PIEDEVAS PRINCIPS: NO KĀ TAS SASTĀV, UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Piedeva princips ir varbūtība skaitīšanas metode, kas ļauj mums, lai noteiktu, cik daudz veidos darbība var tikt veikta, kas, savukārt, ir vairākas alternatīvas jāveic, no kuriem tikai viens var izvēlēties vienlaicīgi. Klasisks piemērs tam ir, ja vēlaties izvēlēties transporta līniju, lai pārvietotos no vienas vietas uz otru.

Šajā piemērā alternatīvas atbildīs visām iespējamām transporta līnijām, kas iet pa vēlamo maršrutu - gaisu, jūru vai sauszemi. Mēs nevaram doties uz vietu, izmantojot vienlaikus divus transporta līdzekļus; mums jāizvēlas tikai viens.

Piedevas princips mums saka, ka šo braucienu veikšanas veidu skaits atbildīs katras iespējamās alternatīvas (transporta līdzekļa) summai, lai dotos uz vēlamo vietu; tas ietver pat transporta līdzekļus, kas kaut kur apstājas (vai vietām) starp.

Acīmredzot iepriekšējā piemērā mēs vienmēr izvēlēsimies visērtāko alternatīvu, kas vislabāk atbilst mūsu iespējām, taču, iespējams, ir ļoti svarīgi zināt, cik dažādos veidos notikumu var veikt.

Varbūtība

Kopumā varbūtība ir matemātikas joma, kas ir atbildīga par notikumu vai parādību izpēti un nejaušiem eksperimentiem.

Eksperiments vai izlases parādība ir darbība, kas ne vienmēr dod vienādus rezultātus, pat ja to veic ar vienādiem sākotnējiem nosacījumiem, neko nemainot sākotnējā procedūrā.

Klasisks un vienkāršs piemērs, lai saprastu, kas sastāv no nejauša eksperimenta, ir monētas vai kauliņa mešana. Darbība vienmēr būs vienāda, bet mēs ne vienmēr iegūsim, piemēram, "galvas" vai "sešinieku".

Varbūtība ir atbildīga par paņēmienu nodrošināšanu, lai noteiktu, cik bieži dots nejaušs notikums var notikt; starp citiem nodomiem, galvenais ir paredzēt iespējamos nenoteiktos notikumus nākotnē.

Notikuma varbūtība

Konkrētāk, notikuma A iestāšanās varbūtība ir reālais skaitlis no nulles līdz vienam; tas ir, skaitlis, kas pieder intervālam. To apzīmē ar P (A).

Ja P (A) = 1, tad notikuma A iestāšanās varbūtība ir 100%, un, ja tas ir nulle, tad tā iespējamība nav. Parauga laukums ir visu iespējamo rezultātu kopums, ko var iegūt, veicot nejaušu eksperimentu.

Atkarībā no gadījuma ir vismaz četri varbūtības veidi vai jēdzieni: klasiskā varbūtība, biežuma varbūtība, subjektīvā varbūtība un aksiomātiskā varbūtība. Katrs no tiem koncentrējas uz dažādiem gadījumiem.

Klasiskā varbūtība ietver gadījumu, kad parauga telpai ir ierobežots skaits elementu.

Šajā gadījumā notikuma A iestāšanās varbūtība būs pieejamo alternatīvu skaits, lai iegūtu vēlamo rezultātu (tas ir, A komplekta elementu skaits), dalīts ar elementu skaitu parauga telpā.

Šeit jāuzskata, ka visiem parauga telpas elementiem jābūt vienādi iespējamiem (piemēram, kā nemainītu doto, kurā varbūtība iegūt kādu no sešiem skaitļiem ir vienāda).

Piemēram, kāda ir varbūtība, ka slīdošās formas griešana iegūs nepāra skaitli? Šajā gadījumā kopu A veidotu visi nepāra skaitļi no 1 līdz 6, un parauga laukumu veidotu visi skaitļi no 1 līdz 6. Tātad A ir 3 elementi un parauga laukums ir 6. Tātad Tāpēc P (A) = 3/6 = 1/2.

Kāds ir piedevas princips?

Kā minēts iepriekš, varbūtība mēra, cik bieži notiek noteikts notikums. Lai varētu noteikt šo frekvenci, ir svarīgi zināt, cik daudzos gadījumos šo notikumu var veikt. Piedevas princips ļauj mums veikt šo aprēķinu konkrētā gadījumā.

