GALVENIE SKAITĻI: RAKSTURLIELUMI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par prime skaitu , ko sauc arī par prime absolūtu, ir tie dabas numurus, kas ir tikai jādalās ar sevi un 1. Šī kategorija numuri, piemēram, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 un vairāk plus.

Tā vietā saliktais skaitlis ir dalīts pats ar 1 un vismaz vēl viens skaitlis. Piemēram, mums ir 12, kas dalās ar 1, 2, 4, 6 un 12. Pēc vienošanās 1 nav iekļauts sākotnējo skaitļu sarakstā vai savienojumu sarakstā.

1. attēls. Daži sākotnējie skaitļi. Avots: Wikimedia Commons.

Primāro skaitļu zināšanas meklējamas jau senatnē; senie ēģiptieši tos jau izmantoja, un viņi, protams, bija pazīstami jau sen.

Šie skaitļi ir ļoti svarīgi, jo jebkuru naturālo skaitli var attēlot ar sākotnējo skaitļu reizinājumu, šis attēlojums ir unikāls, izņemot faktoru secībā.

Šis fakts ir pilnībā noteikts teorēmā, ko sauc par pamata aritmētikas teorēmu, kurā teikts, ka skaitļi, kas nav primāri, obligāti sastāv no skaitļu reizinājumiem, kuri ir.

Primāro skaitļu raksturojums

Šeit ir galvenie skaitļu raksturlielumi:

-Tie ir bezgalīgi, jo neatkarīgi no tā, cik liels ir primārais skaitlis, jūs vienmēr varat atrast lielāku.

-Ja sākotnējais skaitlis p precīzi nedalās ar citu skaitli a, tad tiek teikts, ka p un a ir viens pret otru. Kad tas notiek, vienīgais kopējais dalītājs, kas abiem ir, ir 1.

Nav nepieciešams, lai a būtu absolūts galvenais. Piemēram, 5 ir galvenais, un, kaut arī 12 nav, abi skaitļi ir viens pret otru, jo abiem ir 1 kā kopīgs dalītājs.

-Kad pirmskaitlis p dalās ar skaitļa n jaudu, tas arī sadala n. Apsvērsim 100, kas ir jauda 10, konkrēti 10 ² . Gadās, ka 2 dala gan 100, gan 10.

-Visi primārie skaitļi ir nepāra, izņemot 2, tāpēc tā pēdējais cipars ir 1, 3, 7 vai 9. 5 nav iekļauts, jo, kaut arī tas ir nepāra un galvenais, tas nekad nav cita cipara pēdējais skaitlis. Faktiski visi skaitļi, kas beidzas ar 5, ir šī daudzkārtne, un tāpēc tie nav galvenie.

-Ja p ir divu skaitļu ab reizinājums un dalītājs, tad p sadala vienu no tiem. Piemēram, sākotnējais skaitlis 3 dalās ar rezultātu 9 x 11 = 99, jo 3 ir dalītājs ar 9.

Kā zināt, vai skaitlis ir galvenais

Primalitāte ir nosaukums, kas tiek piešķirts tam, ka tiek uzskatīts par galveno. Franču matemātiķis Pjērs de Fermats (1601-1665) atrada veidu, kā pārbaudīt skaitļa sākotnējo vērtību tā sauktajā mazajā Fermat teorēmā, kurā teikts:

"Ņemot vērā dabisko skaitli p un jebkuru naturālo skaitli, kas lielāks par 0, ir taisnība, ka ^p - a ir p reizinājums, ja vien p ir primārais".

Mēs to varam apstiprināt, izmantojot mazus skaitļus, piemēram, pieņemsim, ka p = 4, kas mums jau ir zināms, nav galvenais un jau = 6:

6 ⁴ - 6 = 1296 - 6 = 1290

Skaitlis 1290 nav precīzi dalāms ar 4, tāpēc 4 nav cipars.

Tagad veiksim pārbaudi ar p = 5, kas ir galvenā un ya = 6:

6 ⁵ - 6 = 7766 - 6 = 7760

7760 ir dalāms ar 5, jo jebkurš skaitlis, kas beidzas ar 0 vai 5, ir. Faktiski 7760/5 = 1554. Tā kā Fermata mazā teorēma pastāv, mēs varam nodrošināt, ka 5 ir sākotnējais skaitlis.

Pierādījums caur teorēmu ir efektīvs un tiešs ar maziem skaitļiem, kuros operāciju ir viegli veikt, bet ko darīt, ja mums tiek lūgts noskaidrot liela skaitļa sākotnējo vērtību?

Tādā gadījumā skaitlis tiek secīgi sadalīts starp visiem mazākajiem sākotnējiem skaitļiem, līdz tiek atrasts precīzs dalījums vai koeficients ir mazāks par dalītāju.

Ja kāds dalījums ir precīzs, tas nozīmē, ka skaitlis ir salikts, un, ja koeficients ir mazāks par dalītāju, tas nozīmē, ka skaitlis ir galvenais. Mēs to ieviesīsim atrisinātajā 2. vingrinājumā.

