KOPLĀNA PUNKTI: VIENĀDOJUMS, PIEMĒRS UN ATRISINĀTIE VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Visi līdzenuma punkti pieder vienai plaknei. Divi punkti vienmēr ir līdzīgi, jo šie punkti nosaka līniju, caur kuru iet bezgalīgas plaknes. Tad abi punkti pieder katrai plaknei, kas iet caur līniju, un tāpēc tie vienmēr būs vienlīmeņi.

No otras puses, trīs punkti nosaka vienu plakni, no kuras izriet, ka trīs punkti vienmēr būs līdzenumā plaknei, kuru tie nosaka.

1. attēls. A, B, C un D ir plaknes (Ω) plaknē. E, F un G nav plaknes pozīcijai (cop), bet tās ir plaknes plaknei, kuru tās nosaka. Avots: F. Zapata.

Vairāk nekā trīs punkti var būt vienādi vai nē. Piemēram, 1. attēlā punkti A, B, C un D ir līdzenumā plaknei (lan). Bet E, F un G nav plaknes pozīcijai (Ω), kaut arī tās ir plaknes plaknē, kuru tās nosaka.

Triju punktu plaknes vienādojums

Plaknes vienādojums, ko nosaka trīs zināmie punkti A, B, C, ir matemātiska sakarība, kas garantē, ka jebkurš punkts P ar vispārējām koordinātām (x, y, z), kas izpilda vienādojumu, pieder pie minētās plaknes.

Iepriekšējais apgalvojums ir līdzvērtīgs apgalvojumam, ka, ja koordinātu P (x, y, z) izpilda plaknes vienādojumu, tad minētais punkts būs līdzenā stāvoklī ar trim punktiem A, B, C, kas noteica plakni.

Lai atrastu šīs plaknes vienādojumu, sāksim ar vektoru AB un AC atrašanu :

AB =

AC =

Vektora produkts AB X AC rada vektoru, kas ir perpendikulārs vai normāls plaknei, ko nosaka punkti A, B, C.

Jebkurš koordinātu punkts P (x, y, z) pieder plaknei, ja vektors AP ir perpendikulārs vektoram AB X AC , ko garantē, ja:

AP • (AB X AC) = 0

Tas ir līdzvērtīgi apgalvojumam, ka AP , AB un AC trīskāršais reizinājums ir nulle. Iepriekš minēto vienādojumu var uzrakstīt matricas formā:

Piemērs

Ļaujiet punktiem A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) un D (a, 0, 1). Kāda ir vērtība, lai četri punkti būtu vienādi?

Risinājums

Lai atrastu a vērtību, punktam D jābūt plaknes daļai, ko nosaka A, B un C, un to garantē, ja tas atbilst plaknes vienādojumam.

Attīstīt noteicošo faktoru, kas mums ir:

Iepriekšējais vienādojums mums saka, ka a = -1, lai tiktu izpildīta vienādība. Citiem vārdiem sakot, vienīgais veids, kā punkts D (a, 0,1) ir vienā plaknē ar punktiem A, B un C, ir, lai a būtu -1. Pretējā gadījumā tas nebūs kopējais.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Plakne šķērso Dekarta asis X, Y, Z attiecīgi 1, 2 un 3. Šīs plaknes krustojums ar asīm nosaka punktus A, B un C. Atrodiet punkta D komponentu Dz, kura Dekarta komponenti ir:

Ar nosacījumu, ka D ir vienā plaknē ar punktiem A, B un C.

Risinājums

Kad ir zināmi plaknes pārtverjumi ar Dekarta asīm, var izmantot plaknes vienādojuma segmentālo formu:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Tā kā punktam D jāpieder pie iepriekšējās plaknes, tam:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Proti:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

No visa iepriekš teiktā izriet, ka punkts D (3, -2, -3) ir līdzenā stāvoklī ar punktiem A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) un C (0, 0, 3).

- 2. vingrinājums

Nosakiet, vai punkti A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) un D (2, 3, 1) ir vienlīmeņi.

Risinājums

Mēs veidojam matricu, kuras rindas ir DA, BA un CA koordinātas. Tad aprēķina determinantu un pārbauda, ​​vai tas ir nulle.

Pēc visu aprēķinu veikšanas tiek secināts, ka tie ir vienādi.

- 3. vingrinājums

Kosmosā ir divas līnijas. Viens no tiem ir līnija (R), kuras parametriskais vienādojums ir:

Otra ir līnija (S), kuras vienādojums ir:

Parādiet, ka (R) un (S) ir līdzenas līnijas, tas ir, tās atrodas vienā plaknē.

Risinājums

Sāksim ar patvaļīgu divu punktu ņemšanu uz līnijas (R) un diviem uz līnijas (S):

(R) līnija: λ = 0; A (1, 1, 1) un λ = 1; B (3, 0, 1)

Ļaujiet x = 0 uz līnijas (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Un, no otras puses, ja mēs veidojam y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Tas ir, mēs esam paņēmuši punktus A un B, kas pieder pie līnijas (R), un punktus C un D, ​​kas pieder pie līnijas (S). Ja šie punkti ir plakaniski, tad arī abas līnijas būs pārāk garas.

Tagad kā šarnīru mēs izvēlamies punktu A un tad atrodam vektoru AB , AC un AD koordinātas . Tādā veidā jūs iegūsit:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Nākamais solis ir konstruēt un aprēķināt determinantu, kura pirmā rinda ir vektora AB koeficienti , otrā rinda ir AC un trešā rinda vektora AD koeficienti :

Tā kā noteicošais faktors izrādās nulle, tad mēs varam secināt, ka šie četri punkti ir vienā plaknē. Turklāt var apgalvot, ka līnijas (R) un (S) ir arī līdzenas.

- 4. vingrinājums

Līnijas (R) un (S) ir līdzenas, kā parādīts 3. uzdevumā. Atrodiet plaknes vienādojumu, kurā tās ir.

Risinājums

Punkti A, B, C pilnībā definē šo plakni, bet mēs vēlamies noteikt, ka jebkurš koordinātu punkts X (x, y, z) pieder tai.

X pieder pie noteiktā ar A, B, C un kurā plaknē līnijas (R) un (S) ir ietverti, tas ir nepieciešams, ka noteicošais veidojas savā pirmajā rindā ar komponentu AX , otrajā rindā ar tiem AB , gan trešdaļa tiem AC :

Pēc šī rezultāta mēs grupējam šādā veidā:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Un uzreiz redzat, ka to var pārrakstīt šādi:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Tāpēc x + 2y - z = 2 ir plaknes vienādojums, kurā ir līnijas (R) un (S).

Atsauces

1. Flemings, W. 1989. Precalculus Mathematics. Prentice Hall PTR.
2. Kolmans, B. 2006. Lineārā algebra. Pīrsona izglītība.
3. Leāls, JM 2005. Plakanā analītiskā ģeometrija. Mérida - Venecuēla: Venezolana CA redakcija
4. Navarro, Rokio. Vektori. Atgūts no: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Iepriekšējs aprēķins. Pīrsona izglītība.
6. Prenowitz, W. 2012. Ģeometrijas pamatjēdzieni. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. Pīrsona izglītība.