RACIONĀLIE SKAITĻI: ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI UN DARBĪBAS - MATEMĀTIKA - 2025

Par racionāli skaitļi ir visi skaitļi var iegūt kā sadalījumam divu veselu skaitļu. Racionālu skaitļu piemēri ir: 3/4, 8/5, -16/3 un tie, kas parādīti nākamajā attēlā. Racionālā skaitā tiek norādīts koeficients, kuru vajadzības gadījumā var izdarīt vēlāk.

Skaitlis attēlo jebkuru apaļu priekšmetu, lai nodrošinātu lielāku komfortu. Ja mēs vēlamies to sadalīt 2 vienādās daļās, tāpat kā labajā pusē, mums ir palikušas divas puses, un katra no tām ir 1/2 vērts.

1. attēls. Racionālos skaitļus izmanto, lai veselumu sadalītu vairākās daļās. Avots: Freesvg.

Sadalot to 4 vienādās daļās, mēs iegūsim 4 gabalus, un katrs ir vērts 1/4, tāpat kā attēlā centrā. Un, ja tas ir jāsadala 6 vienādās daļās, katra daļa būtu 1/6 vērta, ko mēs redzam attēlā pa kreisi.

Protams, mēs to varētu sadalīt arī divās nevienādās daļās, piemēram, mēs varētu paturēt 3/4 daļas un ietaupīt 1/4 daļas. Ir iespējamas arī citas dalīšanas, piemēram, 4/6 daļas un 2/6 daļas. Svarīgi ir tas, ka visu daļu summa ir 1.

Tādā veidā ir redzams, ka ar racionāliem skaitļiem jūs varat sadalīt, saskaitīt un sadalīt tādas lietas kā pārtika, nauda, ​​zeme un visu veidu objekti frakcijās. Tātad operāciju skaits, ko var veikt ar skaitļiem, tiek paplašināts.

Racionālos skaitļus var izteikt arī decimālā formā, kā redzams šādos piemēros:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333 …

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Vēlāk mēs ar piemēriem norādīsim, kā pāriet no vienas formas uz otru.

Racionālu skaitļu īpašības

Racionālajiem numuriem, kuru kopu mēs apzīmēsim ar burtu Q, ir šādas īpašības:

-Q ietver naturālos skaitļus N un veselus skaitļus Z.

Ņemot vērā, ka jebkuru skaitli a var izteikt kā koeficientu starp sevi un 1, ir viegli redzēt, ka starp racionālajiem skaitļiem ir arī naturālie skaitļi un veseli skaitļi.

Tādējādi dabisko skaitli 3 var uzrakstīt kā frakciju, un arī -5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Tādā veidā Q ir ciparu kopa, kas ietver lielāku skaitļu skaitu, kas ir ļoti nepieciešams, jo ar “apaļajiem” skaitļiem nepietiek, lai aprakstītu visas iespējamās veicamās operācijas.

-Racionālos skaitļus var saskaitīt, atņemt, reizināt un dalīt, operācijas rezultātā iegūstot racionālu skaitli: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

- Starp katru racionālo skaitļu pāri vienmēr var atrast citu racionālu numuru. Faktiski starp diviem racionāliem skaitļiem ir bezgalīgi racionālie skaitļi.

Piemēram, starp koeficientiem 1/4 un 1/2 ir racionāli 3/10, 7/20, 2/5 (un daudzi citi), ko var pārbaudīt, izteikjot tos kā decimāldaļas.

- Jebkuru racionālu skaitli var izteikt šādi: i) vesels skaitlis vai ii) ierobežots (stingri) vai periodisks decimālskaitlis: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,1666666 ……

- To pašu skaitli var attēlot ar bezgalīgām ekvivalentām frakcijām, un visas tās pieder Q. Apskatīsim šo grupu:

Tie visi apzīmē aiz komata 0.428571 …

-No visām līdzvērtīgajām frakcijām, kas apzīmē vienu un to pašu skaitli, nesavienojama frakcija, kas ir vienkāršākā no visām, ir šī skaitļa kanoniskais pārstāvis. Iepriekš minētā piemēra kanoniskais pārstāvis ir 3/7.

2. attēls. Racionālo skaitļu kopa Q. Avots: Wikimedia Commons. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Racionālu skaitļu piemēri

-Pareizas frakcijas, kurās skaitītājs ir mazāks par saucēju:

-Pareizas frakcijas, kuru skaitītājs ir lielāks par saucēju:

-Dabīgie skaitļi un veseli skaitļi:

- līdzvērtīgas frakcijas:

Racionāla skaitļa decimālā attēlojums

Kad skaitītājs tiek dalīts ar saucēju, tiek atrasta racionāla skaitļa decimālā forma. Piemēram:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,111111…

11/11 = 0,545454…

Pirmajos divos piemēros decimālo zīmju skaits ir ierobežots. Tas nozīmē, ka, sadalot, tiek iegūts 0 atlikums.

No otras puses, nākamajos divos decimālo zīmju skaits ir bezgalīgs, un tāpēc elipses tiek novietotas. Pēdējā gadījumā decimāldaļās ir modelis. Frakcijas 1/9 gadījumā skaitli 1 atkārto uz nenoteiktu laiku, savukārt 6/11 tas ir 54.

