SPĒKA SĒRIJA: PIEMĒRI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Jauda sērija sastāv no summēšanu terminu formā pilnvaras mainīgo x, vai vēl jo vairāk, xc, kur c ir konstante reāls skaitlis. Apkopojuma apzīmējumā pilnvaru virkne tiek izteikta šādi:

Kur koeficienti a _o , a ₁ , a ₂ … ir reāli skaitļi un sērija sākas ar n = 0.

1. attēls. Jaudas sērijas definīcija. Avots: F. Zapata.

Šīs sērijas centrā ir vērtība c, kas ir nemainīga, bet jūs varat izvēlēties, ka c ir vienāda ar 0, tādā gadījumā jaudas sērija tiek vienkāršota līdz:

Sērijas sākas ar attiecīgi a _vai (xc) ⁰ un a _vai x ⁰ . Bet mēs zinām, ka:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Tāpēc a _o (xc) ⁰ = a _vai x ⁰ = a _o (neatkarīgs termins)

Labi, ka sērijas sērijās ir tas, ka funkcijas var izteikt ar tām, un tam ir daudz priekšrocību, it īpaši, ja vēlaties strādāt ar sarežģītu funkciju.

Šādā gadījumā tā vietā, lai tieši izmantotu funkciju, izmantojiet tās jaudas sērijas paplašinājumu, kuru var būt vieglāk iegūt, integrēt vai strādāt skaitliski.

Protams, viss ir atkarīgs no sērijas konverģences. Sērija saplūst, pievienojot noteiktu lielu skaitu terminu, lai iegūtu fiksētu vērtību. Un, ja mēs joprojām pievienojam vairāk terminu, mēs turpinām iegūt šo vērtību.

Darbojas kā Power Series

Kā funkcijas piemēru, kas izteikta kā jaudas virkne, ņemsim f (x) = e ^x .

Šo funkciju var izteikt ar jaudu sēriju šādi:

un ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (x ³ /, 3!) + (x ⁴ /4!) + (x ⁵ /5!) + …

Kur! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… un tas prasa 0! = 1.

Ar kalkulatora palīdzību mēs pārbaudīsim, vai sērija patiešām sakrīt ar skaidri norādīto funkciju. Piemēram, sāksim ar x = 0.

Mēs zinām, ka e ⁰ = 1. Redzēsim, ko dara sērija:

un ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /, 3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

Tagad mēģināsim x = 1. Kalkulators atgriež, ka e ¹ = 2,71828, un tad salīdzināsim ar sēriju:

un ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /, 3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Tikai ar 5 terminiem mums jau ir precīza sakritība e ≈ 2,71. Mūsu sērijai ir tikai nedaudz jāiet, bet, pievienojot vairāk terminu, sērija noteikti tuvojas precīzai e vērtībai. Pārskats ir precīzs, ja n → ∞.

Ja iepriekšējo analīzi atkārto n = 2, tiek iegūti ļoti līdzīgi rezultāti.

Tādā veidā mēs esam pārliecināti, ka eksponenciālo funkciju f (x) = e ^x var attēlot ar šo spēku virkni:

2. attēls. Šajā animācijā mēs redzam, kā barošanas sērija tiek pietuvināta eksponenciālajai funkcijai, jo tiek ņemti vairāk termini. Avots: Wikimedia Commons.

Ģeometriskās spēku virknes

Funkcija f (x) = e ^x nav vienīgā funkcija, kas atbalsta barošanas sērijas attēlojumu. Piemēram, funkcija f (x) = 1/1 - x izskatās līdzīgi labi zināmajai saplūstošajai ģeometriskajai virknei:

Pietiek ar a = 1 un r = x, lai iegūtu šai funkcijai piemērotu virkni, kuras centrā ir c = 0:

Tomēr ir zināms, ka šī virkne ir konverģenta │r│ <1, tāpēc attēlojums ir derīgs tikai ar intervālu (-1,1), lai gan funkcija ir derīga visiem x, izņemot x = 1.

Kad vēlaties definēt šo funkciju citā diapazonā, jūs vienkārši koncentrējaties uz piemērotu vērtību, un tas ir izdarīts.

