SALIKTĀ PROPORCIONALITĀTE: SKAIDROJUMS, SALIKTAIS TRĪS NOTEIKUMS, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Kompozīta vai vairākus proporcionalitātes ir attiecība ir vairāk nekā divas lielumu, ko var novērot tieši un apgriezti samērīgums starp datiem un nezināms. Šī ir progresīvāka vienkāršas proporcionalitātes versija, lai gan abās procedūrās izmantotie paņēmieni ir līdzīgi.

Piemēram, ja 7 stundām ir nepieciešami 7 cilvēki, lai izkrautu 10 tonnas preču 3 stundās, salikto proporcionalitāti var izmantot, lai aprēķinātu, cik cilvēku vajadzēs 15 tonnu izkraušanai 4 stundās.

Avots: pixabay.com

Lai atbildētu uz šo jautājumu, ir ērti izveidot vērtību tabulu, lai izpētītu un saistītu lielumus un nezināmos.

Mēs turpinām analizēt attiecību veidus starp katru lielumu un pašreizējo nezināmo, kas šajā gadījumā atbilst strādājošo cilvēku skaitam.

Palielinoties preces svaram, palielinās to cilvēku skaits, kuri nepieciešami to izkraušanai. Tāpēc attiecības starp svaru un strādniekiem ir tiešas.

No otras puses, palielinoties strādājošo skaitam, samazinās darba laiks. Tāpēc cilvēku un darba laika attiecības ir apgrieztas.

Kā aprēķināt saliktas proporcijas

Lai atrisinātu piemērus, piemēram, iepriekšminēto, galvenokārt tiek izmantots trīs metodes saliktais noteikums. Tas sastāv no attiecību veida noteikšanas starp daudzumiem un nezināmajiem, un pēc tam produktu attēlo starp frakcijām.

Sākotnējā piemērā frakcijas, kas atbilst vērtību tabulai, ir sakārtotas šādi:

Bet pirms nezināmā risināšanas un risināšanas ir jāapgriež apgrieztām attiecībām atbilstošās frakcijas. Kurš šajā gadījumā atbilst mainīgajam laikam. Tādā veidā risināmā darbība būs šāda:

Vienīgā atšķirība ir frakcijas, kas atbilst laika mainīgajam 4/3, inversija. Mēs sākam darbību un notīrām x vērtību.

Tādējādi ir nepieciešami vairāk nekā vienpadsmit cilvēki, lai 4 stundās vai mazāk varētu izkraut 15 tonnas preču.

Paskaidrojums

Proporcionalitāte ir nemainīgas attiecības starp daudzumiem, kurus var mainīt, un tas būs simetrisks katram no iesaistītajiem daudzumiem. Pastāv tiešas un apgriezti proporcionālas attiecības, tādējādi definējot vienkāršās vai saliktās proporcionalitātes parametrus.

Tiešs noteikums par trim

Tas sastāv no proporcionālas attiecības starp mainīgajiem, kas modificējot uzrāda tādu pašu izturēšanos. Tas ir ļoti bieži, aprēķinot procentus, kas attiecas uz lielumiem, kas nav simts, ja tiek novērtēta tā pamata struktūra.

Piemēram, var aprēķināt 15% no 63. No pirmā acu uzmetiena šo procentuālo daļu nevar viegli novērtēt. Bet, ieviešot trīs noteikumu, var izveidot šādas attiecības: ja 100% ir 63, tad 15%, cik tas būs?

100% ---- 63

15% ---– X

Un atbilstošā darbība ir:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Ja procentuālās zīmes ir vienkāršotas un iegūts skaitlis 9.45, kas veido 15% no 63.

Trīs apgrieztais noteikums

Kā norāda nosaukums, šajā gadījumā mainīgo lielumu attiecības ir pretējas. Pirms aprēķina veikšanas jānosaka apgrieztā sakarība. Tās procedūra ir homoloģiska tiešajam trīs noteikumam, izņemot ieguldījumus aprēķināmajā frakcijā.

Piemēram, 3 gleznotājiem ir nepieciešamas 5 stundas, lai pabeigtu sienu. Cik stundās to pabeigtu 4 gleznotāji?

