ALGEBRA ATSLĒGAS ĪPAŠUMS: PIERĀDĪJUMS, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Slēdzene īpašums algebras ir fenomens, kas attiecas divi elementi komplektā ar operāciju, kur nepieciešams nosacījums ir, ka pēc 2 elementi tiek apstrādāti saskaņā ar minētās darbības rezultāts arī pieder sākotnējo kopumu.

Piemēram, ja paņēmām pāra skaitļus kā kopu un summu kā operāciju, mēs iegūstam šīs kopas bloķēšanu attiecībā pret summu. Tas ir tāpēc, ka 2 pāra skaitļu summa vienmēr iegūs citu pāra skaitli, tādējādi izpildot bloķēšanas nosacījumu.

Avots: unsplash.com

raksturojums

Ir daudz īpašību, kas nosaka algebriskās telpas vai ķermeņus, piemēram, struktūras vai gredzenus. Tomēr slēdzenes īpašums ir viens no pazīstamākajiem pamata algebrā.

Ne visi šo īpašību lietojumi ir balstīti uz skaitliskiem elementiem vai parādībām. Daudzus ikdienas piemērus var izmantot, izmantojot tīri algebriski-teorētisku pieeju.

Kā piemēru var minēt tādas valsts pilsoņus, kas uzņemas jebkāda veida tiesiskas attiecības, piemēram, komercsabiedrību vai laulību cita starpā. Pēc šīs operācijas vai pārvaldības veikšanas viņi paliek valsts pilsoņi. Tādā veidā pilsonības un pārvaldības operācijas attiecībā uz diviem pilsoņiem ir atslēga.

Ciparu algebra

Attiecībā uz skaitļiem ir daudz aspektu, kas ir bijuši pētījumu priekšmets dažādās matemātikas un algebrās. Šajos pētījumos ir parādījies liels skaits aksiomu un teorēmu, kas kalpo par teorētisko bāzi mūsdienu pētījumiem un darbiem.

Ja mēs strādājam ar ciparu kopām, mēs varam izveidot citu derīgu atslēgas rekvizīta definīciju. Komplekts A tiek uzskatīts par citas kopas B bloķēšanu, ja A ir mazākā kopa, kas satur visas kopas un darbības, kuras satur B.

Demonstrācija

Bloķēšanas pierādījums tiek piemērots elementiem un operācijām, kas atrodas reālo skaitļu komplektā R.

Lai A un B būtu divi skaitļi, kas pieder kopai R, šo elementu aizvēršana tiek definēta katrai operācijai, kas ietverta R.

Summa

- Summa: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Tas ir algebriskais paņēmiens, kā teikt, ka visiem A un B, kas pieder pie reālajiem skaitļiem, A un B summa ir vienāda ar C, kas arī pieder pie reālajiem skaitļiem.

Ir viegli pārbaudīt, vai šis apgalvojums ir patiess; pietiek ar summu starp jebkuru reālo skaitli un pārbaudīt, vai rezultāts arī pieder pie reālajiem skaitļiem.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Tiek novērots, ka bloķēšanas nosacījums ir izpildīts reālajiem skaitļiem un summai. Šādā veidā var secināt: reālo skaitļu summa ir algebriska atslēga.

Reizināšana

- Reizināšana: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Visiem A un B, kas pieder reālijām, mums ir, ka A reizinājums ar B ir vienāds ar C, kas arī pieder reālijām.

Pārbaudot ar tiem pašiem iepriekšējā piemēra elementiem, tiek ievēroti šādi rezultāti.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Tas ir pietiekami pierādījumi, lai secinātu: Reālo skaitļu reizināšana ir algebriska atslēga.

Šo definīciju var attiecināt uz visām reālo skaitļu operācijām, lai arī mēs atradīsim dažus izņēmumus.

