PARALĒLĀ PĪĶA: RAKSTURLIELUMI, VEIDI, LAUKUMS, TILPUMS - MATEMĀTIKA - 2025

Paralēlskaldnis ir ģeometriska struktūra, kas sastāv no sešām sejām, kuru galvenā pazīme, kas ir tas, ka visi tās sejas ir parallelograms un arī to, ka tās pretējās sejas ir paralēli viens otram. Tas ir parasts daudzskaldnis mūsu ikdienas dzīvē, jo mēs to varam atrast apavu kastēs, ķieģeļu formā, mikroviļņu krāsnī utt.

Būdams daudzskaldnis, paralēlskaldnis ieskauj ierobežotu tilpumu, un visas tā sejas ir plakanas. Tas ietilpst prizmu grupā, kas ir daudzslāņu loks, kurā visas tās virsotnes atrodas divās paralēlās plaknēs.

Paralēlā pīķa elementi

Sejas

Tie ir katrs no reģioniem, ko veido paralēlās diagrammas, kas ierobežo paralēlās līnijas. Paralēlskaldnim ir sešas sejas, kur katrai sejai ir četras blakus esošas sejas un viena pretēja. Arī katra seja ir paralēla ar pretējo.

Malas

Tās ir divu seju kopējā puse. Kopumā paralēlskaldnim ir divpadsmit malas.

Vertex

Tas ir kopīgais punkts trīs sejām, kas atrodas blakus viena otrai pa divām. Paralēlskaldnei ir astoņas virsotnes.

Pa diagonāli

Ņemot vērā divas paralēlās diametrs, kas atrodas pretī viens otram, mēs varam novilkt līnijas segmentu, kas iet no vienas sejas virsotnes uz otras pretējo virsotni.

Šis segments ir pazīstams kā paralēlskaldņa diagonāle. Katram paralēlskaldnim ir četras diagonāles.

Centrs

Tas ir punkts, kurā visas diagonāles krustojas.

Paralēlā pīķa raksturojums

Kā mēs jau minējām, šim ģeometriskajam ķermenim ir divpadsmit malas, sešas sejas un astoņas virsotnes.

Paralēlā formā var identificēt trīs komplektus, ko veido četras malas un kas ir paralēli viens otram. Turklāt minēto komplektu malām ir arī tāds pats garums.

Cits īpašums, kas piemīt paralēlajiem cauruļvadiem, ir tas, ka tie ir izliekti, tas ir, ja mēs ņemam jebkuru punktu pāri, kas pieder paralēlskaldņa iekšpusei, segments, kuru nosaka minētais punktu pāris, arī atradīsies paralēlā caurules iekšpusē.

Turklāt paralēlie pīpes, kas ir izliektas daudzskaldnes, atbilst Eulera teorijai par daudzslāņu, kas dod mums sakarību starp seju skaitu, malu skaitu un virsotņu skaitu. Šīs attiecības tiek parādītas šāda vienādojuma veidā:

C + V = A + 2

Šī īpašība ir zināma kā Eulera īpašība.

Kur C ir seju skaits, V - virsotņu skaits un A - malu skaits.

Veidi

Paralēlāpjus pēc to sejas var klasificēt šādos veidos:

Pareizticīgais

Tie ir paralēlie cauruļvadi, kur viņu sejas veido seši taisnstūri. Katrs taisnstūris ir perpendikulārs tiem, kuriem ir mala. Tie ir visizplatītākie mūsu ikdienas dzīvē, tas ir parastais apavu kārbu un ķieģeļu veids.

Regulārs kubs vai heksaedrs

Šis ir īpašs iepriekšējās lietas gadījums, kad katra no sejām ir kvadrāts.

Kubs ir arī ģeometrisko ķermeņu daļa, ko sauc par platoniskām cietvielām. Platoniska cieta viela ir izliekts daudzskaldnis, tā, lai gan tā virsmas, gan iekšējie leņķi būtu vienādi.

Romboedrons

Tā sejai ir paralēlskaldnis ar rombiņiem. Šie rombi visi ir vienādi viens ar otru, jo tiem ir vienādas malas.

Romboedrons

Tās sešas sejas ir romboīdi. Atgādiniet, ka romboīds ir daudzstūris ar četrām pusēm un četriem leņķiem, kas ir vienādi divi pret diviem. Romboīdi ir paralelogrammas, kas nav ne kvadrāti, ne taisnstūri, ne rombi.

No otras puses, slīpi paralēlie pīpes ir tie, kuros vismaz viens augstums neatbilst to malai. Šajā klasifikācijā mēs varam iekļaut romboedru un romboedru.

