SAVSTARPĒJS PRODUKTS: ĪPAŠĪBAS, PIELIETOJUMI UN VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Cross produkts vai vektors produkts ir veids, kas iegūts, divus vai vairākus vektori. Ir trīs veidi, kā reizināt vektorus, bet neviens no tiem nav reizināšana vārda parastajā nozīmē. Viena no šīm formām ir pazīstama kā vektora produkts, kā rezultātā iegūst trešo vektoru.

Šķērsproduktam, ko sauc arī par šķērsproduktu vai ārējo izstrādājumu, ir atšķirīgas algebriskās un ģeometriskās īpašības. Šīs īpašības ir ļoti noderīgas, īpaši attiecībā uz fizikas izpēti.

Definīcija

Formāla vektora produkta definīcija ir šāda: ja A = (a1, a2, a3) un B = (b1, b2, b3) ir vektori, tad A un B vektora produkts, ko mēs apzīmēsim kā AxB, ir:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Sakarā ar AxB apzīmējumu to lasa kā "A krustu B".

Ārējā produkta izmantošanas piemērs ir tāds, ka, ja A = (1, 2, 3) un B = (3, -2, 4) ir vektori, tad, izmantojot vektorvektora definīciju, mums ir:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Vēl viens vektora produkta izteiksmes veids ir noteikts ar noteicošajiem faktoriem.

Otrās kārtas noteicošā koeficienta aprēķinu iegūst šādi:

Tāpēc definīcijā doto šķērsprodukta formulu var pārrakstīt šādi:

To parasti vienkāršo trešās kārtas noteicošajā faktorā šādi:

Kur i, j, k pārstāv vektori, kas veido pamatu R ³ .

Izmantojot šo savstarpējā produkta izteikšanas veidu, mēs varam iepriekšējo piemēru pārrakstīt kā:

Īpašības

Dažas vektora produkta īpašības ir šādas:

1. īpašums

Ja A ir kāds vektors R ³ , mums ir:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Šīs īpašības ir viegli pārbaudīt, izmantojot tikai definīciju. Ja A = (a1, a2, a3), mums ir:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ja i, j, k apzīmē R ³ vienības bāzi , mēs varam tos uzrakstīt šādi:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Tātad, mums ir taisnība, ka ir šādas īpašības:

Parasti, lai atcerētos šīs īpašības, tiek izmantots šāds aplis:

Tur mums jāņem vērā, ka jebkurš vektors pats par sevi dod vektoru 0, un pārējos produktus var iegūt, ievērojot šo noteikumu:

Divu secīgu vektoru šķērsprodukts pulksteņa rādītāja virzienā dod nākamo vektoru; un, ja tiek ņemts vērā virziens pretēji pulksteņrādītāja virzienam, rezultāts ir šāds vektors ar negatīvu zīmi.

Pateicoties šīm īpašībām, mēs redzam, ka vektoru produkts nav komutējošs; piemēram, vienkārši ņemiet vērā, ka ixj ≠ jx i. Šis īpašums mums saka, kā AxB un BxA ir vispārīgi saistīti.

2. īpašums

Ja A un B ir vektori R ³ , mums ir:

AxB = - (BxA).

Demonstrācija

Ja A = (a1, a2, a3) un B = (b1, b2, b3), pēc ārējā produkta definīcijas mums ir:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Mēs varam arī redzēt, ka šis produkts nav asociatīvs ar šādu piemēru:

ix (ixj) = ixk = - j, bet (ixi) xj = 0xj = 0

No tā mēs varam redzēt, ka:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

3. īpašums

Ja A, B, C ir vektori R ³ un r ir reāla skaitlis, šiem nosacījumiem:

- Ass (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Pateicoties šīm īpašībām, mēs varam aprēķināt vektoru produktu, izmantojot algebras likumus, ar nosacījumu, ka tiek ievērota kārtība. Piemēram:

Ja A = (1, 2, 3) un B = (3, -2, 4), mēs varam pārrakstīt viņiem ziņā kanoniskā pamatojoties uz R ³ .

Tādējādi A = i + 2j + 3k un B = 3i - 2j + 4k. Pēc tam, piemērojot iepriekšējās īpašības:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

4. īpašums (trīspunktu produkts)

Kā mēs minējām sākumā, bez vektoru produkta ir arī citi veidi, kā reizināt vektorus. Viens no šiem veidiem ir skalārais vai iekšējais produkts, ko apzīmē kā A ∙ B un kura definīcija ir:

Ja A = (a1, a2, a3) un B = (b1, b2, b3), tad A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Īpašums, kas attiecas uz abiem izstrādājumiem, ir pazīstams kā trīskāršais skalārais produkts.

