- Funkciju ierobežojumi
- Vai ir sarežģītākas robežas?
- Vienkāršu trigonometrisko robežu piemēri
- Trigonometrisko robežu identitātes
- Atrisināti vingrinājumi
- Novērošana
- Atsauces
Par trigonometriskais ierobežojumi ir ierobežojumi funkcijas, piemēram, ka šīs funkcijas ir veidotas ar trigonometriskās funkcijas.
Ir divas definīcijas, kas jāzina, lai saprastu, kā aprēķināt trigonometrisko robežu.
Šīs definīcijas ir:
- Funkcijas «f» robeža, kad «x» ir tendence uz «b»: tā sastāv no vērtības aprēķināšanas, kurai f (x) tuvojas, kad «x» tuvojas «b», nesasniedzot «b» ». ».
- Trigonometriskās funkcijas: trigonometriskās funkcijas ir sinusa, kosinusa un pieskares funkcijas, kuras apzīmē attiecīgi ar sin (x), cos (x) un tan (x).
Pārējās trigonometriskās funkcijas iegūst no trim iepriekšminētajām funkcijām.
Funkciju ierobežojumi
Lai precizētu funkciju robežas jēdzienu, mēs parādīsim dažus piemērus ar vienkāršām funkcijām.
- F (x) = 3 robeža, ja "x" ir tendence uz "8", ir vienāda ar "3", jo funkcija vienmēr ir nemainīga. Neatkarīgi no tā, cik daudz ir "x" vērts, f (x) vērtība vienmēr būs "3".
- F (x) = x-2 robeža, kad «x» sliecas uz «6», ir «4». Kopš brīža, kad "x" tuvojas "6", tad "x-2" tuvojas "6-2 = 4".
- G (x) = x² robeža, kad "x" ir "3", ir vienāda ar 9, jo, kad "x" tuvojas "3", tad "x²" tuvojas "3² = 9" .
Kā redzams iepriekšējos piemēros, ierobežojuma aprēķināšana sastāv no vērtības novērtēšanas, kurai funkcijā "x" ir tendence, un rezultāts būs ierobežojuma vērtība, lai gan tas attiecas tikai uz nepārtrauktām funkcijām.
Vai ir sarežģītākas robežas?
Atbilde ir jā. Iepriekš minētie piemēri ir vienkāršākie ierobežojumu piemēri. Aprēķinu grāmatās galvenie ierobežojumu vingrinājumi ir tie, kas rada nenoteiktību ar tipu 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 un (∞). ^ 0.
Šos izteicienus sauc par nenoteiktībām, jo tie ir izteicieni, kuriem matemātiski nav jēgas.
Turklāt atkarībā no funkcijām, kas saistītas ar sākotnējo ierobežojumu, rezultāts, kas iegūts, risinot nenoteiktības, katrā gadījumā var būt atšķirīgs.
Vienkāršu trigonometrisko robežu piemēri
Lai atrisinātu robežas, vienmēr ir ļoti noderīgi zināt iesaistīto funkciju grafikus. Zemāk parādīti sinusa, kosinusa un pieskares funkciju grafiki.
Daži vienkāršu trigonometrisko robežu piemēri:
- Aprēķiniet grēka robežu (x), kad «x» ir tendence uz «0».
Aplūkojot grafiku, var redzēt, ka, ja "x" tuvojas "0" (gan no kreisās, gan labās puses), tad arī sinusogramma pietuvojas "0". Tāpēc grēka (x) robeža, kad "x" ir tendence uz "0", ir "0".
- Aprēķiniet cos (x) robežu, kad «x» ir tendence uz «0».
Novērojot kosinusa grafiku, var redzēt, ka tad, kad "x" ir tuvu "0", tad kosinusa grafiks ir tuvu "1". Tas nozīmē, ka cos (x) robeža, kad "x" sliecas uz "0", ir vienāda ar "1".
Ierobežojums var būt (var būt skaitlis), tāpat kā iepriekšējos piemēros, bet var arī gadīties, ka tas neeksistē, kā parādīts nākamajā piemērā.
