SLĪPAS LĪNIJAS: RAKSTURLIELUMI, VIENĀDOJUMI UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Par slīpas līnijas, ir tie, kas ir slīpi, vai nu attiecībā pret plakanas virsmas vai citu līniju norādot konkrētu adresi. Piemēram, apsveriet trīs plaknē novilktas līnijas, kas parādītas nākamajā attēlā.

Mēs zinām viņu attiecīgās relatīvās pozīcijas, jo mēs tos salīdzinām ar atskaites līniju, kas parasti ir x ass, kas apzīmē horizontāli.

1. attēls. Vertikālas, horizontālas un slīpas līnijas vienā plaknē. Avots: F. Zapata.

Tādā veidā, izvēloties horizontāli kā atskaites punktu, kreisajā pusē esošā līnija ir vertikāla, centrā esošā ir horizontāla, bet labajā pusē - slīpa, jo tā ir slīpa attiecībā pret ikdienas atskaites līnijām.

Tagad līnijas, kas atrodas vienā plaknē, piemēram, papīra virsma vai ekrāns, ieņem atšķirīgas pozīcijas viena pret otru atkarībā no tā, vai tās krustojas vai nē. Pirmajā gadījumā tās ir secīgas līnijas, bet otrajā - paralēlas.

No otras puses, secīgās līnijas var būt slīpas vai perpendikulāras līnijas. Abos gadījumos līniju slīpums ir atšķirīgs, bet slīpas līnijas starp tām veido α un β leņķus, kas atšķiras no 90º, bet leņķi, ko nosaka perpendikulāras līnijas, vienmēr ir 90º.

Šīs definīcijas ir apkopotas šajā attēlā:

2. attēls. Relatīvās pozīcijas starp līnijām: paralēlas, slīpas un perpendikulāras atšķiras leņķī, ko tās veido viena ar otru. Avots: F. Zapata.

Vienādojumi

Lai zinātu līniju relatīvās pozīcijas plaknē, ir jāzina leņķis starp tām. Ņemiet vērā, ka līnijas ir:

Paralēli : ja tiem ir vienāds slīpums (vienāds virziens) un tie nekad nekrustojas, tāpēc to punkti ir vienādā attālumā.

Sakritības gadījumi : kad visi tā punkti sakrīt un tāpēc tiem ir vienāds slīpums, bet attālums starp tā punktiem ir nulle.

Žāvētāji : ja to slīpumi ir atšķirīgi, attālums starp to punktiem mainās un krustojums ir viens punkts.

Tātad viens veids, kā zināt, vai divas plaknes līnijas ir secīgas vai paralēlas, ir caur to slīpumu. Līniju paralēluma un perpendikulitātes kritēriji ir šādi:

Ja, zinot divu līniju slīpumu plaknē, neviens no iepriekšminētajiem kritērijiem nav izpildīts, mēs secinām, ka līnijas ir slīpas. Zinot divus līnijas punktus, slīpumu aprēķina nekavējoties, kā mēs to redzēsim nākamajā sadaļā.

Jūs varat uzzināt, vai divas līnijas ir secantas vai paralēlas, atrodot to krustojumu, risinot to veidoto vienādojumu sistēmu: ja ir risinājums, tie ir secanti, ja nav risinājuma, tie ir paralēli, bet, ja risinājumi ir bezgalīgi, līnijas sakrīt.

Tomēr šis kritērijs mūs neinformē par leņķi starp šīm līnijām, pat ja tās krustojas.

Lai zinātu leņķi starp līnijām, mums nepieciešami divi vektori u un v, kas pieder katram no tiem. Tādējādi ir iespējams uzzināt leņķi, ko tie veido, izmantojot vektoru skalāru reizinājumu, kas definēts šādā veidā:

u • v = uvcos α

Līnijas vienādojums plaknē

Līniju Dekarta plaknē var attēlot vairākos veidos, piemēram:

- Slīpuma pārtveršanas forma: ja m ir līnijas slīpums un b ir līnijas krustojums ar vertikālo asi, līnijas vienādojums ir y = mx + b.

