ANALĪTISKĀS ĢEOMETRIJAS VĒSTURISKAIS FONS - MATEMĀTIKA - 2025

Par priekšvēsture par analītisko ģeometriju doties atpakaļ septiņpadsmitā gadsimta, kad Pierre de Fermat un Renē Dekarts noteica savu pamatideju. Viņa izgudrojums sekoja Fransuā Višē algebra un algebrisko notāciju modernizācijai.

Šī lauka pamatā ir Senajā Grieķijā, it īpaši Apolonija un Eiklīda darbos, kuriem bija liela ietekme šajā matemātikas jomā.

Analītiskās ģeometrijas galvenā ideja ir tāda, ka attiecības starp diviem mainīgajiem, piemēram, ka viens ir otra funkcija, nosaka līkni.

Šo ideju vispirms izstrādāja Pjērs de Fermats. Pateicoties šim būtiskajam ietvaram, Īzaks Ņūtons un Gotfrīds Leibnizs varēja izstrādāt aprēķinu.

Arī franču filozofs Dekarts atklāja algebrisku pieeju ģeometrijai, acīmredzot pats. Dekarta darbs pie ģeometrijas parādās viņa slavenajā grāmatā Diskurss par metodi.

Šajā grāmatā norādīts, ka kompass un taisnās malas ģeometriskās konstrukcijas ietver saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un kvadrātsaknes.

Analītiskā ģeometrija atspoguļo divu svarīgu matemātikas tradīciju apvienojumu: ģeometrija kā formas izpēte, kā arī aritmētika un algebra, kas ir saistīta ar daudzumu vai skaitļiem. Tāpēc analītiskā ģeometrija ir ģeometrijas lauka izpēte, izmantojot koordinātu sistēmas.

Vēsture

Analītiskās ģeometrijas fons

Attiecības starp ģeometriju un algebru ir izveidojušās visā matemātikas vēsturē, kaut arī ģeometrija sasniedza agrāku brieduma pakāpi.

Piemēram, grieķu matemātiķis Eiklida spēja organizēt daudzus rezultātus savā klasiskajā grāmatā The Elements.

Bet analītiskās ģeometrijas attīstību savā grāmatā “Conics” prognozēja Pergas sengrieķu Apolonijs no Pergas. Viņš definēja konusu kā krustojumu starp konusu un plakni.

Izmantojot Eiklida rezultātus līdzīgos trijstūros un apļa secībās, viņš atrada sakarību, ko piešķīra attālumi no koniskā jebkura punkta "P" līdz divām perpendikulārām līnijām, konusa galvenā ass un pieskare ass gala galā. Apolonijs izmantoja šīs attiecības, lai secinātu konusu pamatīpašības.

Turpmākā koordinātu sistēmu attīstība matemātikā parādījās tikai pēc tam, kad algebra bija nobriedusi, pateicoties islāma un indiešu matemātiķiem.

Līdz Renesanses reizei algebrisko problēmu risinājumu pamatošanai tika izmantota ģeometrija, taču nebija daudz, ka algebra varētu veicināt ģeometriju.

Šī situācija mainītos, pieņemot ērtu apzīmējumu algebriskām attiecībām un izstrādājot matemātiskās funkcijas jēdzienu, kas tagad bija iespējams.

XVI gadsimts

16. gadsimta beigās franču matemātiķis Fransuā Višē ieviesa pirmo sistemātisko algebrisko apzīmējumu, izmantojot burtus, lai attēlotu gan zināmus, gan nezināmus skaitliskus lielumus.

Viņš arī izstrādāja jaudīgas vispārīgas metodes algebrisko izteiksmju izmantošanai un algebrisko vienādojumu risināšanai.

Pateicoties tam, matemātiķi problēmu risināšanā nebija pilnībā atkarīgi no ģeometriskām figūrām un ģeometriskas intuīcijas.

Pat daži matemātiķi sāka atteikties no standarta ģeometriskā domāšanas veida, saskaņā ar kuru garuma un kvadrāta lineārie mainīgie atbilst apgabaliem, bet kubiskie mainīgie atbilst apjomiem.

Pirmie, kas spēra šo soli, bija filozofs un matemātiķis Renē Dekarts un jurists un matemātiķis Pjērs de Fermats.