Veidi, kā atrast galveno numuru

Ir bezgalīgi sākotnējie skaitļi, un nav vienas formulas, lai tos noteiktu. Tomēr, aplūkojot dažus šādus sākotnējos skaitļus:

3, 7, 31, 127 …

Tiek novērots, ka to forma ir 2 ⁿ - 1, ar n = 2, 3, 5, 7, 9 … Mēs par to pārliecināmies:

2 ² - 1 = 4 - 1 = 3 ; 2 ³ - 1 = 8 - 1 = 7 ; 2 ⁵ - 1 = 32 - 1 = 31 ; 2 ⁷ - 1 = 128 - 1 = 127

Bet mēs nevaram nodrošināt, ka kopumā 2 ⁿ - 1 ir galvenais, jo ir dažas n vērtības, kurām tas nedarbojas, piemēram, 4:

2 ⁴ - 1 = 16 - 1 = 15

Un skaitlis 15 nav prime, jo tas beidzas ar 5. Tomēr viens no lielākajiem zināmajiem PRIM, kas atrasts, izmantojot datoru aprēķinus, ir 2 ⁿ - 1 formā ar:

n = 57 885 161

Mersenne formula mums pārliecina, ka 2 ^p - 1 vienmēr ir primāts, ja vien p ir arī prime. Piemēram, 31 ir galvenā, tāpēc ir skaidrs, ka arī 2 ³¹ - 1 ir galvenā :

2 ³¹ - 1 = 2 147 483 647

Tomēr formula ļauj noteikt tikai dažus sākotnējos skaitļus, nevis visus.

Eulera formula

Šis polinoms ļauj atrast sākotnējos skaitļus ar nosacījumu, ka n ir no 0 līdz 39:

P (n) = n ² + n + 41

Vēlāk atrisināto vingrinājumu sadaļā ir tās izmantošanas piemērs.

Eratosthenes siets

Eratosthenes bija fiziķis un matemātiķis no Senās Grieķijas, kurš dzīvoja 3. gadsimtā pirms mūsu ēras.Viņš izdomāja grafisko metodi, kā atrast galvenos skaitļus, kurus mēs varam ieviest praksē ar maziem skaitļiem, to sauc par Eratosthenes sietu (siets ir kā siets).

-Cipari tiek ievietoti tabulā tāpat kā animācijā parādītā.

-Pāra skaitļi tiek izsvītroti, izņemot 2, kuri, kā mēs zinām, ir galvenie. Visi pārējie ir daudzkārtīgi, un tāpēc tie nav galvenie.

-Atzīmēti arī 3, 5, 7 un 11 reizinātāji, izslēdzot tos visus, jo mēs zinām, ka tie ir galvenie.

- 4, 6, 8, 9 un 10 reizinātāji jau ir atzīmēti, jo tie ir salikti un tāpēc dažu no norādītajiem PRIMES reizinājumi.

-Visbeidzot, skaitļi, kas paliek neatzīmēti, ir galvenie.

2. attēls. Eratosthenes sieta animācija. Avots: Wikimedia Commons.

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Izmantojot Eilera polinomu primārajiem skaitļiem, atrodiet 3 skaitļus, kas lielāki par 100.

Risinājums

Tas ir polinoms, kuru Eulers ierosināja atrast sākotnējos skaitļus, kas darbojas ar vērtībām n no 0 līdz 39.

P (n) = n ² + n + 41

Izmantojot izmēģinājumu un kļūdu, mēs izvēlamies vērtību n, piemēram, n = 8:

P (8) = 8 ² + 8 + 41 = 113

Tā kā n = 8 rada sākotnējo skaitli, kas lielāks par 100, tad mēs novērtējam polinomu n = 9 un n = 10:

P (9) = 9 ² + 9 + 41 = 131

P (10) = 10 ² + 10 + 41 = 151

- 2. vingrinājums

Uzziniet, vai šie skaitļi ir galvenie:

a) 13

b) 191. gads

Risinājums

13 ir pietiekami mazs, lai izmantotu Fermata mazo teorēmu un kalkulatora palīdzību.

Mēs izmantojam a = 2, lai skaitļi nebūtu pārāk lieli, lai gan var izmantot arī a = 3, 4 vai 5:

2 ¹³ - 2 = 8190

8190 ir dalāms ar 2, jo tas ir vienmērīgs, tāpēc 13 ir galvenais. Lasītājs to var apstiprināt, veicot to pašu testu ar a = 3.

Risinājums b

191 ir pārāk liels, lai pierādītu ar teorēmu un kopēju kalkulatoru, taču mēs varam atrast dalījumu starp katru galveno skaitli. Mēs izlaižam dalīšanu ar 2, jo 191 nav vienmērīgs un dalījums nebūs precīzs vai koeficients ir mazāks par 2.

Mēs cenšamies dalīt ar 3:

191/3 = 63 666 …

Un tas nesniedz precīzu, ne arī koeficients ir mazāks par dalītāju (63,666… ir lielāks par 3)

Mēs turpinām tādējādi mēģināt sadalīt 191. skaitli starp 5., 7., 11., 13. augšdaļu, un netiek sasniegts precīzs dalījums, kā arī koeficients, kas mazāks par dalītāju. Kamēr tas nav dalīts ar 17:

191/17 = 11, 2352 …

Tā kā tas nav precīzi un 11,2352… ir mazāks par 17, skaitlis 191 ir galvenais.

Atsauces

1. Baldor, A. 1986. Aritmētika. Izdevumu un izplatīšanas kodekss.
2. Prieto, C. Galvenie skaitļi. Atgūts no: paginas.matem.unam.mx.
3. Primāro skaitļu īpašības. Atgūts no: mae.ufl.edu.
4. Smartick. Galvenie skaitļi: kā tos atrast ar Eratosthenes sietu. Atgūts no: smartick.es.
5. Wikipedia. Galvenais skaitlis. Atgūts no: es.wikipedia.org.