Diagonāļu aprēķins

Lai aprēķinātu ortoedrona diagonāli, R ³ var izmantot Pitagora teorēmu .

Atgādiniet, ka ortoedrim ir raksturīgas pazīmes, ka katra puse ir perpendikulāra tām malām, kurām ir viena mala. No šī fakta mēs varam secināt, ka katra mala ir perpendikulāra tām, kurām ir virsotne.

Lai aprēķinātu ortoedrona diagonāles garumu, rīkojamies šādi:

1. Mēs aprēķinām vienas no sejas diagonāli, kuru mēs uzliksim kā pamatni. Šim nolūkam mēs izmantojam Pitagora teorēmu. Nosauksim šo diagonāli d _b .

2. Tad ar d _b mēs varam izveidot jaunu taisnu trīsstūri, tā, lai minētā trijstūra hipotenūza būtu meklētā diagonāle.

3. Mēs atkal izmantojam Pitagora teorēmu, un mums ir, ka šīs diagonāles garums ir:

Cits veids, kā grafiskāk aprēķināt diagonāles, ir brīvo vektoru pievienošana.

Atgādiniet, ka, pievienojot vektora B asti ar vektora A galu, tiek pievienoti divi brīvie vektori A un B.

Vektors (A + B) ir tāds, kas sākas ar A asti un beidzas ar B galu.

Apsvērsim paralēlāpi, kuriem mēs vēlamies aprēķināt diagonāli.

Mēs identificējam malas ar ērti orientētiem vektoriem.

Tad mēs pievienojam šos vektorus, un iegūtais vektors būs paralēlā pīķa diagonāle.

Apgabals

Paralēlāga laukumu apzīmē ar katras tā sejas laukuma summu.

Ja kā bāzi mēs nosakām vienu no pusēm,

A _L + 2A _B = kopējā platība

Kur A _L ir vienāds ar visām pamatnei piegulošo malu laukumu summu, ko sauc par sānu laukumu, un A _B ir pamatnes laukums.

Atkarībā no tā, kāda veida paralēlskaldnis mēs strādājam, mēs varam pārrakstīt šo formulu.

Ortoedrona platība

To piešķir formula

A = 2 (ab + bc + ca).

1. piemērs

Ņemot vērā šādu ortoedronu ar malām a = 6 cm, b = 8 cm un c = 10 cm, aprēķiniet paralēlā caurules laukumu un tā diagonāles garumu.

Izmantojot ortoedrona apgabala formulu, tāda ir

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Ievērojiet, ka, tā kā tas ir ortoedrons, jebkura no četriem diagonāles garums ir vienāds.

Izmantojot Pitagora teorēmu kosmosam, mums tā ir

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Kuba laukums

Tā kā katrai malai ir vienāds garums, mums ir a = b un a = c. Aizstājot iepriekšējā formulā, kāda mums ir

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

2. piemērs

Spēļu konsoles kārba ir veidota kā kubs. Ja mēs vēlamies iesaiņot šo kasti ar dāvanu iesaiņojumu, cik daudz papīra mēs tērētu, zinot, ka kuba malu garums ir 45 cm?

Izmantojot kuba laukuma formulu, to iegūstam

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Romboedrona platība

Tā kā visas viņu sejas ir vienādas, vienkārši aprēķiniet laukumu vienai no tām un reiziniet to ar sešām.

Mums ir tāds, ka romba laukumu var aprēķināt, izmantojot tā diagonāles, izmantojot šādu formulu

A _R = (Dd) / 2

Izmantojot šo formulu, izriet, ka romboedra kopējais laukums ir

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3. piemērs

Sekojošā romboedrona sejas veido rombs, kura diagonāles ir D = 7 cm un d = 4 cm. Jūsu teritorija būs

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Romboedrona platība

Lai aprēķinātu romboedrona laukumu, mums jāaprēķina romboīdu laukums, kas to veido. Tā kā paralēlskaldņi piepilda to īpašību, ka pretējām pusēm ir vienāds laukums, mēs varam puses savienot trīs pāros.

Tādā veidā mums ir jūsu teritorija

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kur b _i ir pamatnes, kas saistītas ar sāniem, un h _i to relatīvais augstums, kas atbilst šīm bāzēm.

