LOKA (ĢEOMETRIJA): IZMĒRS, ARKU VEIDI, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Loka , ģeometrija, ir jebkura izliekta līnija, kas savieno divus punktus. Liekta līnija atšķirībā no taisnas līnijas ir tā, kuras virziens katrā tās punktā ir atšķirīgs. Loka pretstats ir segments, jo tas ir taisns posms, kas savieno divus punktus.

Ģeometrijā visbiežāk izmantotā loka ir apkārtmēra loka. Citas plaši izmantotas arkas ir paraboliskā arka, eliptiska arka un kontakttīkla arka. Arkas formu arhitektūrā bieži izmanto arī kā dekoratīvu un strukturālu elementu. Tas attiecas uz durvju un logu pārsegiem, kā arī uz tiltiem un akveduktiem.

1. attēls. Varavīksne ir izliekta līnija, kas savieno divus horizonta punktus. Avots: Pixabay

Arka un tās mērs

Loka izmērs ir tā garums, kas ir atkarīgs no līknes veida, kas savieno divus punktus, un to atrašanās vietas.

Apļveida loka garums ir viens no vienkāršākajiem, ko aprēķināt, jo ir zināms visa loka vai apkārtmēra perimetra garums.

Apļa perimetrs ir divreiz lielāks par tā rādiusu: p = 2 π R. Zinot to, ja mēs vēlamies aprēķināt leņķa α apļveida loka garumu s (mērot radiānos) un rādiusu R, tiek piemērota proporcija:

(s / p) = (α / 2 π)

Tad, attīrot s no iepriekšējās izteiksmes un aizstājot tās izteiksmi ar perimetru p kā rādiusa R funkciju, mums ir:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Tas ir, apļveida loka izmērs ir tā leņķa atveres reizinājums ar apļveida loka rādiusu.

Arkai kopumā problēma ir sarežģītāka, līdz ar to lielie senatnes domātāji apgalvoja, ka tas ir neiespējams uzdevums.

Tikai diferenciālo un integrālo aprēķinu parādīšanās 1665. gadā tika apmierinoši atrisināta jebkura loka mērīšanas problēma.

Pirms diferenciālā aprēķina izgudrošanas risinājumus varēja atrast tikai, izmantojot daudzstūrainas līnijas vai apkārtmēru loka, kas tuvināja patieso loku, taču šie risinājumi nebija precīzi.

Loku veidi

No ģeometrijas viedokļa loka tiek klasificētas pēc izliektas līnijas, kas savieno divus plaknes punktus. Ir arī citas klasifikācijas pēc tās izmantošanas un arhitektūras formas.

Apļveida loka

Kad līnija, kas savieno divus punktus plaknē, ir noteikta rādiusa apkārtmēra gabals, mums ir apļveida loka. 2. attēlā parādīta apļa loka c rādiuss R, kas savieno A un B punktus.

2. attēls. R rādiusa apļa loka, kas savieno punktus A un B. Izstrādāja Ricardo Pérez.

Paraboliskā arka

Parabola ir ceļš, pa kuru virzās priekšmets, kurš slīpi izmests gaisā. Ja līkne, kas savieno divus punktus, ir parabola, tad mums ir tāds parabolisks loka kā parādīts 3. attēlā.

3. attēls. Paraboliskā loka savienojuma punkti A un B. Izstrādājis Ricardo Pérez.

Tāda ir ūdens strūklas forma, kas iznāk no šļūtenes, kas vērsta uz augšu. Parabolisko loku var novērot ūdens avotos.

4. attēls. Paraboliskā arka, ko ūdens veido no strūklakas Drēzdenē. Avots: Pixabay.

Kalendāra arka

Kalatūras arka ir vēl viena dabiska arka. Kontaktligzda ir līkne, kas veidojas dabiski, kad ķēde vai virve brīvi karājas no diviem atsevišķiem punktiem.

5. attēls. Kontakttīkla arka un salīdzinājums ar parabolisko arku. Sagatavojis Ricardo Pérez.

Katenārs ir līdzīgs parabolai, taču tas nav tieši tāds, kā redzams 4. attēlā.

Apgrieztā kontaktligzdas arka tiek izmantota arhitektūrā kā konstrukcijas elements ar augstu spiedes stiprību. Faktiski to var parādīt kā spēcīgāko priekšgala veidu starp visām iespējamām formām.

