ASOCIĒTAIS ĪPAŠUMS: SASKAITĪŠANA, REIZINĀŠANA, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Papildinājuma asociatīvais īpašums atspoguļo pievienošanas operācijas asociatīvo raksturu dažādās matemātiskās kopās. Tajā trīs (vai vairāk) minēto kopu elementi ir saistīti, tos sauc par a, b un c tā, ka tas vienmēr ir taisnība:

a + (b + c) = (a + b) + c

Tādā veidā tiek garantēts, ka neatkarīgi no grupēšanas veida, kā veikt operāciju, rezultāts ir vienāds.

1. attēls. Veicot aritmētiskās un algebriskās operācijas, mēs vairākas reizes izmantojam pievienošanas asociatīvo īpašību. (Zīmējums: freepik Sastāvs: F. Zapata)

Bet jāņem vērā, ka asociatīvais īpašums nav sinonīms komutācijas īpašumam. Tas ir, mēs zinām, ka papildinājumu secība nemaina summu vai ka faktoru secība nemaina produktu. Tātad par summu to var uzrakstīt šādi: a + b = b + a.

Tomēr asociatīvajā īpašumā tas ir atšķirīgs, jo tiek saglabāta pievienojamo elementu secība un izmaiņas, kas vispirms tiek veiktas. Kas nozīmē, ka pirmā (b + c) pievienošanai un a pievienošanai šim rezultātam nav nozīmes, kā sākt pievienot ar ar rezultātam, pievienojot c.

Daudzas svarīgas operācijas, piemēram, pievienošana, ir asociatīvas, bet ne visas. Piemēram, atņemot reālos skaitļus, notiek:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Ja a = 2, b = 3, c = 1, tad:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Reizināšanas asociatīvais īpašums

Kā darīts pievienošanai, reizināšanas asociatīvajā īpašībā teikts:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Reālo skaitļu kopas gadījumā ir viegli pārbaudīt, vai tas tā vienmēr ir. Piemēram, izmantojot vērtības a = 2, b = 3, c = 1, mums ir:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Reālie skaitļi piepilda gan saskaitīšanas, gan reizināšanas asociatīvo īpašību. No otras puses, citā kopā, piemēram, vektoru, summa ir asociatīva, bet šķērsprodukts vai vektora reizinājums nav.

Reizināšanas asociatīvā īpašuma pielietojumi

Darbību, kurās tiek izpildīts asociatīvais īpašums, priekšrocība ir spēja grupēt ērtākajā veidā. Tas ievērojami atvieglo izšķirtspēju.

Piemēram, pieņemsim, ka nelielā bibliotēkā ir 3 plaukti ar 5 plauktiem katrā. Katrā plauktā ir 8 grāmatas. Cik grāmatu ir kopumā?

Mēs varam veikt operāciju šādi: kopējais grāmatu skaits = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 grāmatu.

Vai arī šādi: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 grāmatas.

2. attēls. Reizināšanas asociatīvās īpašības viens pielietojums ir aprēķināt grāmatu skaitu katrā plauktā. Attēlu izveidojis F. Zapata.

Piemēri

-Dabīgo, skaitļu, racionālo, reālo un sarežģīto skaitļu kopās tiek izpildīts saskaitīšanas un reizināšanas asociatīvais īpašums.

3. attēls. Reālajiem skaitļiem ir izpildīts pievienošanas asociatīvais īpašums. Avots: Wikimedia Commons.

- Polinomiem tos piemēro arī šajās operācijās.

- Atņemšanas, dalīšanas un eksponēšanas operāciju gadījumos asociatīvais īpašums neattiecas uz reālajiem skaitļiem vai polinomiem.

-Matricu gadījumā pievienošana un reizināšana tiek izpildīta asociatīvā īpašība, lai gan pēdējā gadījumā komutācijas spēja nav izpildīta. Tas nozīmē, ka, ņemot vērā matricas A, B un C, ir taisnība, ka:

(A x B) x C = A x (B x C)

Bet … A x B ≠ B x A

Asociācijas īpašība vektoros

Vektori veido atšķirīgu kopu nekā reālie skaitļi vai sarežģītie skaitļi. Vektoru kopai noteiktās operācijas ir nedaudz atšķirīgas: ir saskaitīšana, atņemšana un trīs veidu produkti.

Vektoru summa izpilda asociatīvo īpašību, tāpat kā skaitļi, polinomi un matricas. Runājot par skalārajiem produktiem, ar vektoriem izveidoto skalāru un šķērsošanu, kas tiek veikta starp vektoriem, pēdējais to neizpilda, bet skalārs produkts, kas ir cita veida darbība starp vektoriem, to izpilda, ņemot vērā:

-Skalāra un vektora produkts rada vektoru.

-Un, skalāri reizinot divus vektorus, rodas skalārs.

Tāpēc, ņemot vērā vektorus v , u un w un papildus skalāru λ, ir iespējams uzrakstīt:

- Vektoru summa: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Skalārā produkts: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Pēdējais ir iespējams, pateicoties faktam, ka v • u ir skalārs, un λ v ir vektors.

Tomēr:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Polinomu faktorizācija, grupējot terminus

Šī lietojumprogramma ir ļoti interesanta, jo, kā jau tika teikts iepriekš, asociatīvais īpašums palīdz atrisināt noteiktas problēmas. Monomālu summa ir asociatīva, un to var izmantot faktorēšanai, ja acīmredzams kopīgais faktors neparādās no pirmā acu uzmetiena.

Piemēram, pieņemsim, ka jums tiek lūgts ņemt vērā faktoru: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Šim polinomam nav kopīgu faktoru, bet redzēsim, kas notiek, ja tas ir sagrupēts šādi:

Pirmajās iekavās ir kopējais ^2. ass koeficients :

Otrajā gadījumā kopējais koeficients ir 3:

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Skolas ēkai ir 4 stāvi, un katrā no tām ir 12 klases, kurās ir 30 galdi. Cik skolu ir skolā kopumā?

Risinājums

Šī problēma tiek atrisināta, izmantojot reizināšanas asociatīvo īpašību, redzēsim:

Kopējais galdiņu skaits = 4 stāvi x 12 klašu telpas / stāvs x 30 galdi / klase = (4 x 12) x 30 galdi = 48 x 30 = 1440 galdi.

Vai arī, ja vēlaties: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 galdi

- 2. vingrinājums

Ņemot vērā polinomus:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (x) = -8x ² + 3x -7

Izmantojiet pievienošanas asociatīvo īpašību, lai atrastu A (x) + B (x) + C (x).

Risinājums

Pirmos divus varat grupēt un rezultātam pievienot trešo:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Tūlīt pievieno polinomu C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Lasītājs var pārbaudīt, vai rezultāts ir identisks, ja to atrisina ar iespēju A (x) +.

Atsauces

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
2. Matemātika ir jautra - komutācijas, asociācijas un sadales likumi. Atgūts no: mathisfun.com.
3. Matemātikas noliktava. Asociētā īpašuma definīcija. Atgūts no: mathwarehouse.com.
4. Zinātne. Papildināšanas un reizināšanas asociatīvais un komutācijas īpašums (ar piemēriem). Atgūts no: sciencing.com.
5. Wikipedia. Asociētais īpašums. Atgūts no: en.wikipedia.org.