4. piemērs

Apsveriet šādus paralēlskaldņus:

kur pusei A un malai A '(tās pretējā puse) ir pamatne b = 10 un augstums h = 6. Marķētajam laukumam būs vērtība

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B un B 'ir b = 4 un h = 6, tātad

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

Tādējādi YC un C 'ir b = 10 un h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Visbeidzot, romboedrona platība ir

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Paralēlāga tilpums

Formula, kas dod mums paralēlskaldņa tilpumu, ir tās sejas laukuma laukuma reizinājums ar augstumu, kas atbilst šai sejai.

V = A _C h _C

Atkarībā no paralēlskaldņa veida šo formulu var vienkāršot.

Piemēram, mums ir, piemēram, ka ortoedrona tilpumu piešķirs

V = abc.

Kur a, b un c apzīmē ortoedrona malu garumu.

Un konkrētā gadījumā kubs ir

V = a ³

1. piemērs

Ir trīs dažādi sīkfailu kārbu modeļi, un jūs vēlaties zināt, kurā no šiem modeļiem varat saglabāt vairāk sīkfailu, tas ir, kurš no lodziņiem ir lielākais.

Pirmais ir kubs, kura malas garums ir a = 10 cm

Tās tilpums būs V = 1000 cm ³

Otrajam ir malas b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Tāpēc tā tilpums ir V = 765 cm ³

Un trešajam ir e = 9 cm, f = 9 cm un g = 13 cm

Un tā tilpums ir V = 1053 cm ³

Tāpēc kaste ar lielāko tilpumu ir trešā.

Vēl viena metode, kā iegūt paralēlskaldņa tilpumu, ir izmantot vektora algebru. Jo īpaši trīskāršais punkts.

Viena no trīskāršā skalārā produkta ģeometriskajām interpretācijām ir paralēlā caurules tilpums, kura malas ir trīs vektori, kuriem ir tāda pati virsotne kā sākuma punktam.

Tādā veidā, ja mums ir paralēlskaldnis un mēs vēlamies zināt, kāds ir tā tilpums, pietiek ar to, lai attēlotu to koordinātu sistēmā R ^3, padarot vienu no tā virsotnēm sakrīt ar izcelsmi.

Tad mēs attēlojam malas, kas sakrīt sākumā ar vektoriem, kā parādīts attēlā.

Un tādā veidā mums ir, ka minētā paralēlā pīķa tilpumu piešķir

V = - AxB ∙ C-

Vai līdzīgi, tilpums ir 3 × 3 matricas noteicējs, ko veido malu vektoru komponenti.

2. piemērs

Pārstāvot šādu paralēlēju R ^3, mēs redzam, ka vektori, kas to nosaka, ir šādi

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) un w = (-0,25, -4, 4)

Izmantojot trīskāršu skalāru produktu, kāds mums ir

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

No tā mēs secinām, ka V = 60

Ļaujiet mums tagad apsvērt šādus paralēles R3, kuru malas nosaka vektori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) un C = (3, 4, 4)

Izmantojot determinantus, mēs to iegūstam

Tādējādi mums ir, ka minētā paralēlskaldņa tilpums ir 112.

Abi ir līdzvērtīgi apjoma aprēķināšanas veidi.

Perfekti paralēlskaldnis

Ortoedrons ir pazīstams kā Eulera ķieģelis (vai Eulera bloks), kas pilda īpašību, ka gan tā malu garums, gan katras tās sejas diagonāļu garums ir veseli skaitļi.

Lai gan Eulers nebija pirmais zinātnieks, kurš pētīja ortoedru, kas pilda šo īpašību, viņš tomēr atrada par tiem interesantus rezultātus.

Mazāko Eulera ķieģeli atklāja Pols Halcs, un tā malu garums ir a = 44, b = 117 un c = 240.

Atklāta problēma skaitļu teorijā ir šāda

Vai ir perfekta ortohedra?

Šobrīd uz šo jautājumu nav atbildēts, jo nav bijis iespējams pierādīt, ka šādas iestādes neeksistē, taču arī neviena no tām nav atrasta.

Līdz šim ir parādīts, ka eksistē nevainojami paralēlpadi. Pirmais, ko atklāj, tā malu garumam ir vērtības 103, 106 un 271.

Bibliogrāfija

1. Gajs, R. (1981). Neatrisinātas problēmas skaitļu teorijā. Springers.
2. Landaverde, F. d. (1997). Ģeometrija. Progress.
3. Leithold, L. (1992). Aprēķins ar analītisko ģeometriju. HARLA, SA
4. Rendons, A. (2004). Tehniskais zīmējums: Aktivitāšu grāmata 3 2. Bachillerato. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Fizika, 1. sēj. Meksika: kontinentālā daļa.