- Līnijas vispārīgais vienādojums : Ax + By + C = 0, kur m = A / B ir slīpums.

Dekarta plaknē vertikālas un horizontālas līnijas ir līnijas vienādojuma īpaši gadījumi.

- vertikālas līnijas : x = a

- horizontālās līnijas : y = k

3. attēls. Kreisajā pusē vertikālā līnija x = 4 un horizontālā līnija y = 6. Labajā pusē ir slīpas līnijas piemērs. Avots: F. Zapata.

3. attēla piemēros vertikālajai sarkanajai līnijai ir vienādojums x = 4, savukārt taisnei, kas paralēla x asij (zilā krāsā), ir vienādojums y = 6. Runājot par līniju labajā pusē, mēs redzam, ka tā ir slīpa. un lai atrastu tā vienādojumu, mēs izmantojam attēlā izceltos punktus: (0,2) un (4,0) šādā veidā:

Šīs līnijas griezums ar vertikālo asi ir y = 2, kā redzams diagrammā. Ar šo informāciju:

Slīpuma leņķa noteikšana attiecībā pret x asi ir vienkārša. ES to jūtu:

Tāpēc pozitīvais leņķis no x ass līdz līnijai ir: 180º - 26,6º = 153,4º

Slīpu līniju piemēri

4. attēls. Slīpu līniju piemēri. Avots: paukotāji Ians Pattersons. Pizas tieksmes tornis. Piksija.

Daudzās vietās parādās slīpas līnijas, ir jāpievērš uzmanība, lai tās atrastu arhitektūrā, sportā, elektroapgādes vados, caurulēs un daudzās citās vietās. Dabā ir arī slīpas līnijas, kā mēs redzēsim turpmāk:

Gaismas stari

Saules gaisma pārvietojas taisnā līnijā, bet Zemes apaļā forma ietekmē to, kā saules gaisma sasniedz virsmu.

Zemāk redzamajā attēlā mēs skaidri redzam, ka saules stari tropiskajos reģionos svārstās perpendikulāri, bet tā vietā slīpi sasniedz virsmu mērenajos reģionos un pie poliem.

Tāpēc saules stari atmosfērā pārvietojas lielākā attālumā, un siltums izplatās arī uz lielāku virsmu (sk. Attēlu). Rezultātā apgabali pie poliem ir vēsāki.

5. attēls. Saules stari mēreni mērenās zonās un polos krīt slīpi, tā vietā tropiski tie ir vairāk vai mazāk perpendikulāri. Avots: Wikimedia Commons.

Līnijas, kas neatrodas vienā plaknē

Ja divas līnijas neatrodas vienā plaknē, tās joprojām var būt slīpas vai deformētas, jo tās ir arī zināmas. Šajā gadījumā to direktori nav paralēli, bet, tā kā tie nepieder pie vienas plaknes, šīs līnijas nekrustojas.

Piemēram, līnijas 6. attēlā pa labi ir skaidri redzamas dažādās plaknēs. Ja paskatās uz viņiem no augšas, jūs varat redzēt, ka tie krustojas, taču viņiem nav kopīga punkta. Labajā pusē redzam velosipēda riteņus, kuru spieķi, šķiet, šķērso, skatoties no priekšpuses.

6. attēls. Slīpās līnijas, kas pieder dažādām plaknēm. Avots: kreisais F. Zapata, pa labi Pixabay.

Atsauces

1. Ģeometrija. Līnijas direktors. Atgūts no: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Aprēķins ar analītisko ģeometriju. 8. Izdevums. Makgreiva kalns.
3. Matemātika ir spēle. Līnijas un leņķi. Atgūts no: juntadeandalucia.es.
4. Taisnas līnijas, kas krustojas. Atgūts no: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analītiskā ģeometrija R3. Atgūts no: dspace.espol.edu.ec.