- Iedeguma (x) robeža, kad «x» ir tendence uz «Π / 2» no kreisās puses, ir vienāda ar «+ ∞», kā redzams diagrammā. No otras puses, iedeguma (x) robeža, kad "x" ir no labās puses uz "-Π / 2", ir vienāda ar "-∞".
Trigonometrisko robežu identitātes
Aprēķinot trigonometriskās robežas, ir divas ļoti noderīgas identitātes:
- «sin (x) / x» robeža, kad «x» ir tendence uz «0», ir vienāda ar «1».
- «(1-cos (x)) / x» robeža, kad «x» sliecas uz «0», ir vienāda ar «0».
Šīs identitātes tiek izmantotas ļoti bieži, ja jums ir kaut kāda nenoteiktība.
Atrisināti vingrinājumi
Atrisiniet šādus ierobežojumus, izmantojot iepriekš aprakstītās identitātes.
- Aprēķiniet robežu «f (x) = sin (3x) / x», kad «x» ir tendence uz «0».
Ja funkcija "f" tiek novērtēta ar "0", tiek iegūta 0/0 tipa nenoteiktība. Tāpēc mums ir jāmēģina atrisināt šo nenoteiktību, izmantojot aprakstītās identitātes.
Vienīgā atšķirība starp šo robežu un identitāti ir skaitlis 3, kas parādās sinusa funkcijā. Lai izmantotu identitāti, funkcija «f (x)» jāpārraksta šādā veidā «3 * (sin (3x) / 3x)». Tagad gan sinusa arguments, gan saucējs ir vienādi.
Tātad, kad "x" ir tendence uz "0", identitātes izmantošana dod "3 * 1 = 3". Tāpēc f (x) robeža, kad "x" sliecas uz "0", ir vienāda ar "3".
- Aprēķiniet robežu «g (x) = 1 / x - cos (x) / x», kad «x» ir tendence uz «0».
Ja g (x) tiek aizstāts "x = 0", iegūst ∞-∞ tipa nenoteiktību. Lai to atrisinātu, vispirms tiek atņemtas frakcijas, kas dod "(1-cos (x)) / x".
Tagad, piemērojot otro trigonometrisko identitāti, g (x) robeža, kad «x» ir tendence uz «0», ir vienāda ar 0.
- Aprēķiniet robežu “h (x) = 4tan (5x) / 5x”, kad “x” ir uz “0”.
Atkal, ja h (x) tiek novērtēts ar "0", tiek iegūta 0/0 tipa nenoteiktība.
Pārrakstot kā (5x) kā sin (5x) / cos (5x), iegūst h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).
Izmantojot šo robežu 4 / cos (x), kad "x" ir uz "0", ir vienāds ar "4/1 = 4" un tiek iegūta pirmā trigonometriskā identitāte, ka h (x) robeža, kad "x" ir tendence a "0" ir vienāds ar "1 * 4 = 4".
Novērošana
Trigonometriskās robežas ne vienmēr ir viegli atrisināt. Šajā rakstā tika parādīti tikai pamata piemēri.
Atsauces
- Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika. Prentice Hall PTR.
- Flemings, W., un Varbergs, DE (1989). Priekškalkulu matemātika: problēmu risināšanas pieeja (2, ilustrēts red.). Mičigana: Prentice zāle.
- Flemings, W., un Varbergs, D. (1991). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
- Larsons, R. (2010). Precalculus (8 izd.). Cengage mācīšanās.
- Leāls, JM un Vilorija, NG (2005). Plaknes analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: Venezolana CA redakcija
- Perezs, CD (2006). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkuluss (devītais izdevums). Prentice zāle.
- Saenz, J. (2005). Diferenciālais aprēķins ar agrīnām transcendentām funkcijām zinātnei un inženierijai (otrais izdevums, ed.). Hipotenūza.
- Skots, Kalifornija (2009). Dekarta plaknes ģeometrija, daļa: Analītiskie koniski (1907) (atkārtots izdošana). Zibens avots.
- Sullivans, M. (1997). Iepriekšēja aprēķināšana. Pīrsona izglītība.