Ja A, B, un C ir vektori R ³ , tad ∙ BxC = AXB ∙ C

Kā piemēru redzēsim, ka, ņemot vērā A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) un C = (- 5, 1, - 4), šis īpašums ir izpildīts.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

No otras puses:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Vēl viens trīskāršais produkts ir Axs (BxC), ko sauc par trīskāršo vektoru produktu.

5. īpašums (trīskāršs vektora produkts)

Ja A, B un C ir vektori R ³ , tad:

Ass (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Kā piemēru redzēsim, ka, ņemot vērā A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) un C = (- 5, 1, - 4), šis īpašums ir izpildīts.

No iepriekšējā piemēra mēs zinām, ka BxC = (- 18, - 22, 17). Aprēķināsim asi (BxC):

Cirvis (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

No otras puses, mums ir:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Tādējādi mums ir:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, –4)

6. īpašums

Tā ir viena no vektoru ģeometriskajām īpašībām. Ja A un B ir divi vektori R ³ un ϴ ir leņķis, kas izveidots starp tiem, tad:

--AxB-- = --A ---- B - sin (ϴ), kur - ∙ - apzīmē vektora moduli vai lielumu.

Šī īpašuma ģeometriskā interpretācija ir šāda:

Ļaujiet A = PR un B = PQ. Tātad leņķis, ko veido vektori A un B, ir trijstūra RQP leņķis P, kā parādīts nākamajā attēlā.

Tāpēc paralēles diagrammas laukums, kuram blakus ir PR un PQ, ir --A ---- B - sin (ϴ), jo kā bāzi mēs varam ņemt --A--, un tā augstumu norāda --B - grēks (ϴ).

Tāpēc mēs varam secināt, ka --AxB-- ir minētās paralēles diagrammas laukums.

Piemērs

Ņemot vērā šādus četrstūra P (1, –2,3), Q (4, 3, –1), R (2, 2,1) un S (5,7, -3) virsotnes, parādiet, ka minētais četrstūris ir paralelograms un atrodiet tā laukumu.

Tam vispirms nosakām vektorus, kas nosaka četrstūra malu virzienu. Tas ir:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Kā redzam, A un C ir tas pats režisora ​​vektors, attiecībā uz kuru mums abiem ir paralēli; tas pats notiek ar B un D. Tāpēc mēs secinām, ka PQRS ir paralelograma.

Lai iegūtu šīs paralēles diagrammas laukumu, mēs aprēķinām BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Tāpēc kvadrātā laukums būs:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

Var secināt, ka paralelograma laukums būs kvadrātsakne no 89.

7. īpašums

Divi vektori A un B ir paralēli R ³ tikai un vienīgi tad, ja AxB = 0

Demonstrācija

Ir skaidrs, ka, ja A vai B ir nulles vektors, tad ir skaidrs, ka AxB = 0. Tā kā nulles vektors ir paralēls jebkuram citam vektoram, tad īpašums ir derīgs.

Ja neviens no diviem vektoriem nav nulles vektors, mums ir, ka to lielumi atšķiras no nulles; tas ir, gan --A-- ≠ 0, gan --B-- ≠ 0, tātad mums būs --AxB-- = 0, ja un tikai tad, ja grēks (ϴ) = 0, un tas notiek tikai tad, ja ϴ = π vai ϴ = 0.

Tāpēc mēs varam secināt, ka AxB = 0, ja un tikai tad, ja ϴ = π vai ϴ = 0, un tas notiek tikai tad, ja abi vektori ir paralēli viens otram.

8. īpašums

Ja A un B ir divi vektori R ³ , tad AXB ir perpendikulāra gan A, gan B

Demonstrācija

Lai pierādītu šo pierādījumu, atcerēsimies, ka divi vektori ir perpendikulāri, ja A ∙ B ir vienāds ar nulli. Turklāt mēs zinām, ka:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, bet AxA ir vienāds ar 0. Tāpēc mums ir:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Ar to mēs varam secināt, ka A un AxB ir perpendikulāri viens otram. Līdzīgi mums:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

Tā kā BxB = 0, mums ir:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Tāpēc AxB un B ir perpendikulāri viens otram, un ar to īpašība tiek demonstrēta. Tas mums ir ļoti noderīgi, jo tie ļauj mums noteikt plaknes vienādojumu.

