IZLIEKTS DAUDZSTŪRIS: DEFINĪCIJA, ELEMENTI, ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Izliekts daudzstūris ir ģeometriska figūra ietverts plaknē, kas ir raksturīgs, jo tā ir visas diagonāles savā interjerā un tās leņķi izmērīt mazāk kā 180 °. Starp tā īpašībām ir šādas:

1) Tas sastāv no n secīgiem segmentiem, kur pēdējais no segmentiem pievienojas pirmajam. 2) Neviens no segmentiem nekrustojas tā, lai norobežotu plakni iekšējā un ārējā reģionā. 3) Katrs leņķis interjera reģionā ir stingri mazāks par plaknes leņķi.

1. attēls. 1., 2. un 6. daudzstūris ir izliekti. (Sagatavojis Ricardo Pérez).

Vienkāršs veids, kā noteikt, vai daudzstūris ir izliekts vai nē, ir apsvērt līniju, kas iet caur vienu no tā malām, kas nosaka divas pusplaknes. Ja katrā rindā, kas iet caur vienu pusi, citas daudzstūra malas atrodas tajā pašā pusplaknē, tad tas ir izliekts daudzstūris.

Daudzstūra elementi

Katru daudzstūri veido šādi elementi:

- sāni

- virsotnes

Sānos ir katrs secīgais segments, kas veido daudzstūri. Daudzstūrī nevienam no segmentiem, kas to veido, nevar būt atvērts gals, tādā gadījumā būtu daudzstūra līnija, bet ne daudzstūris.

Virsotnes ir divu secīgu segmentu savienojuma vietas. Daudzstūrī virsotņu skaits vienmēr ir vienāds ar sānu skaitu.

Ja krustojas vairākas daudzstūra puses vai segmenti, tad jums ir šķērsots daudzstūris. Krustojuma punktu neuzskata par virsotni. Krustveida daudzstūris ir neapstiprināts daudzstūris. Zvaigžņu daudzstūri ir krustveida daudzstūri un tāpēc nav izliekti.

Ja daudzstūrim visas malas ir vienādas, tad mums ir parasts daudzstūris. Visi parastie daudzstūri ir izliekti.

Izliekti un ne-izliekti daudzstūri

1. attēlā parādīti vairāki daudzstūri, daži no tiem ir izliekti, bet daži no tiem nav. Analizēsim tos:

Skaitlis 1 ir trīspusējs daudzstūris (trīsstūris), un visi iekšējie leņķi ir mazāki par 180º, tāpēc tas ir izliekts daudzstūris. Visi trīsstūri ir izliekti daudzstūri.

Cipars 2 ir četrpusējs daudzstūris (četrstūris), kurā neviena no pusēm nekrustojas, un katrs iekšējais leņķis ir mazāks par 180º. Pēc tam tas ir izliekts daudzstūris ar četrām pusēm (izliekts četrstūris).

No otras puses, skaitlis 3 ir daudzstūris ar četrām pusēm, bet viens no tā iekšējiem leņķiem ir lielāks par 180º, tāpēc tas neatbilst izliekuma nosacījumam. Tas ir, tas ir neliecējs četrpusējs daudzstūris, ko sauc par ieliektu četrstūri.

Cipars 4 ir daudzstūris ar četriem segmentiem (sāniem), no kuriem divi krustojas. Četri iekšējie leņķi ir mazāki par 180º, bet, tā kā abas puses krustojas, tas ir neizliekts šķērsgriezts daudzstūris (šķērsots četrstūris).

Cits gadījums ir skaitlis 5. Tas ir daudzstūris ar piecām pusēm, bet, tā kā viens no tā iekšējiem leņķiem ir lielāks par 180º, mums pēc tam ir ieliekts daudzstūris.

Visbeidzot, numura 6, kurai ir arī piecas malas, visi iekšējie leņķi ir mazāki par 180º, tātad tas ir izliekts daudzstūris ar piecām pusēm (izliekts piecstūris).

Izliektā daudzstūra īpašības

1- Nešķērsots daudzstūris vai vienkāršs daudzstūris sadala plakni, kas to satur, divos reģionos. Iekšējais un ārējais reģions, daudzstūris ir robeža starp diviem reģioniem.

Bet, ja daudzstūris ir papildus izliekts, tad mums ir vienkārši savienots interjera reģions, kas nozīmē, ka, paņemot no iekšējā reģiona jebkurus divus punktus, to vienmēr var savienot ar segmentu, kas pilnībā pieder interjera reģionam.

2. attēls. Izliekts daudzstūris ir vienkārši savienots, bet ieliektais nav. (Sagatavojis Ricardo Pérez).

2 - katrs izliekta daudzstūra iekšējais leņķis ir mazāks par plaknes leņķi (180º).

3 - Visi izliekta daudzstūra iekšējie punkti vienmēr pieder pie viena no pusplaknēm, ko nosaka līnija, kas iet caur divām secīgām virsotnēm.

4- Izliektā daudzstūrī visas diagonāles ir pilnībā ietvertas daudzstūra iekšējā reģionā.

5- Izliekta daudzstūra iekšējie punkti pilnībā pieder izliektajam leņķa sektoram, ko nosaka katrs iekšējais leņķis.

6- Katrs daudzstūris, kurā visas tā virsotnes atrodas uz perimetra, ir izliekts daudzstūris, ko sauc par ciklisku daudzstūri.

7- Katrs ciklisks daudzstūris ir izliekts, bet ne katrs izliekts daudzstūris ir ciklisks.

8- Jebkurš nešķērsots daudzstūris (vienkāršs daudzstūris), kura visas malas ir vienāda garuma, ir izliekts un ir pazīstams kā parasts daudzstūris.

Diagonāles un leņķi izliektos daudzstūros

9. Kopējais izliekta daudzstūra ar n malām diagonāļu skaits N ir šāds:

N = ½ n (n - 3)

Pierādījums: izliektā daudzstūrī ar katras virsotnes n malām ir n-3 diagonāles, jo pati virsotne un divas blakus esošās ir izslēgtas. Tā kā ir n virsotnes, kopā tiek uzzīmēti n (n - 2) diagonāles, bet katra diagonāle tika uzzīmēta divreiz, tāpēc diagonāļu skaits (bez atkārtojumiem) ir n (n-2) / 2.

10. Izliekta daudzstūra ar n malām iekšējo leņķu summa S tiek aprēķināta šādi:

S = (n - 2) 180º

Piemēri

1. piemērs

Ciklisks sešstūris ir daudzstūris ar sešām malām un sešām virsotnēm, bet visas virsotnes atrodas uz viena un tā paša apkārtmēra. Katrs cikliskais daudzstūris ir izliekts.

Ciklisks sešstūris.

2. piemērs

Nosakiet regulārā enegona iekšējo leņķu vērtību.

Risinājums: enegons ir 9-pusīgs daudzstūris, bet, ja tas ir arī regulārs, visas tā malas un leņķi ir vienādi.

Visu 9-sānu daudzstūra iekšējo leņķu summa ir:

S = (9 - 2) 180º = 7 * 180º = 1260º

Bet ir 9 iekšējie leņķi ar vienlīdzīgu lielumu α, tāpēc ir jāizpilda šāda vienādība:

S = 9 α = 1260º

No tā izriet, ka regulārā enegona katra iekšējā leņķa lielums α ir:

α = 1260º / 9 = 140º