PĀRPASAULĪGIE SKAITĻI: KAS TIE IR, FORMULAS, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par transcendentālas numuru , ir tie, kas nevar tikt iegūts, kā par rezultātā polinomu vienādojumu. Pretējs pārpasaulīgajam skaitlim ir algebrisks skaitlis, kas ir tipa polinoma vienādojuma risinājumi:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Kur koeficienti a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ ir racionāli skaitļi, ko sauc par polinoma koeficientiem. Ja skaitlis x ir iepriekšējā vienādojuma risinājums, tad šis skaitlis nav pārpasaulīgs.

1. attēls. Divi skaitļi, kuriem ir liela nozīme zinātnē, ir pārpasaulīgi skaitļi. Avots: publicdomainpictures.net.

Mēs analizēsim dažus skaitļus un redzēsim, vai tie ir pārpasaulīgi vai nē:

a) 3 nav pārpasaulīgs, jo tas ir x - 3 = 0 risinājums.

b) -2 nevar būt pārpasaulīgs, jo tas ir x + 2 = 0 risinājums.

c) ⅓ ir 3x - 1 = 0 šķīdums

d) Vienādojuma x ² - 2x + 1 = 0 risinājums ir √2 -1, tāpēc šis skaitlis pēc definīcijas nav pārpasaulīgs.

e) arī nav √2, jo tas ir vienādojuma x ² - 2 = 0 rezultāts. Sadalot √2, iegūst rezultātu 2, kas atņemts no 2, ir vienāds ar nulli. Tātad √2 ir neracionāls skaitlis, bet tas nav pārpasaulīgs.

Kas ir pārpasaulīgie skaitļi?

Problēma ir tā, ka nav vispārīgu noteikumu, kā tos iegūt (par to pateiksim vēlāk), taču daži no slavenākajiem ir skaitlis pi un Nepera skaitlis, attiecīgi apzīmēti ar: π un e.

Cipars π

Skaitlis π parādās dabiski, novērojot, ka matemātiskais koeficients starp apļa perimetru P un tā diametru D neatkarīgi no tā, vai tas ir mazs vai liels aplis, vienmēr dod to pašu skaitli, ko sauc par pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Tas nozīmē, ka, ja par mērvienību tiek ņemts apkārtmēra diametrs, visiem tiem, lieliem vai maziem, perimetrs vienmēr būs P = 3,14… = π, kā redzams 2. attēla animācijā.

2. attēls. Apļa perimetra garums ir pi reizināts ar diametra garumu, un pi ir aptuveni 3.1416.

Lai noteiktu vairāk decimāldaļas, ir jāpielāgo P un D ar lielāku precizitāti un pēc tam jāaprēķina koeficients, kas veikts matemātiski. Secinājums ir tāds, ka koeficienta decimāldaļām nav gala un tās nekad neatkārtojas, tāpēc skaitlis π papildus tam, ka ir pārpasaulīgs, ir arī neracionāls.

Neracionāls skaitlis ir skaitlis, ko nevar izteikt kā divu veselu skaitļu dalījumu.

Ir zināms, ka katrs pārpasaulīgais skaitlis ir iracionāls, bet nav taisnība, ka visi iracionālie skaitļi ir pārpasaulīgi. Piemēram, √2 ir neracionāls, bet tas nav pārpasaulīgs.

3. attēls. Pārpasaulīgie skaitļi ir neracionāli, bet otrādi - nav taisnība.

Cipars e

Pārpasaulīgais skaitlis e ir dabisko logaritmu bāze, un tā komata tuvinājums ir:

un ≈ 2.718281828459045235360….

Ja jūs gribētu precīzi uzrakstīt skaitli e, būs nepieciešams rakstīt bezgalīgas decimāldaļas, jo katrs pārpasaulīgais skaitlis ir neracionāls, kā teikts iepriekš.

Pirmos desmit ciparus e ir viegli atcerēties:

2,7 1828 1828, un, kaut arī šķiet, ka tas notiek pēc atkārtotas shēmas, tas netiek sasniegts ar decimālzīmēm, kas ir lielākas par deviņām.

Formāla e definīcija ir šāda:

Tas nozīmē, ka precīzu e vērtību iegūst, veicot šajā formulā norādīto darbību, kad naturālajam skaitlim n ir tendence uz bezgalību.

Tas izskaidro, kāpēc mēs varam iegūt tikai e tuvinājumus, jo neatkarīgi no tā, cik liels ir skaitlis n, vienmēr var atrast lielāku n.

Meklēsim dažus tuvinājumus patstāvīgi:

-Kad n = 100, tad (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, kas diez vai sakrīt pirmajā decimāldaļā ar e “patieso” vērtību.

-Ja izvēlaties n = 10 000, jums ir (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, kas sakrīt ar “precīzo” e vērtību pirmajās trīs zīmēs aiz komata.