Kā atrast funkcijas pilnvaru virkni

Jebkuru funkciju var attīstīt jaudas sērijā, kuras centrā ir c, ja vien tai ir visu secību atvasinājumi x = c. Procedūrā tiek izmantota šāda teorēma, ko sauc par Teilora teorēmu:

Ļaujiet f (x) būt funkcijai ar n kārtas atvasinājumiem, kas apzīmēti ar f ⁽ⁿ⁾ , kas piešķir virknes spēku paplašināšanos I intervālā. Viņa Teilora sērijveida attīstība ir:

Tātad:

Kur R _n , kas ir sērijas n-tais termiņš, sauc par atlikumu:

Kad c = 0, sēriju sauc par Maklaurina sēriju.

Šī šeit norādītā sērija ir identiska sākumā norādītajai sērijai, tikai tagad mums ir veids, kā precīzi atrast katra termina koeficientus, ko piešķir:

Tomēr mums ir jānodrošina, ka sērijas saplūst ar pārstāvēto funkciju. Gadās, ka ne katra Teilora sērija obligāti tuvojas f (x), kas bija prātā, aprēķinot koeficientus pie _n .

Tas notiek tāpēc, ka, iespējams, funkcijas atvasinājumi, kas novērtēti x = c, sakrīt ar tādas pašas vērtības atvasinājumiem kā citai, arī x = c. Šajā gadījumā koeficienti būtu vienādi, bet attīstība būtu neviennozīmīga, jo nav skaidrs, kurai funkcijai tā atbilst.

Par laimi ir veids, kā uzzināt:

Konverģences kritērijs

Lai izvairītos no neskaidrības, ja R _n → 0 kā n → ∞ visiem x intervālā I, sērija saplūst ar f (x).

Vingrinājums

- vingrinājums atrisināts 1

Atrodiet funkcijas f (x) = 1/2 - x ģeometriskās jaudas virkni, kuras centrā ir c = 0.

Risinājums

Izsaki doto funkciju tā, lai tā pēc iespējas vairāk sakristu ar 1 / 1- x, kuru virkne ir zināma. Pārrakstīsim skaitītāju un saucēju, nemainot sākotnējo izteiksmi:

1/2 - x = (1/2) /

Tā kā ½ ir nemainīgs, tas rodas no summēšanas un tiek uzrakstīts ar jauno mainīgo x / 2:

Ņemiet vērā, ka x = 2 nepieder funkcijas domēnam, un saskaņā ar konverģences kritēriju, kas sniegts sadaļā Ģeometriskās enerģijas sērija, paplašinājums ir derīgs │x / 2│ <1 vai līdzvērtīgi -2 <x <2.

- vingrinājums atrisināts 2

Atrodiet pirmos piecus Maclaurin sērijas funkcijas f (x) = sin x paplašināšanas nosacījumus.

Risinājums

1. solis

Pirmie ir atvasinājumi:

-Atvasinājums no kārtas 0: tā ir tā pati funkcija f (x) = sin x

-Pirmais atvasinājums: (sin x) ´ = cos x

-Sekundārais atvasinājums: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Trešais atvasinājums: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Ceturtais atvasinājums: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

2. solis

Tad katru atvasinājumu novērtē ar x = c, tāpat kā ar Maclaurin izplešanos, c = 0:

grēks 0 = 0; cos 0 = 1; - grēks 0 = 0; -cos 0 = -1; grēks 0 = 0

3. solis

_Konstruēti koeficienti a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3! a ₄ = 0/4! = 0

4. solis

Visbeidzot sērija tiek samontēta saskaņā ar:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Vai lasītājam nepieciešami vairāk terminu? Cik daudz vairāk, sērijas ir tuvākas funkcijai.

Ņemiet vērā, ka koeficientos ir modelis, nākamais termins, kas nav nulle, ir _5, un arī visi tie, kuriem ir nepāra indekss, atšķiras no 0, pārmaiņus izmantojot zīmes, tā, ka:

grēks x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Tas tiek atstāts kā vingrinājums, lai pārbaudītu, vai tas saplūst, un koeficienta kritēriju var izmantot sēriju konverģencei.

Atsauces

1. CK-12 fonds. Jaudas sērija: funkciju un operāciju attēlojums. Atgūts no: ck12.org.
2. Englers, A. 2019. Integral Calculus. Litoralas Nacionālā universitāte.
3. Larsons, R. 2010. Mainīgā lieluma aprēķins. 9. Izdevums. Makgreiva kalns.
4. Matemātikas brīvie teksti. Jaudas sērija. Atgūts no: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Jaudas sērija. Atgūts no: es.wikipedia.org.