Piedevas princips nosaka: Ja A ir notikums, kura izpildes veidi ir “a”, un B ir cits notikums, kuram ir “b” izpildes veidi, un ja papildus tam var notikt tikai A vai B, nevis abi Tajā pašā laikā A vai B (A deB) realizācijas veidi ir a + b.

Parasti tas tiek noteikts ierobežota skaita kopu savienībai (lielāka vai vienāda ar 2).

Piemēri

Pirmais piemērs

Ja grāmatnīca pārdod grāmatas par literatūru, bioloģiju, medicīnu, arhitektūru un ķīmiju, no kurām tai ir 15 dažādu veidu grāmatas par literatūru, 25 par bioloģiju, 12 par medicīnu, 8 par arhitektūru un 10 par ķīmiju, cik daudz iespēju cilvēkam ir izvēlēties arhitektūras grāmatu vai bioloģijas grāmatu?

Piedevas princips mums saka, ka variantu skaits vai veidu, kā izdarīt šo izvēli, ir 8 + 25 = 33.

Šo principu var piemērot arī gadījumā, ja ir iesaistīts viens pasākums, kam savukārt ir dažādas alternatīvas, kuras jāveic.

Pieņemsim, ka vēlaties veikt noteiktu darbību vai notikumu A un ka tam ir vairākas alternatīvas, teiksim n.

Savukārt pirmajai alternatīvai ir ₁ paņēmieni, kā otrajai, otrajai ir ₂ paņēmieni, un tā tālāk n. Alternatīvu n var izdarīt _n veidos.

Piedevas princips nosaka, ka notikumu A var veikt ar ₁ + līdz ₂ +… + _n veidos.

Otrais piemērs

Pieņemsim, ka persona vēlas iegādāties apavu pāri. Ierodoties apavu veikalā, viņš atrod tikai divus dažādus apavu lieluma modeļus.

Pieejamas divas krāsas, no kurām viena ir pieejama, un otra, piecas. Cik veidos šī persona veic šo pirkumu? Pēc piedevas principa atbilde ir 2 + 5 = 7.

Piedevas princips jāizmanto, ja vēlaties aprēķināt veidu, kā veikt vienu vai otru notikumu, nevis abus vienlaikus.

Lai aprēķinātu dažādus veidus, kā notikumu veikt kopā ("un") ar citu - tas ir, ka abiem notikumiem jānotiek vienlaicīgi - tiek izmantots multiplikācijas princips.

Piedevas principu var arī interpretēt varbūtības izteiksmē šādi: varbūtība, ka notiek notikums A vai notikums B, ko apzīmē ar P (A∪B), zinot, ka A nevar notikt vienlaikus ar B, ir P (A∪B) = P (A) + P (B).

Trešais piemērs

Kāda ir varbūtība iegūt 5, ripinot stūri vai galviņas, mētājot monētu?

Kā redzams iepriekš, parasti varbūtība iegūt jebkuru numuru, ripinot stiepli, ir 1/6.

Jo īpaši varbūtība iegūt 5 ir arī 1/6. Tāpat varbūtība iegūt galvas, mētājot monētu, ir 1/2. Tāpēc atbilde uz iepriekšējo jautājumu ir P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Atsauces

1. Bellhouse, DR (2011). Ābrahams De Moivre: klasiskās varbūtības un tās pielietošanas posma iestatīšana. CRC Press.
2. Cifuentes, JF (2002). Ievads varbūtības teorijā. Kolumbijas valstspiederīgais.
3. Dastons, L. (1995). Apgaismības klasiskā varbūtība. Princeton University Press.
4. Hopkinss, B. (2009). Resursi diskrētās matemātikas mācīšanai: klases projekti, vēstures moduļi un raksti.
5. Džonsonsbuks, R. (2005). Diskrētā matemātika. Pīrsona izglītība.
6. Larsons, HJ (1978). Ievads varbūtību teorijā un statistiskajos secinājumos. Redakcija Limusa.
7. Lutfiyya, LA (2012). Ierobežots un diskrēts matemātikas problēmu risinātājs. Pētniecības un izglītības asociācijas redaktori.
8. Martel, PJ, & Vegas, FJ (1996). Varbūtība un matemātiskā statistika: pielietojums klīniskajā praksē un veselības pārvaldībā. Díaz de Santos izdevumi.
9. Padró, FC (2001). Diskrētā matemātika. Politèc. no Katalonijas.
10. Šteiners, E. (2005). Lietišķo zinātņu matemātika. Atgriezties.