Avots: pixabay.com

Īpaši gadījumi R

Nodaļa

Pirmais īpašais gadījums ir sadalīšana, kurā ir redzams šāds izņēmums:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Visiem A un B, kas pieder R, mums ir, ka A starp B nepieder reālijām tikai tad, ja B ir vienāds ar nulli.

Šis gadījums attiecas uz ierobežojumu nespēt dalīt ar nulli. Tā kā nulle pieder reālajiem skaitļiem, tad no tā izriet: dalījums nav reāliju atslēga.

Iesniegšana

Pastāv arī potenciācijas operācijas, konkrētāk, radikalizācijas operācijas, kurās tiek piemēroti izņēmumi pat indeksa radikālajām pilnvarām:

Visiem A, kas pieder reālām, A n sakne pieder reāliem, ja un tikai tad, ja A pieder pie pozitīvajiem reāliem, kas pievienoti kopai, kuras vienīgais elements ir nulle.

Tādā veidā tiek apzīmēts, ka vienmērīgās saknes attiecas tikai uz pozitīvajiem reāliem, un tiek secināts, ka potencēšana nav R atslēga.

Logaritms

Homoloģiskā veidā to var redzēt logaritmiskajai funkcijai, kas nav definēta vērtībām, kas ir zemākas vai vienādas ar nulli. Lai pārbaudītu, vai logaritms ir R atslēga, rīkojieties šādi:

Visiem A, kas pieder reālām, A logaritms pieder reālijām, ja un tikai tad, ja A pieder pie pozitīvajiem reāliem.

Izslēdzot negatīvās vērtības un nulli, kas arī pieder R, var apgalvot, ka:

Logaritms nav reālo skaitļu bloķēšana.

Piemēri

Pārbaudiet, vai slēdzenē nav saskaitīti un atņemti naturālie skaitļi:

Summa N

Pirmais ir pārbaudīt bloķēšanas stāvokli dažādiem dotā komplekta elementiem, ja, ja tiek novērots, ka kāds elements sabojājas ar nosacījumu, bloķēšanas esamību var automātiski noliegt.

Šis īpašums attiecas uz visām iespējamām A un B vērtībām, kā redzams šādās darbībās:

1 + 3 = 4 ∈ N

5 + 7 = 12 ∈ N

1000 + 10000 = 11000 ∈ N

Nav tādu dabisko vērtību, kas pārkāpj slēdzenes stāvokli, tāpēc tiek secināts:

Summa ir fiksēta N.

Atņem N

Tiek meklēti dabiski elementi, kas var sagraut stāvokli; A - B pieder vietējiem iedzīvotājiem.

Darbinot to, ir viegli atrast dabisko elementu pārus, kas neatbilst slēdzenes nosacījumiem. Piemēram:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Tādā veidā mēs varam secināt, ka:

Atņemšana nav dabisko skaitļu kopas bloķēšana.

Piedāvātie vingrinājumi

1: parādiet, vai bloķēšanas īpašība ir izpildīta racionālo skaitļu kopai Q operāciju saskaitīšanai, atņemšanai, reizināšanai un dalīšanai.

2 - Izskaidrojiet, vai reālo skaitļu kopa ir veselo skaitļu kopas bloķēšana.

3 - Nosakiet, kura ciparu kopa var būt reālo skaitļu bloķēšana.

4 - Pierādiet iedomāto skaitļu kopas atslēgas īpašību attiecībā uz saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu un dalīšanu.

Atsauces

1. Tīras matemātikas panorāma: Burbakista izvēle. Žans Dieudonne. Reverte, 1987. gads.
2. Algebrisko skaitļu teorija. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Meksikas Nacionālā autonomā universitāte, 1975.
3. Lineārā algebra un tās pielietojumi. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebriskās struktūras V: ķermeņa teorija. Hektors A. Merklens. Amerikas valstu organizācija, Ģenerālsekretariāts, 1979. gads.
5. Ievads komutācijas algebrā. Maikls Fransisko Atija, IG Makdonalds. Reverte, 1973. gads.