Kad tas notiek, decimāldaļas tiek uzskatītas par periodiskām, un tās tiek apzīmētas ar caret šādi:

Decimāldaļu pārveidojiet par daļu no komata

Ja tas ir ierobežots decimāldaļa, komats tiek vienkārši izslēgts, un saucējs kļūst par vienību, kurai seko tik daudz nulle, cik ir decimāldaļas. Piemēram, lai pārveidotu decimāldaļu 1,26 daļās, ierakstiet to šādi:

1,26 = 126/100

Tad iegūtā frakcija tiek maksimāli vienkāršota:

126/100 = 63/50

Ja decimālais skaitlis nav ierobežots, vispirms tiek identificēts periods. Pēc tam tiek veiktas šīs darbības, lai atrastu iegūto frakciju:

-Skaitītājs ir atņemšana starp skaitli (bez komata vai caret) un daļu, kurai nav caret.

-Saucējs ir vesels skaitlis, kurā ir tik daudz 9, cik ir ap skaitļiem, kas ir ar apkārtmēru, un tikpat daudz, cik 0 ir skaitļi aiz komata, kas neatrodas apkārt.

Izpildīsim šo procedūru, lai decimālo skaitli 0.428428428… pārveidotu frakcijā.

-Pirmkārt, tiek identificēts periods, ko atkārto secība: 428.

-Tad tiek veikta cipara atņemšanas operācija bez komata vai akcenta: 0428 no tās daļas, kurai nav aploces, kas ir 0. Tādējādi tas ir 428 - 0 = 428.

-Saucējs ir izveidots, zinot, ka zem circumflex ir 3 skaitļi un visi atrodas zem Circflex. Tāpēc saucējs ir 999.

-Galīgi frakcija tiek veidota un, ja iespējams, vienkāršota:

0,428 = 428/999

Vairāk vienkāršot nav iespējams.

Darbības ar racionāliem skaitļiem

- saskaitīt un atņemt

Frakcijas ar vienu un to pašu saucēju

Ja frakcijām ir tas pats saucējs, tās pievienot un / vai atņemt ir ļoti viegli, jo skaitītāji tiek vienkārši pievienoti algebriski, atstājot tos pašus, kas pievienoti kā rezultāta saucējs. Visbeidzot, ja iespējams, tas tiek vienkāršots.

Piemērs

Veiciet šo algebrisko papildinājumu un vienkāršojiet rezultātu:

Iegūtā frakcija jau ir nesadalāma.

Frakcijas ar dažādiem saucējiem

Šajā gadījumā papildinājumus aizstāj ar līdzvērtīgām frakcijām ar to pašu saucēju, un tad tiek ievērota jau aprakstītā procedūra.

Piemērs

Algebriski pievienojiet šādus racionālos skaitļus, vienkāršojot rezultātu:

Darbības ir šādas:

-Nosaka visizplatītāko reizinātāju (lcm) no saucējiem 5, 8 un 3:

lcm (5,8,3) = 120

Tas būs iegūtās frakcijas saucējs, vienkāršojot.

-Par katru frakciju: sadaliet LCM ar saucēju un reiziniet ar skaitītāju. Šīs operācijas rezultāts ar attiecīgu zīmi tiek ievietots frakcijas skaitītājā. Šādā veidā iegūst frakciju, kas ekvivalenta oriģinālam, bet ar saucēju ir LCM.

Piemēram, pirmajai daļai skaitītājs ir izveidots šādi: (120/5) x 4 = 96, un mēs iegūstam:

Rīkojieties tāpat kā atlikušās frakcijas:

Visbeidzot, ekvivalentās frakcijas tiek aizstātas, neaizmirstot to apzīmējumu, un tiek aprēķināta skaitītāju algebriskā summa:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11/12

- Reizināšana un dalīšana

Reizināšana un dalīšana tiek veikta, ievērojot zemāk parādītos noteikumus:

3. attēls. Racionālo skaitļu reizināšanas un dalīšanas noteikumi. Avots: F. Zapata.

Jebkurā gadījumā ir svarīgi atcerēties, ka reizināšana ir komutējoša, kas nozīmē, ka faktoru secība nemaina produktu. Tas nenotiek ar dalīšanu, tāpēc ir jāuzmanās, lai tiktu ievērota kārtība starp dividendēm un dalītājiem.

1. piemērs

Veiciet šādas darbības un vienkāršojiet rezultātu:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4 / 5) ÷ (2/9)

Atbilde uz

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Atbilde b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

2. piemērs

Luisai bija 45 USD. Desmito daļu no tā iztērēja, iegādājoties grāmatu, un 2/5 no tā, kas bija palicis uz krekla. Cik naudas Luisai ir palicis? Rezultātu izsaka kā nesadalāmu frakciju.

Risinājums

Grāmatas izmaksas (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Tāpēc Luisa palika:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Ar šo naudu Luisa devās uz apģērbu veikalu un nopirka kreklu, kura cena ir:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Tagad Luisa ir savā portfolio:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Lai to izteiktu kā daļu, tas ir rakstīts šādi:

24,3 = 243/10

Tas ir nesamazināms.

Atsauces

1. Baldor, A. 1986. Aritmētika. Izdevumu un izplatīšanas kodekss.
2. Kerna, M. 2019. Matemātikas rokasgrāmata. Litoralas Nacionālā universitāte.
3. Figuera, J. 2000. Matemātika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
5. Racionālie skaitļi. Atgūts no: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionālie skaitļi. Atgūts no: webdelprofesor.ula.ve.