Šis process būtu jāievēro bezgalīgi, lai iegūtu e “patieso” vērtību. Es nedomāju, ka mums ir laiks to darīt, bet izmēģināsim vēl vienu:

Izmantosim n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2 7182682372

Tam ir tikai četras zīmes aiz komata, kas atbilst vērtībai, ko uzskata par precīzu.

Svarīgi ir saprast, ka jo augstāka n vērtība, kas izvēlēta, lai aprēķinātu e _n , jo tuvāk tai būs patiesā vērtība. Bet šī patiesā vērtība būs tikai tad, ja n ir bezgalīgs.

4. attēls. Grafiski parādīts, kā augstāka n vērtība, jo tuvāk e, bet, lai iegūtu precīzu n vērtību, jābūt bezgalīgai.

Citi svarīgi skaitļi

Papildus šiem slavenajiem numuriem ir arī citi pārpasaulīgi numuri, piemēram:

- 2 ^√2

-Šampernoņa numurs 10. bāzē:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Šampernoņa numurs 2. bāzē:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Gama skaitļa γ vai Eulera-Mašeroni konstante:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Ko iegūst, veicot šādu aprēķinu:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Kad n ir ļoti liels. Lai iegūtu precīzu Gamma skaitļa vērtību, aprēķins būtu jāveic ar n bezgalību. Kaut kas līdzīgs tam, ko mēs izdarījām iepriekš.

Un ir vēl daudz pārpasaulīgu skaitļu. Lielais matemātiķis Georgs Kantors, dzimis Krievijā un dzīvojis no 1845. līdz 1918. gadam, parādīja, ka pārpasaulīgo skaitļu kopa ir daudz lielāka nekā algebrisko skaitļu kopa.

Formulas, kur parādās pārpasaulīgais skaitlis π

Apkārtmēra perimetrs

P = π D = 2 π R, kur P ir perimetrs, D ir diametrs un R ir apkārtmēra rādiuss. Jāatceras, ka:

- apkārtmēra diametrs ir garākais segments, kas savieno divus tā paša punkta punktus un vienmēr iet caur tā centru,

-Rādiuss ir puse no diametra, un tas ir segments, kas iet no centra uz malu.

Apļa laukums

A = π R ² = ¼ π D ²

Sfēras virsma

S = 4 π R ^2.

Jā, kaut arī tas var nešķist, lodes virsma ir tāda pati kā četriem apļiem, kuru rādiuss ir tāds pats kā lodei.

Sfēras tilpums

V = 4/3 π R ³

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Picērijā “EXÓTICA” tiek pārdotas trīs diametru picas: mazas 30 cm, vidējas 37 cm un lielas 45 cm. Zēns ir ļoti izsalcis, un viņš saprata, ka divas mazas picas maksā tāpat kā viena lielā. Kas viņam būs labāk, ja nopirks divas mazas picas vai vienu lielu?

5. attēls. Picas laukums ir proporcionāls rādiusa kvadrātam, pi ir proporcionalitātes konstante. Avots: Pixabay.

Risinājums

Jo lielāka ir platība, jo lielāks ir picas daudzums, šī iemesla dēļ tiek aprēķināta lielās picas platība un salīdzināta ar divu mazu picu platību:

Lielās picas laukums = ¼ π D ² = ¼ ⋅3,1416⋅45 ² = 1590,44 cm ²

Mazās picas laukums = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Tāpēc divu mazu picu laukums būs

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Ir skaidrs: jums būs vairāk picu, kas nopirks vienu lielu, nevis divas mazas.

- 2. vingrinājums

Picērijā “EXÓTICA” tiek pārdota arī puslodes formas pica ar rādiusu 30 cm par tādu pašu cenu kā taisnstūrveida picai, kuras izmērs ir 30 x 40 cm katrā pusē. Kuru jūs izvēlētos?

6. attēls. Puslodes virsma ir divreiz lielāka par pamatnes apļveida virsmu. Avots: F. Zapata.

Risinājums

Kā minēts iepriekšējā sadaļā, lodes virsma ir četras reizes lielāka par tāda paša diametra apļa virsmu, tāpēc puslodei, kuras diametrs ir 30 cm, būs:

30 cm puslodes pica: 1413,72 cm ² (divreiz tāda paša diametra apļveida)

Taisnstūra pica: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Puslodes picai ir lielāka platība.

Atsauces

1. Fernández J. Skaitlis e. Izcelsme un zinātkāres vietas. Atgūts no: soymatematicas.com
2. Izbaudi matemātiku. Eulera numurs. Atgūts no: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matemātika 1.sēr. Daudzveidīgs. CO-BO izdevumi.
4. Garsija, M. Skaitlis e elementārajā aprēķinā. Atgūts no: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Wikipedia. PI numurs. Atgūts no: wikipedia.com
6. Wikipedia. Pārpasaulīgie skaitļi. Atgūts no: wikipedia.com