Šajā gadījumā attiecības ir apgrieztas, jo, palielinoties gleznotāju skaitam, darba laikam vajadzētu samazināties. Attiecības ir nodibinātas;

3 gleznotāji - 5 stundas

4 gleznotāji - X stundas

Tā kā attiecības tiek mainītas, darbības secība tiek mainīta. Tas ir pareizais veids;

(3 gleznotāji). (5 stundas) / 4 gleznotāji = 3,75 stundas

Termins gleznotāji ir vienkāršots, un rezultāts ir 3,75 stundas.

Stāvoklis

Lai būtu salikta vai daudzkārtīga proporcionalitāte, jāatrod abu veidu attiecības starp lielumiem un mainīgajiem.

- Tieša: mainīgajam ir tāda pati uzvedība kā nezināmajam. Tas ir, kad viens palielinās vai samazinās, otrs tiek mainīts vienādi.

- Apgriezts: mainīgajam ir antonīms kā nezināmam. Frakcija, kas nosaka mainīgo lielumu tabulā, ir jāapgriež, lai parādītu apgriezti proporcionālas attiecības starp mainīgo un nezināmo.

Rezultātu pārbaude

Ir ļoti bieži sajaukt daudzumu secību, strādājot ar saliktām proporcijām, atšķirībā no tā, kas notiek parastajos proporciju aprēķinos, kuru būtība lielākoties ir tieša un atrisināma, izmantojot vienkāršu trīs noteikumu.

Šī iemesla dēļ ir svarīgi izpētīt rezultātu loģisko secību, pārbaudot skaitļu saskaņotību, kas iegūti, izmantojot salikto trīs noteikumu.

Sākotnējā piemērā, izdarot šādu kļūdu, rezultāts būtu 20. Tas ir, 20 cilvēki 4 stundās izkrauj 15 tonnas preču.

No pirmā acu uzmetiena tas nešķiet traks rezultāts, bet tas ir ziņkārīgs, ka personāla pieaugums ir gandrīz par 200% (no 7 līdz 20 cilvēkiem), kad preču pieaugums ir par 50% un pat ar lielāku laika rezervi, lai veiktu darbs.

Tādējādi rezultātu loģiska pārbaude ir svarīgs solis, lai ieviestu salikto trīs noteikumu.

Klīrenss

Lai arī matemātikas apmācībai pēc būtības ir vairāk pamata, pielaide ir svarīgs solis proporcionalitātes gadījumos. Ar nepareizu pielaidi pietiek, lai atzītu par spēkā neesošu rezultātu, kas iegūts, izmantojot vienkāršo vai salikto trīs noteikumu.

Vēsture

Trīs noteikums kļuva zināms rietumos ar arābu starpniecību, izmantojot dažādu autoru publikācijas. Starp tiem Al-Jwarizmi un Al-Biruni.

Al-Biruni, pateicoties daudzkultūru zināšanām, bija saņēmis plašu informāciju par šo praksi, dodoties ceļojumos uz Indiju, un bija atbildīgs par visplašāko dokumentāciju, kas attiecās uz trīs noteikumu ievērošanu.

Savos pētījumos viņš norāda, ka Indija bija pirmā vieta, kur vispārpieņemtā bija triju likumu izmantošana. Rakstnieks apliecina, ka tas ticis veikts mainīgā veidā tiešā, apgrieztā un pat sastādītajā versijā.

Precīzs datums, kad trīs likumi kļuva par daļu no Indijas matemātiskajām zināšanām, joprojām nav zināms. Tomēr vecākais dokuments, kas veltīts šai praksei, Bakhshali manuskripts, tika atklāts 1881. gadā. Pašlaik tas atrodas Oksfordā.

Daudzi matemātikas vēsturnieki apgalvo, ka šis manuskripts datēts ar šī laikmeta sākumu.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Aviokompānijā jāpārvadā 1 535 cilvēki. Ir zināms, ka ar 3 lidmašīnām pēdējās pasažiera nokļūšanai galapunktā būtu nepieciešamas 12 dienas. Vēl 450 cilvēku ir ieradušies aviokompānijā un 2 lidmašīnas ir pasūtītas remontam, lai palīdzētu veikt šo uzdevumu. Cik dienu aviosabiedrībai vajadzēs pārsūtīt katru pēdējo pasažieri uz galamērķi?

