ORTOEDRONS: FORMULAS, LAUKUMS, TILPUMS, DIAGONĀLE, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Orthohedron ir tilpuma vai trīsdimensiju ģeometrisko skaitlis, kas ir raksturīgs ar ar sešiem taisnstūra sejas, tā, ka pretējās sejas ir paralēlās plaknēs un ir identiski vai saskanīgs taisnstūri. No otras puses, sejas, kas atrodas blakus dotajai sejai, ir plaknēs, kas ir perpendikulāras sākotnējās sejas plaknei.

Ortedronu var uzskatīt arī par ortogonālu prizmu ar taisnstūrveida pamatni, kurā divvirzienu leņķi, ko veido divas sejas plaknes, kas atrodas blakus kopējai malai, ir 90º. Divvirziena leņķi starp divām sejām mēra virsmu krustojumā ar tām kopīgu perpendikulāru plakni.

1. attēls. Pareizticīgais. Avots: F. Zapata ar Geogebra.

Tāpat ortoedrons ir taisnstūra paralēlskaldnis, jo šādi paralēlskaldnis tiek definēts kā sešu seju, kas ir paralēlas divas ar divām, tilpuma figūra.

Jebkurā paralēlskaldņa virsmā ir paralelogramma, bet taisnstūrveida paralēlskaldnī virsmai jābūt taisnstūrveida.

Ortoedrona daļas

Daudzskaldņu daļas, tāpat kā ortoedrons, ir:

-Aristas

-Vertices

-Sejas

Leņķis starp ortedrona vienas sejas divām malām sakrīt ar divdimensiju leņķi, ko veido tās pārējās divas sejas blakus katrai no malām, veidojot taisnu leņķi. Šis attēls izskaidro katru jēdzienu:

2. attēls. Ortoedrona daļas. Avots: F. Zapata ar Geogebra.

-Kopā ortoedronam ir 6 sejas, 12 malas un 8 virsotnes.

-Leņķis starp jebkurām divām malām ir taisns.

-Diadiarālais leņķis starp jebkurām divām sejām arī ir taisns.

-Katrā sejā ir četras virsotnes, un katrā virsotnē ir trīs savstarpēji taisnleņķa sejas.

Ortedronu formulas

Apgabals

Ortoedrona virsma vai laukums ir tā seju laukumu summa.

Ja trim malām, kas atrodas virsotnē, ir a, b un c izmēri, kā parādīts 3. attēlā, tad priekšējai virsmai ir laukums c⋅b, bet apakšējai virsmai ir arī laukums c⋅b.

Tad abām sānu sejām ir laukums ab eachb. Visbeidzot, grīdas un griestu virsmām ir katra zona.

3. attēls. A, b, c izmēru ortoedrons. Iekšējā diagonāle D un ārējā diagonāle d.

Visu seju laukuma pievienošana dod:

Kopīga faktora ņemšana un noteikumu pasūtīšana:

Apjoms

Ja ortoedrons tiek uzskatīts par prizmu, tad tā tilpumu aprēķina šādi:

Šajā gadījumā c un a dimensijas grīdu uzskata par taisnstūrveida pamatni, tāpēc pamatnes laukums ir c⋅a.

Augstumu norāda ar malu garumu b, kas ir perpendikulāras a un c sāniem.

Reizinot pamatnes laukumu (a⋅c) ar augstumu b, iegūst ortoedrona tilpumu V:

Iekšējā diagonāle

Ortopēdā ir divu veidu diagonāles: ārējās diagonāles un iekšējās diagonāles.

Ārējās diagonāles atrodas uz taisnstūrveida sejām, savukārt iekšējās diagonāles ir segmenti, kas savieno divas pretējas virsotnes, saprotot ar pretējām virsotnēm tām, kurām nav nevienas malas.

Ortopēdā ir četras iekšējās diagonāles, kurām visām ir vienāds izmērs. Iekšējo diagonāļu garumu var iegūt, piemērojot Pitagora teorēmu labajiem trijstūriem.

Ortoedrona grīdas virsmas ārējās diagonāles garums d atbilst Pitagora saistībai:

d ² = a ² + c ²

Līdzīgi mēra D iekšējā diagonāle piepilda Pitagora attiecības:

D ² = d ² + b ² .

Apvienojot divus iepriekšējos izteicienus, kas mums ir:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Visbeidzot, jebkura ortoedrona iekšējās diagonāles garumu aprēķina pēc šādas formulas:

D = √ (a ² + b ² + c ² ).

Piemēri

- 1. piemērs

Mūrnieks uzbūvē tvertni ortoedrona formā, kuras iekšējie izmēri ir: 6 mx 4 m pamatnē un 2 m augstumā. Tas jautā:

a) Nosakiet tvertnes iekšējo virsmu, ja tā augšpusē ir pilnībā atvērta.

b) Aprēķiniet tvertnes iekšējās telpas tilpumu.

c) Atrodiet iekšējās diagonāles garumu.

d) Kāda ir tvertnes tilpums litros?

Risinājums

Mēs ņemsim taisnstūra pamatnes izmērus a = 4 m un c = 6 m un augstumu kā b = 2 m

Ortoedrona laukumu ar norādītajiem izmēriem nosaka ar šādām attiecībām:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Proti:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = 2⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

Iepriekšējais rezultāts ir slēgtā ortoedrona laukums ar norādītajiem izmēriem, bet, tā kā tā ir tvertne, kas tās augšējā daļā ir pilnībā nesegta, lai iegūtu tvertnes iekšējo sienu virsmu, ir jāatskaita trūkstošā vāka laukums, kas ir:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Visbeidzot, tvertnes iekšējā virsma būs šāda: S = 88 m ² - 24 m ² = 64 m ² .

Risinājums b

Tvertnes iekšējo tilpumu norāda ortoedrona tilpums, kas atbilst tvertnes iekšējiem izmēriem:

V = a⋅b⋅c = 4 m ⋅ 2 m ⋅ 6 m = 48 m ³ .

Risinājums c

Oktaedra iekšējās diagonāles ar tvertnes iekšpuses izmēriem ir garums D, ko izsaka:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Mēs veicam norādītās operācijas:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = 2√ (14) m = 7,48 m.

Risinājums d

Lai aprēķinātu tvertnes tilpumu litros, jāzina, ka kubiskā decimetra tilpums ir vienāds ar litra tilpumu. Iepriekš tas tika aprēķināts tilpumā kubikmetros, bet tas jāpārveido kubikdecimetros un pēc tam litros:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4 800 dm ³ = 4 800 L

- 2. vingrinājums

Stikla akvārijam ir kubiska forma ar malu 25 cm. Nosaka laukumu m ² , tilpumu litros un iekšējās diagonāles garumu cm.

4. attēls. Kubiska formas stikla akvārijs.

Risinājums

Platību aprēķina, izmantojot to pašu ortoedrona formulu, bet ņemot vērā, ka visi izmēri ir identiski:

A = 2⋅ (3 a⋅a) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1 250 cm ²

Kubiņa tilpumu aprēķina ar:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

Iekšējās diagonāles garums D ir:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Atsauces

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Atgūts no: youtube.com.
2. Aprēķins.cc. Vingrinājumi un risinātās jomu un apjomu problēmas. Atgūts no: calculo.cc.
3. Salvadora R. Piramīda + ortoedrons ar GEOGEBRA (IHM). Atgūts no: youtube.com
4. Veisšteins, Ēriks. "Pareizticīgais". MathWorld. Wolfram Research.
5. Wikipedia. Pareizticīgais Atgūts no: es.wikipedia.com