- Formula
- Demonstrācija
- Interpolācijas polinoma koeficienti
- Aptuvenā integrāla aprēķins
- Aptuvenais integrala aprēķins
- Aproksimācijas kļūda
- Darbojušies piemēri
- - 1. piemērs
- Risinājums
- Atsauces
Simpson 's noteikums ir metode, lai aprēķinātu, apmēram, noteiktais integrālis. Tas ir balstīts uz integrācijas intervāla sadalīšanu vienādos skaitļos ar vienādi izvietotiem apakšintervāliem.
Divu secīgu apakšintervālu galējās vērtības nosaka trīs punktus, pie kuriem der parabola, kuras vienādojums ir otrās pakāpes polinoms.
1. attēls. Izmantojot Simpsona metodi, integrācijas intervāls tiek sadalīts vienādos intervālos ar vienādu platumu. Funkciju aproksimē ar parabolu katrā 2 apakšintervālā, un integrālo aproksimē ar parabolu laukuma summu. Avots: upv.es.
Tad laukumu zem funkcijas līknes divos secīgos intervālos tuvina ar interpolācijas polinoma laukumu. Pievienojot ieguldījumu visu secīgo apakšintervālu apgabalā, kurā atrodas parabola, iegūst integrala aptuveno vērtību.
No otras puses, tā kā parabolas integrālu var aprēķināt precīzi algebriski, tad ir iespējams atrast analītisko formulu noteiktā integrala aptuvenajai vērtībai. Tas ir pazīstams kā Simpsona formula.
Šādi iegūtā aptuvenā rezultāta kļūda samazinās, jo apakšnodalījumu skaits n ir lielāks (kur n ir pāra skaitlis).
Turpmāk tiks dota izteiksme, kas ļauj novērtēt tuvinājumu I integrālam kļūdas augšējo robežu, kad ir sadalīts n parastais kopējā intervāla apakšintervāls.
Formula
Integrācijas intervāls ir sadalīts n apakšintervālos, kur n ir vienmērīgs vesels skaitlis. Katras apakšnodalījuma platums ir:
h = (b - a) / n
Šādā veidā nodalījums tiek veikts intervālā:
{X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn}
Kur X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.
Formula, kas ļauj tuvināt noteikto nepārtrauktās un, vēlams, vienmērīgās, funkcijas intervālu I, ir šāda:
Demonstrācija
Lai iegūtu Simpsona formulu, katrā apakšintervālā funkciju f (X) tuvina ar otrās pakāpes polinomu p (X) (parabola), kas iet caur trim punktiem :; un .
Tad aprēķina polinoma p (x) integrālu, kurā tas tuvojas funkcijas f (X) integrālam šajā intervālā.
2. attēls. Simpsona formulas parādīšanas diagramma. Avots: F. Zapata.
Interpolācijas polinoma koeficienti
Parabolas p (X) vienādojumam ir šāda forma: p (X) = AX 2 + BX + C. Tā kā parabola iet caur punktiem Q, kas norādīti sarkanā krāsā (skat. Attēlu), tad koeficienti A, B, C nosaka pēc šādas vienādojumu sistēmas:
A (-h) 2 - B h + C = f (Xi)
C = f (Xi + 1)
A (h) 2 + B h + C = f (Xi + 2)
Var redzēt, ka tiek noteikts koeficients C. Lai noteiktu koeficientu A, pievienojam pirmo un trešo vienādojumu, iegūstot:
2 A h 2 + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).
Tad C vērtība tiek aizstāta un A tiek notīrīta, atstājot:
A = / (2 stundas 2 )
Lai noteiktu koeficientu B, no pirmā tiek atņemts trešais vienādojums, un B tiek atrisināts, iegūstot:
B = = 2 stundas.
Rezumējot, otrās pakāpes polinomam p (X), kas iet caur punktiem Qi, Qi + 1 un Qi + 2, ir koeficienti:
A = / (2 stundas 2 )
B = = 2 stundas
C = f (Xi + 1)
Aptuvenā integrāla aprēķins
Aptuvenais integrala aprēķins
Kā jau minēts, nodalījums {X0, X1, X2,…, Xn-1, Xn} tiek veikts uz kopējo integrācijas intervālu ar soli h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, kur n ir pāra skaitlis.
Aproksimācijas kļūda
Ņemiet vērā, ka kļūda samazinās līdz ar ceturto jaudu apakšdaļu skaitam intervālā. Piemēram, ja jūs pārejat no n apakšiedalījumiem uz 2n, tad kļūda samazinās par koeficientu 1/16.
Kļūdas augšējo robežu, kas iegūta, izmantojot Simpsona tuvinājumu, var iegūt no šīs pašas formulas, aizstājot ceturto atvasinājumu ar ceturtā atvasinājuma maksimālo absolūto vērtību intervālā.
Darbojušies piemēri
- 1. piemērs
Apsveriet funkciju f (X) = 1 / (1 + X 2 ).
Izmantojot Simpsona metodi ar diviem dalījumiem (n = 2), atrodiet funkciju f (X) noteiktu integrālu intervālā.
Risinājums
Integrācijas robežas ir a = -1 un b = -2, tāpēc nodalījums izskatās šādi:
X0 = -1; X1 = 0 un X2 = +1.
Tādēļ Simpsona formula ir šāda:
3. attēls. Skaitliskās integrācijas piemērs, izmantojot Simpsona likumu, izmantojot programmatūru. Avots: F. Zapata.
Atsauces
- Casteleiro, JM 2002. Visaptverošs aprēķins (ilustrēts izdevums). Madride: ESIC redakcija.
- UPV. Simpsona metode. Valensijas Politehniskā universitāte. Atgūts no: youtube.com
- Purcell, E. 2007. Calculus devītais izdevums. Prentice zāle.
- Wikipedia. Simpsona noteikums. Atgūts no: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Lagranža polinomu interpolācija. Atgūts no: es.wikipedia.com