- Neracionālu skaitļu vēsture
- Neracionālu skaitļu īpašības
- Neracionāla skaitļa atrašanās vieta reālajā līnijā
- Neracionālu skaitļu klasifikācija
- Algebriskie skaitļi
- Pārpasaulīgie skaitļi
- Vingrinājums
- Atbildi
- Atsauces
Par iracionāli skaitļi ir tie, kuru izpausme ir bezgalīgas decimāldaļas skaitļi bez atkārtojot modelis, tādēļ nevar tikt iegūta no attiecību starp jebkuriem diviem veseliem skaitļiem.
Starp pazīstamākajiem neracionālajiem numuriem pieder:
1. attēls. No augšas uz leju šādi neracionāli skaitļi: pi, Eulera skaitlis, zelta attiecība un divas kvadrātsaknes. Avots: Pixabay.
Starp tiem, bez šaubām, visvairāk pazīstams ir π (pi), bet ir vēl daudz vairāk. Viņi visi pieder pie reālo skaitļu kopas, kas ir skaitļu kopa, kas sagrupē racionālus un neracionālus skaitļus.
Elipses 1. attēlā norāda, ka decimāldaļas turpina darboties bezgalīgi, bet parasto kalkulatoru atstarpe ļauj parādīt tikai dažus.
Ja mēs uzmanīgi skatāmies, ikreiz, kad mēs veidojam koeficientu starp diviem veseliem skaitļiem, tiek iegūta decimāldaļa ar ierobežotiem cipariem vai, ja nē, ar bezgalīgiem cipariem, kuros viens vai vairāki atkārtojas. Nu, tas nenotiek ar neracionāliem skaitļiem.
Neracionālu skaitļu vēsture
Lielais senais matemātiķis Pitagors, dzimis 582. gadā pirms mūsu ēras Samosā, Grieķijā, nodibināja Pitagora domas skolu un atklāja slaveno teorēmu, kas nes viņa vārdu. Mums tas atrodas šeit, kreisajā pusē (babilonieši to varēja zināt jau sen).
2. attēls. Pitagora teorēma, kas piemērota trijstūrim ar malām, kas ir vienāda ar 1. Avots: Pixabay / Wikimedia Commons.
Kad Pitagors (vai, iespējams, viņa māceklis) pielietoja teorēmu taisnajam trīsstūrim, kura malas ir vienādas ar 1, viņš atrada neracionālu skaitli √2.
Viņš to izdarīja šādi:
c = √1 2 + 1 2 = √1 + 1 = √2
Un uzreiz viņš saprata, ka šis jaunais cipars nav iegūts no koeficienta starp diviem citiem naturālajiem skaitļiem, kas tajā laikā bija zināmi.
Tāpēc viņš to sauca par neracionālu, un atklājums pitagoriešu vidū izraisīja lielu satraukumu un apjukumu.
Neracionālu skaitļu īpašības
-The kopums visu neracionālu numurus tiek apzīmēts ar burtu I un dažreiz kā Q * vai Q C . Savienojums starp neracionāliem skaitļiem I vai Q * un racionālajiem skaitļiem Q rada reālo skaitļu kopu R.
-Ar neracionāliem skaitļiem var veikt zināmās aritmētiskās operācijas: saskaitīšanu, atņemšanu, reizināšanu, dalīšanu, iespēju piešķiršanu un daudz ko citu.
- Arī neracionālie skaitļi nav dalīti ar 0.
-Summa un reizinājums starp neracionāliem skaitļiem nebūt nav cits iracionāls skaitlis. Piemēram:
√2 x √8 = √16 = 4
Un 4 nav iracionāls skaitlis.
-Racionālā skaitļa un neracionālā skaitļa summa tomēr dod iracionālu rezultātu. Pa šo ceļu:
1 + √2 = 2,41421356237…
-Racionāls ir arī racionālā skaitļa reizinājums, kas atšķiras no 0 ar neracionālu skaitli. Apskatīsim šo piemēru:
2 x √2 = 2,828427125…
-Neracionāli apgriezts iegūst citu iracionālu skaitli. Mēģināsim dažus:
1 / √2 = 0,707106781…
1 / √3 = 0,577350269…
Šie skaitļi ir interesanti, jo tie ir arī zināmu leņķu trigonometrisko attiecību vērtības. Lielākā daļa trigonometrisko attiecību ir neracionāli skaitļi, taču ir arī izņēmumi, piemēram, grēks 30º = 0,5 = ½, kas ir racionāli.
-Kopumā tiek izpildītas komutācijas un asociatīvās īpašības. Ja a un b ir divi neracionāli skaitļi, tas nozīmē, ka:
a + b = b + a.