Lai izveidotu stabilu kontakttīkla arku, vienkārši nokopējiet piekārtās virves vai ķēdes formu, pēc tam kopēto formu pārloka, lai reproducētu to uz durvju vai loga pārsega.

Eliptiskā arka

Loks ir eliptisks, ja līkne, kas savieno divus punktus, ir elipse. Elipse tiek definēta kā to punktu atrašanās vieta, kuru attālums līdz diviem norādītajiem punktiem vienmēr veido nemainīgu daudzumu.

Elipse ir līkne, kas parādās dabā: tā ir planētu ap Sauli trajektorijas līkne, kā to parādīja Johans Keplers 1609. gadā.

Praksē elipsi var uzzīmēt, piespraužot divus stieņus pie zemes vai divus tapas papīra gabalā un sasienot tiem virkni. Tad virvi pievelk ar marķieri vai zīmuli un izliekumu izseko. Elipses gabals ir elipses loka. Tālāk sniegtā animācija parāda, kā tiek uzzīmēta elipse:

5. attēls. Elipses izsekošana, izmantojot saspiestu virvi. Avots: Wikimedia Commons

6. attēlā parādīts elipsveida loka savienojuma punkti G un H.

6. attēls. Eliptiska arka, kas savieno divus punktus. Sagatavojis Ricardo Pérez.

Arku piemēri

Šie piemēri attiecas uz to, kā aprēķināt dažu īpašu arku perimetru.

1. piemērs

7. attēlā parādīts logs, kas pabeigts ar izgrieztu apļveida loku. Attēlā parādītie izmēri ir pēdās. Atrodiet loka garumu.

7. attēls. Loga riņķveida loka garuma aprēķins. (Pašu piezīmes - loga attēls Pixabay)

Lai iegūtu loga apšuvuma apļveida loka centru un rādiusu, attēlā tiek izgatavotas šādas konstrukcijas:

-Izzīmēts segments KL un uzzīmēts tā bisektors.

-Tad atrodas pārsedzes augstākais punkts, ko mēs saucam par M. Tālāk tiek apskatīts KM segments un izsekota tā mediatrix.

Abu bisektoru krustojums ir punkts N, un tas ir arī apļveida loka centrs.

-Tagad mums jāizmēra NM segmenta garums, kas sakrīt ar apļveida loka rādiusu R: R = 2,8 pēdas.

-Lai papildus rādiusam būtu zināms arī loka garums, ir jāzina leņķis, kuru veido loka. Ko var noteikt ar divām metodēm, vai nu to mēra ar proraktoru, vai arī alternatīvi to aprēķina, izmantojot trigonometriju.

Parādītajā gadījumā loka izveidotais leņķis ir 91,13 °, kas jāpārvērš radiānos:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 radiāni

Visbeidzot, mēs aprēķinām loka garumu s, izmantojot formulu s = α R.

s = 1,59 * 2,8 pēdas = 4,45 pēdas

2. piemērs

Uzziniet elipses loka garumu, kas parādīts 8. attēlā, zinot elipse puslielāko asi r un pusminorālo asi s.

8. attēls. Elipsveida arka starp GH. Sagatavojis Ricardo Pérez.

Elipses garuma atrašana ilgu laiku bija viena no grūtākajām problēmām matemātikā. Jūs varat saņemt risinājumus, kas izteikti ar elipsveida integrāliem, bet, lai iegūtu skaitlisku vērtību, šie integrāļi ir jāpaplašina jaudas sērijās. Lai iegūtu precīzu rezultātu, būs nepieciešami bezgalīgi daudz šo sēriju.

Par laimi, hindu matemātikas ģēnijs Ramanujan, kurš dzīvoja no 1887. līdz 1920. gadam, atrada formulu, kas ļoti precīzi tuvina elipseles perimetru:

Elipses perimetrs ar r = 3 cm un s = 2,24 cm ir 16,55 cm. Tomēr parādītajam elipsveida lokam ir puse no šīs vērtības:

Eliptiskās arkas garums GH = 8,28 cm.

Atsauces

1. Clemens S. 2008. Ģeometrija un trigonometrija. Pīrsona izglītība.
2. Garsija F. Skaitliskās procedūras Java. Elipses garums. Atgūts no: sc.ehu.es
3. Dinamiskā ģeometrija. Loki. Atgūts no geometriadinamica.es
4. Piziadas. Elipsi un parabolas mums apkārt. Atgūts no: piziadas.com
5. Wikipedia. Arka (ģeometrija). Atgūts no: es.wikipedia.com