ANTIDERIVATĪVS LĪDZEKLIS: FORMULAS UN VIENĀDOJUMI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Nenoteiktais integrālis F (x) no funkcijas f (x) sauc arī primitīva, vai vienkārši nenoteiktais integrālis minētās funkcijas, ja konkrētā intervāla I, tas ir izpildīts, ka F'(x) = f (x)

Piemēram, pieņemsim šādu funkciju:

f (x) = 4x ³

Šīs funkcijas atvasinājums ir F (x) = x ⁴ , jo, diferencējot F (x), izmantojot spēku atvasināšanas noteikumu:

Precīzi iegūstam f (x) = 4x ³ .

Tomēr tas ir tikai viens no daudzajiem f (x) atvasinājumiem, jo ​​šī cita funkcija: G (x) = x ⁴ + 2 arī ir, jo, diferencējot G (x) attiecībā pret x, tiek iegūts tas pats atpakaļ f (x).

Pārbaudīsim:

Atcerieties, ka konstantes atvasinājums ir 0. Tāpēc terminam x ⁴ mēs varam pievienot jebkuru konstanti , un tā atvasinājums paliks 4x ³ .

Secināts, ka jebkura f (x) = x ⁴ + C vispārējās formas funkcija , kur C ir reāla konstante, kalpo kā f (x) antiderivatīvs.

Iepriekš minēto ilustratīvo piemēru var izteikt šādi:

dF (x) = 4x ³ dx

Atvasinājumu vai nenoteiktu integrālu izsaka ar simbolu ∫, tāpēc:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Kur funkciju f (x) = 4x ³ sauc par integrandu, un C ir par integrācijas konstantu.

Atvasinājumu piemēri

1. attēls. Atvasinājums nav nekas cits kā nenoteikts integrālis. Avots: Pixabay.

Atsevišķos gadījumos, kad atvasinājumi ir labi zināmi, ir viegli atrast funkcijas antiderivatīvu. Piemēram, ļaujiet funkcijai f (x) = sin x, tās atvasinājums ir vēl viena funkcija F (x), piemēram, diferencējot, iegūstam f (x).

Šī funkcija var būt:

F (x) = - cos x

Pārbaudīsim, vai tā ir taisnība:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Tāpēc mēs varam rakstīt:

∫sen x dx = -cos x + C

Papildus atvasinājumu zināšanai ir arī daži pamata un vienkārši integrācijas noteikumi, lai atrastu atvasinājumu vai nenoteiktu integrālu.

Ļaujiet k būt reālai konstantei, tad:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Ja funkciju h (x) var izteikt kā divu funkciju saskaitīšanu vai atņemšanu, tad tās nenoteiktais integrālis ir:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Tas ir linearitātes īpašums.

Integrālo spēku likumu var noteikt šādā veidā:

Ja n = -1, tiek izmantots šāds noteikums:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Ir viegli parādīt, ka atvasinājums no ln x ir precīzi x ^-1 .

Diferenciālvienādojumi

Diferenciālvienādojums ir tāds, kurā nezināmais tiek atrasts kā atvasinājums.

Tagad, sākot ar iepriekšējo analīzi, ir viegli saprast, ka atvasinājuma apgrieztā darbība ir antiderivatīva vai nenoteikts integrālis.

Ļaujiet f (x) = y´ (x), tas ir, noteiktas funkcijas atvasinājumam. Lai norādītu šo atvasinājumu, mēs varam izmantot šādu apzīmējumu:

Tieši no tā izriet, ka:

Diferenciālvienādojuma nezināmais ir funkcija y (x), tā, kuras atvasinājums ir f (x). Lai to atrisinātu, iepriekšējā izteiksme ir integrēta abās pusēs, kas ir līdzvērtīga antiderivatīva piemērošanai:

Kreiso integrālu atrisina ar 1. integrācijas noteikumu ar k = 1, tādējādi atrisinot vēlamo nezināmo:

Un tā kā C ir reāla konstante, lai zināt, kura no tām ir piemērota katrā gadījumā, paziņojumā jāietver pietiekami daudz papildu informācijas, lai aprēķinātu C vērtību. To sauc par sākotnējo nosacījumu.