Un, ja c ir cits neracionāls skaitlis, tad:
(a + b) + c = a + (b + c).
- Pareizināšanas reizināšanas īpašība attiecībā pret saskaitīšanu ir vēl viena labi zināma īpašība, kas attiecas arī uz neracionāliem skaitļiem. Šajā gadījumā:
a. (b + c) = ab + ac
-Neracionālai a ir pretēja: -a. Ja tos saskaita, rezultāts ir 0:
a + (- a) = 0
-Starp diviem dažādiem racionāļiem ir vismaz viens iracionāls skaitlis.
Neracionāla skaitļa atrašanās vieta reālajā līnijā
Patiesā līnija ir horizontāla līnija, kurā atrodas reālie skaitļi, no kuriem iracionālie skaitļi ir svarīga daļa.
Lai atrastu neracionālu skaitli uz reālās līnijas ģeometriskā formā, mēs varam izmantot Pitagora teorēmu, lineālu un kompasu.
Kā piemēru mēs atradīsim √5 uz reālās līnijas, kurai mēs uzzīmējam taisnu trīsstūri ar malām x = 2 un y = 1, kā parādīts attēlā:
3. attēls. Metode neracionāla skaitļa atrašanai uz reālās līnijas. Avots: F. Zapata.
Pēc Pitagora teorēmas šāda trīsstūra hipotenūza ir:
c = √2 2 + 1 2 = √4 + 1 = √5
Tagad kompass ir novietots ar punktu 0, kur ir arī viena no labā trīsstūra virsotnēm. Kompasa zīmuļa punktam jābūt A virsotnē.
Tiek novilkta apkārtmēra loka, kas griežas līdz reālajai līnijai. Tā kā attālums starp apkārtmēra centru un jebkuru punktu uz tā ir rādiuss, kas ir vienāds ar √5, krustošanās punkts ir arī tālu √5 no centra.
No grafika redzams, ka √5 ir no 2 līdz 2,5. Kalkulators dod mums aptuveno vērtību:
√5 = 2,2236068
Un tā, veidojot trīsstūri ar atbilstošām malām, var atrasties citi neracionāli, piemēram, √7 un citi.
Neracionālu skaitļu klasifikācija
Neracionālos skaitļus iedala divās grupās:
-Algebriski
-Pārpasaulīgs vai pārpasaulīgs
Algebriskie skaitļi
Algebriski skaitļi, kas var būt iracionāli vai nebūt, ir polinoma vienādojumu risinājumi, kuru vispārējā forma ir:
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…. + a 1 x + a o = 0
Polinomu vienādojuma piemērs ir šāds kvadrātvienādojums:
x 3 - 2x = 0
Ir viegli parādīt, ka iracionālais skaitlis √2 ir viens no šī vienādojuma risinājumiem.
Pārpasaulīgie skaitļi
No otras puses, lai arī pārpasaulīgie skaitļi ir neracionāli, tie nekad nerodas kā polinomu vienādojuma risinājums.
Transcendentie skaitļi, kas visbiežāk sastopami lietišķajā matemātikā, ir π, ņemot vērā tā saistību ar apkārtmēru un skaitli e jeb Eulera skaitli, kas ir dabisko logaritmu pamats.
Vingrinājums
Pelēks kvadrāts ir novietots uz melna kvadrāta attēlā norādītajā vietā. Ir zināms, ka melnā kvadrāta platība ir 64 cm 2 . Cik daudz ir abu kvadrātu garumi?
Divi kvadrāti, no kuriem mēs vēlamies atrast malu garumu. Avots: F. Zapata.
Atbildi
Kvadrāta ar sānu L platība ir:
A = L 2
Tā kā melnā kvadrāta platība ir 64 cm 2 , tā malai jābūt 8 cm.
Šis mērījums ir tāds pats kā pelēkā kvadrāta diagonāle. Izmantojot šo diagonāli Pitagora teorēmu un atceroties, ka kvadrāta malas ir vienādas, mums būs:
8 2 = L g 2 + L g 2
Kur L g ir pelēkā kvadrāta puse.
Tāpēc: 2L g 2 = 8 2
Kvadrātsaknes piemērošana abām vienlīdzības pusēm:
L g = (8 / √2) cm
Atsauces
- Kerna, M. 2019. Pirmsuniversitātes matemātikas rokasgrāmata. Litoralas Nacionālā universitāte.
- Figuera, J. 2000. Matemātika 9.kl. Grāds. CO-BO izdevumi.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
- Izglītības portāls. Neracionāli skaitļi un to īpašības. Atgūts no: portaleducativo.net.
- Wikipedia. Neracionāli skaitļi. Atgūts no: es.wikipedia.org.