- Ievērojami produkti un piemēri
- Binomu kvadrātā
- Konjugētu binomu produkts
- Divu binominālu produkts ar kopēju terminu
- Kvadrāts polinoms
- Binomial kubi
- Trinomiāla kubs
- Atrisināti ievērojamu produktu vingrinājumi
- 1. vingrinājums
- Risinājums
- 2. vingrinājums
- Risinājums
- Atsauces
Par ievērojams produkti ir algebrisko operācijas, kurās tiek izteikti reizināšanu polynomials, kurām nav nepieciešams atrisināt tradicionāli, bet ar palīdzību dažu noteikumu, ka par to pašu rezultātu var atrast.
Polinomi tiek reizināti ar jā, tāpēc iespējams, ka tiem ir liels skaits terminu un mainīgo. Lai procesu padarītu īsāku, tiek izmantoti ievērojamie produktu noteikumi, kas ļauj reizināt, neietot pa vienam terminam.
Ievērojami produkti un piemēri
Katrs ievērojams produkts ir formula, kas izriet no faktorizācijas, ko veido vairāku terminu polinomi, piemēram, binomi vai trinomi, ko sauc par faktoriem.
Faktori ir spēka pamats, un tiem ir eksponents. Reizinot koeficientus, jāpievieno eksponenti.
Ir vairākas ievērojamas produktu formulas, dažas tiek izmantotas vairāk nekā citas, atkarībā no polinomiem, un tās ir šādas:
Binomu kvadrātā
Tas ir binomija reizinājums pats par sevi, izteikts kā jauda, kur termini tiek pievienoti vai atņemti:
uz. Binomāls kvadrātveida summai: tas ir vienāds ar pirmā termina kvadrātu, plus divreiz izteikts termina reizinājums, plus otrā termina kvadrāts. To izsaka šādi:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Nākamajā attēlā jūs varat redzēt, kā produkts attīstās saskaņā ar iepriekšminēto noteikumu. Rezultātu sauc par perfekta kvadrāta trinomu.
1. piemērs
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
2. piemērs
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Kvadrāta atņemšanas binomi: tiek piemērots tas pats summas binomāla noteikums, tikai šajā gadījumā otrais termins ir negatīvs. Tā formula ir šāda:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
1. piemērs
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Konjugētu binomu produkts
Divi binomi tiek konjugēti, kad katra otrā vārdam ir atšķirīgas pazīmes, tas ir, pirmais ir pozitīvs, bet otrais - negatīvs vai otrādi. To atrisina, sašķeļot katru monomu un atņemot. Tā formula ir šāda:
(a + b) * (a - b)
Šajā attēlā ir parādīts divu konjugētu binomu produkts, kur tiek novērots, ka rezultāts ir kvadrātu atšķirība.
1. piemērs
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Divu binominālu produkts ar kopēju terminu
Tas ir viens no sarežģītākajiem un reti izmantotajiem ievērojamākajiem izstrādājumiem, jo tas ir divu binomu, kas ir kopīgi apzīmēti, reizinājums. Noteikums nosaka:
- Kopējā termina kvadrāts.
- Pievieno summu, kas nav bieži sastopamie termini, un reizini tos ar kopējo terminu.
- Plus vēl to nosacījumu reizināšanas summa, kas nav izplatīti.
Tas ir attēlots formulā: (x + a) * (x + b) un ir izveidots, kā parādīts attēlā. Rezultāts ir perfekts kvadrātveida trinoms.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Pastāv iespēja, ka otrais termins (atšķirīgais termins) ir negatīvs, un tā formula ir šāda: (x + a) * (x - b).
2. piemērs
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Var būt arī tā, ka abi atšķirīgie termini ir negatīvi. Tā formula būs: (x - a) * (x - b).
3. piemērs
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Kvadrāts polinoms
Šajā gadījumā ir vairāk nekā divi termini, un, lai to izstrādātu, katrs tiek sašūts kvadrātā un pievienots divreiz, reizinot vienu terminu ar otru; tā formula ir: (a + b + c) 2, un operācijas rezultāts ir kvadrāta trinoms.
1. piemērs
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + R4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Binomial kubi
Tas ir ļoti sarežģīts produkts. Lai to attīstītu, binomijs tiek reizināts ar tā kvadrātu:
uz. Summai, ko veido binomijs:
- Pirmā termiņa kubs, kā arī trīskāršs pirmā termiņa kvadrāts un otrais.
- Plus vēl pirmā sasaukuma trīskāršais, otrā kvadrāta reizinājums.
- Plus otrā termiņa kubs.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
1. piemērs
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Atdalīšanas binomālajam kubam:
- Pirmā termiņa kubs mīnus trīs reizes, salīdzinot ar pirmā termina kvadrātu, reizinot ar otro.
- Plus vēl pirmā sasaukuma trīskāršais, otrā kvadrāta reizinājums.
- Atskaitot otrā termiņa kubu.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
2. piemērs
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Trinomiāla kubs
To izstrādā, reizinot to ar kvadrātu. Tas ir ļoti plašs ievērojams produkts, jo jums ir 3 vārdi kubiciņos, plus trīs reizes katrs termins kvadrātā, reizināts ar katru no terminiem, kā arī sešas reizes pārsniegts trīs terminu reizinājums. Skatīts labāk:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
1. piemērs
Atrisināti ievērojamu produktu vingrinājumi
1. vingrinājums
Izvērsiet šādu divkomponentu kubiņos: (4x - 6) 3 .
Risinājums
Atceroties, ka binominālais kubs ir vienāds ar pirmo terminu kubā, mīnus trīs reizes no pirmā termina kvadrāta reizinot ar otro; plus pirmā termiņa trīskāršā vērtība, reizinot ar otro kvadrātu, mīnus otrā termiņa kubs.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
2. vingrinājums
Izstrādājiet sekojošo binomu: (x + 3) (x + 8).
Risinājums
Ir binomijs, kur ir kopīgs termins, kas ir x, un otrais termins ir pozitīvs. Lai to izstrādātu, jums ir jāapzīmē tikai kvadrātveida kopējais termins, plus to terminu summa, kas nav izplatīti (3 un 8), un pēc tam tos jāreizina ar kopējo terminu, kā arī plusu nesaņemto terminu reizināšanas summa.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Atsauces
- Eņģelis, AR (2007). Elementārā algebra. Pīrsona izglītība ,.
- Artūrs Gudmens, LH (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. Apvienotā Karaliste: Ratna Sagar.
- Džeroms E. Kaufmans, KL (2011). Pamata un vidējā algebra: kombinēta pieeja. Florida: Cengage mācīšanās.
- Perezs, CD (2010). Pīrsona izglītība.