Nākamajā sadaļā mēs redzēsim visa tā piemērošanas piemērus.

Antiderivatīvie vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Pielietojiet integrācijas noteikumus, lai iegūtu sekojošus dotās funkcijas antiderivatīvus vai nenoteiktus integrāļus, pēc iespējas vienkāršojot rezultātus. Rezultātu ir ērti pārbaudīt ar atvasināšanu.

2. attēls. Atvasinājumu vai noteiktu integrālu vingrinājumi. Avots: Pixabay.

Risinājums

Vispirms piemērojam 3. noteikumu, jo integrētais ir divu nosacījumu summa:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Pirmajam integrālam tiek piemērots jaudas noteikums:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

Otrajā integrālajā noteikumā piemēro 1, kur k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Un tagad rezultāti ir pievienoti. Abas konstantes ir sagrupētas vienā, to vispārīgi sauc par C:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Risinājums b

Pēc linearitātes šis integrālis tiek sadalīts trīs vienkāršākos integrāļos, kuriem tiks piemērots jaudas noteikums:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Ņemiet vērā, ka katram integrālam pastāv integrācijas konstante, taču tie tiekas vienā C zvanā.

Risinājums c

Šajā gadījumā ir ērti piemērot reizināšanas izplatīšanas īpašību, lai attīstītu integrandu. Tad jaudas noteikums tiek izmantots, lai atrastu katru integrālu atsevišķi, tāpat kā iepriekšējā vingrinājumā.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Uzmanīgs lasītājs ņems vērā, ka divi galvenie termini ir līdzīgi, tāpēc pirms integrēšanas tie tiek samazināti:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Risinājums e

Viens no veidiem, kā atrisināt integrālu, ir jaudas attīstīšana, kā tas tika darīts d piemērā. Tā kā eksponents ir lielāks, būtu ieteicams mainīt mainīgo, lai nebūtu jāveic tik ilga izstrāde.

Mainīgā lieluma izmaiņas ir šādas:

u = x + 7

Šī izteiciena piešķiršana abām pusēm:

du = dx

Ar jauno mainīgo integrālis tiek pārveidots par vienkāršāku, kas tiek atrisināts ar jaudas likumu:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Visbeidzot izmaiņas tiek atgrieztas, lai atgrieztos pie sākotnējā mainīgā:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- 2. vingrinājums

Daļiņa sākotnēji atrodas miera stāvoklī un pārvietojas pa x asi. Tās paātrinājumu t> 0 piešķir funkcija a (t) = cos t. Ir zināms, ka pie t = 0 pozīcija ir x = 3, visi ir Starptautiskās sistēmas vienības. Tiek lūgts atrast daļiņas ātrumu v (t) un pozīciju x (t).

Risinājums

Tā kā paātrinājums ir pirmais ātruma atvasinājums attiecībā pret laiku, mums ir šāds diferenciālvienādojums:

a (t) = v´ (t) = cos t

No tā izriet, ka:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

No otras puses, mēs zinām, ka ātrums savukārt ir pozīcijas atvasinājums, tāpēc mēs atkal integrējamies:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Integrācijas konstantes nosaka pēc paziņojumā sniegtās informācijas. Pirmkārt, tas saka, ka daļiņa sākotnēji bija miera stāvoklī, tāpēc v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Tad mums ir x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Ātruma un pozīcijas funkcijas noteikti ir šādas:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Atsauces

1. Englers, A. 2019. Integral Calculus. Litoralas Nacionālā universitāte.
2. Larsons, R. 2010. Mainīgā lieluma aprēķins. 9. Izdevums. Makgreiva kalns.
3. Matemātikas brīvie teksti. Antiderivatīvie līdzekļi. Atgūts no: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivatīvs līdzeklis. Atgūts no: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Beztermiņa integrācija. Atgūts no: es.wikipedia.org.