Saikne starp cilvēku skaitu un darba dienām ir tieša, jo, jo lielāks ir cilvēku skaits, jo vairāk dienu būs nepieciešams šī darba veikšanai.

No otras puses, attiecības starp lidmašīnām un dienām ir apgriezti proporcionālas. Palielinoties lidmašīnu skaitam, dienu skaits, kas nepieciešams visu pasažieru pārvadāšanai, samazinās.

Tiek sastādīta vērtību tabula, kas attiecas uz šo lietu.

Kā sīki aprakstīts sākotnējā piemērā, skaitītājs un saucējs ir jāapgriež frakcijā, kas atbilst apgrieztajam mainīgajam attiecībā pret nezināmo. Darbība ir šāda:

X = 71460/7675 = 9,31 dienas

1985 cilvēku pārvietošanai, izmantojot 5 lidmašīnas, nepieciešams vairāk nekā 9 dienas.

2. vingrinājums

Kravas automašīnās tiek nogādāta 25 tonnu kukurūzas raža. Ir zināms, ka iepriekšējā gadā viņiem bija vajadzīgas 8 stundas ar 150 darbinieku algu. Ja šajā gadā algas palielinās par 35%, cik ilgs laiks būs vajadzīgs, lai kravas kravas automašīnas piepildītu ar 40 tonnu ražu?

Pirms vērtību tabulas attēlošanas jādefinē strādājošo skaits šajā gadā. Tas pieauga par 35%, salīdzinot ar sākotnējo 150 darbinieku skaitu. Tam izmanto tiešu trīs noteikumu normu.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Tas ir papildu darbinieku skaits salīdzinājumā ar iepriekšējo gadu, pēc iegūtā apjoma noapaļošanas iegūstot 203 darbiniekus.

Mēs turpinām definēt atbilstošo datu tabulu

Šajā gadījumā svars apzīmē mainīgo, kas tieši saistīts ar nezināmo laiku. No otras puses, darba ņēmēju mainīgajam ir apgrieztas attiecības ar laiku. Jo lielāks darbinieku skaits, jo īsāka ir darba diena.

Ņemot vērā šos apsvērumus un apgriežot frakciju, kas atbilst mainīgajam darba ņēmējam, mēs turpinām aprēķināt.

X = 40600/6000 = 6,76 stundas

Brauciens prasīs nedaudz mazāk kā 7 stundas.

Piedāvātie vingrinājumi

- definējiet 73% no 2875.

- Aprēķiniet stundu skaitu, kuras Terēza neguļ, ja ir zināms, ka viņa guļ tikai 7% no dienas kopējās dienas. Definējiet, cik stundas jūs gulējat nedēļā.

- Laikraksts izdod 2000 eksemplāru ik pēc 5 stundām, izmantojot tikai 2 iespiedmašīnas. Cik eksemplāru viņš saražos vienā stundā, ja viņš izmanto 7 mašīnas? Cik ilgs laiks būs nepieciešams 10 000 eksemplāru izgatavošanai, izmantojot 4 mašīnas?

Atsauces

1. Enciklopēdijas Alvarez iniciācija. A. Álvarezs, Antonio Álvarezs Perezs. EDAF, 2001.
2. Pilnīga pamatskolas un augstākās pamatapmācības rokasgrāmata: topošajiem skolotājiem un it īpaši provinces parasto skolu studentiem, 1. sējums. Joaquín Avendaño. D. Dionisio Hidalgo drukāšana, 1844.
3. Racionālu funkciju tuvināšana. PP Petruševs, Vasils Atanasovs Popovs. Cambridge University Press, 3. marts. 2011. gads.
4. Elementārā aritmētika mācīšanai Centrālamerikas skolās un koledžās. Darío González. Padoms. Arenales, 1926. gads.
5. Matemātikas pētījums: Par matemātikas izpēti un grūtībām. Augustus De Morgans. Baldvins un Kradoka, 1830. gads.