Analītiskās ģeometrijas pamats

Dekarts un Fermats 1630. gados patstāvīgi nodibināja analītisko ģeometriju, pieņemot Viētes algebru lokusa izpētei.

Šie matemātiķi saprata, ka algebra ir spēcīgs rīks ģeometrijā, un izgudroja to, kas mūsdienās pazīstams kā analītiskā ģeometrija.

Viens no viņu sasniegumiem bija pārspēt Viète, izmantojot burtus, lai attēlotu attālumus, kas ir mainīgi, nevis fiksēti.

Dekarts izmantoja vienādojumus, lai pētītu ģeometriski noteiktas līknes, un uzsvēra nepieciešamību ņemt vērā polinomu vienādojumu vispārējās algebriski-grafiskās līknes grādos "x" un "y".

Fermats no savas puses uzsvēra, ka jebkuras attiecības starp koordinātām "x" un "y" nosaka līkni.

Izmantojot šīs idejas, viņš pārstrukturēja Apolonija paziņojumus par algebriskiem noteikumiem un atjaunoja daļu no viņa zaudētā darba.

Fermāts norādīja, ka jebkuru kvadrātisko vienādojumu ar "x" un "y" var ievietot standarta formā vienā no koniskajiem sekcijām. Neskatoties uz to, Fermats nekad nav publicējis savu darbu par šo tēmu.

Pateicoties viņu progresam, to, ko Arhimēds varēja atrisināt tikai ar lielām grūtībām, un atsevišķos gadījumos Fermats un Dekarts varēja atrisināt ātri un ar lielu skaitu līkņu (mūsdienās zināmas kā algebriskās līknes).

Bet viņa idejas guva vispārēju atzīšanu tikai ar citu matemātiķu centieniem 17. gadsimta otrajā pusē.

Matemātiķi Frans van Schooten, Florimond de Beaune un Johan de Witt palīdzēja izvērst Decartes darbu un pievienoja svarīgu papildu materiālu.

Ietekme

Anglijā Džons Voliss popularizēja analītisko ģeometriju. Viņš izmantoja vienādojumus, lai definētu konusus un iegūtu to īpašības. Lai arī viņš brīvi izmantoja negatīvās koordinātas, tieši Īzaks Ņūtons izmantoja divas slīpas asis, lai plakni sadalītu četrās kvadrantās.

Ņūtons un vācietis Gotfrīds Leibnizs matemātiku mainīja 17. gadsimta beigās, patstāvīgi demonstrējot aprēķina spēku.

Ņūtons parādīja analītisko metožu nozīmi ģeometrijā un to lomu aprēķinos, kad viņš apgalvoja, ka jebkuram kubam (vai jebkurai trešās pakāpes algebriskajai līknei) ir trīs vai četri standarta vienādojumi piemērotām koordinātu asīm. Ar paša Ņūtona palīdzību skotu matemātiķis Džons Stirlings to pierādīja 1717. gadā.

Trīs un vairāk dimensiju analītiskā ģeometrija

Lai gan gan Dekarts, gan Fermats ieteica izmantot trīs koordinātas, lai pētītu līknes un virsmas telpā, trīsdimensiju analītiskā ģeometrija lēnām attīstījās līdz 1730. gadam.

Matemātiķi Eulers, Hermans un Clairauds sagatavoja vispārīgus cilindru, konusu un apgriezienu virsmu vienādojumus.

Piemēram, Eulers izmantoja vienādojumus tulkojumiem kosmosā, lai pārveidotu vispārējo kvadrātisko virsmu tā, lai tā galvenās asis sakristu ar tās koordinātu asīm.

Eulers, Džozefs-Luiss Lagranžs un Gaspards Monge analītisko ģeometriju padarīja neatkarīgu no sintētiskās (neanalītiskās) ģeometrijas.

Atsauces

1. Analītiskās ģeometrijas attīstība (2001). Atgūts no enciklopēdijas.com
2. Analītiskās ģeometrijas vēsture (2015). Atgūts no maa.org
3. Analīze (matemātika). Atgūts no britannica.com
4. Analītiskā ģeometrija. Atgūts no britannica.com
5. Descartes un analītiskās ģeometrijas dzimšana. Atgūts no vietnes sciencedirect.com