva) = 1 - 0,125 = 0,875.

Atsauces

1. Canavos, G. 1988. Varbūtība un statistika: lietojumi un metodes. Makgreiva kalns.
2. Devore, J. 2012. Varbūtība un statistika inženierzinātnēs un zinātnē. 8. Izdevums. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Varbūtība. Makgreiva kalns.
4. Obregón, I. 1989. Varbūtības teorija. Redakcija Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Varbūtība un statistika inženierzinātnēs un zinātnēs. Pīrsons.