1. piemērs

Iegūstiet plaknes vienādojumu, kas iet caur punktiem P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) un R (2, 1, 3).

Ļaujiet A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) un B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Tad A = - i + 3j + k un B = i - 2j + k. Lai atrastu plakni, kuru veido šie trīs punkti, pietiek ar vektoru, kas ir normāls plaknei, kas ir AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Izmantojot šo vektoru un ņemot punktu P (1, 3, 2), mēs varam noteikt plaknes vienādojumu šādi:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Tādējādi mums ir, ka plaknes vienādojums ir 5x + 2y - z - 9 = 0.

2. piemērs

Atrodiet plaknes vienādojumu, kurā ir punkts P (4, 0, - 2) un kas ir perpendikulārs katrai no plaknēm x - y + z = 0 un 2x + y - 4z - 5 = 0.

Zinot, ka normāls vektors plaknei ax + ar + cz + d = 0 ir (a, b, c), mums ir, ka (1, -1,1) ir parasts x - y + z = 0 y ( 2,1, - 4) ir parasts 2x + y - 4z - 5 = 0 vektors.

Tāpēc parastajam vēlamās plaknes vektoram jābūt perpendikulāram (1, -1,1) un (2, 1, - 4). Šis vektors ir:

(1, -1,1) x (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Tad mums ir, ka meklētā plakne ir tā, kurā ir punkts P (4,0, - 2) un kurā parastais vektors ir vektors (3,6,3).

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

Lietojumprogrammas

Paralēlāga caurules tilpuma aprēķins

Lietojumprogrammai, kurai ir trīskāršā mēroga reizinājums, jāspēj aprēķināt tāda paralēlskaldņa tilpumu, kura malas norāda vektori A, B un C, kā parādīts attēlā:

Mēs varam secināt šo pielietojumu šādā veidā: kā mēs teicām iepriekš, vektors AxB ir vektors, kas ir normāls A un B plaknei. Mums arī ir, ka vektors - (AxB) ir vēl viens vektors, kas ir normāls šai plaknei.

Mēs izvēlamies parasto vektoru, kas veido mazāko leņķi ar vektoru C; Nezaudējot vispārīgumu, pieņemsim, ka AxB ir vektors, kura leņķis ar C ir mazākais.

Mums ir tas, ka gan AxB, gan C ir vienāds sākuma punkts. Turklāt mēs zinām, ka paralēlās diagrammas laukums, kas veido paralēlskaldņa pamatni, ir –AxB--. Tāpēc, ja paralēlskaldņa augstumu norāda h, mums ir, ka tā tilpums būs:

V = --AxB - h.

No otras puses, ņemsim vērā punktveida produktu starp AxB un C, ko var aprakstīt šādi:

Tomēr pēc trigonometriskām īpašībām mums ir h = --C - cos (ϴ), tātad:

Tādā veidā mums ir:

Vispārīgi runājot, mums ir, ka paralēlskaldņa tilpumu izsaka trīskāršā skalārā produkta AxB ∙ absolūtā vērtība.

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Ņemot vērā punktus P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) un S = (2, 6, 9), šie punkti veido paralēlskaldni, kura malas ir tie ir PQ, PR un PS. Nosaka minētā paralēlā caurules tilpumu.

Risinājums

Ja ņemam:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Izmantojot trīskāršu skalārā produkta īpašību, mums ir:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Tāpēc mums ir, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir 52.

2. vingrinājums

Nosaka tilpumu paralēlajam pīpam, kura malas apzīmētas ar A = PQ, B = PR un C = PS, kur punkti P, Q, R un S ir (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) un (2, 2, 5).

Risinājums

Vispirms mums ir, ka A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Mēs aprēķinām AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

Tad mēs aprēķinām AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Tādējādi mēs secinām, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir 1 kubikvienība.

Atsauces

1. Leithold, L. (1992). Aprēķins ar analītisko ģeometriju. HARLA, SA
2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizika, 1. sēj. Meksika: kontinentālā daļa.
3. Saenz, J. (nd). Vektora aprēķins 1ed. Hipotenūza.
4. Spiegel, MR (2011). Vektoru analīze 2ed. Mc Graw Hill.
5. Zill, DG, & Wright, W. (2011). Vairāku mainīgo aprēķins 4ed. Mc Graw Hill.