SALIKTIE SKAITĻI: RAKSTURLIELUMI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par savienojumi skaitļi ir tie veseli skaitļi, kas ir vairāk nekā divas sadalītāju. Ja paskatāmies tuvāk, visi skaitļi ir vismaz precīzi dalāmi ar vienu un vienu. Tie, kuriem ir tikai šie divi dalītāji, tiek saukti par primiem, un tie, kuriem ir vairāk, ir salikti.

Apskatīsim skaitli 2, ko var dalīt tikai starp 1 un 2. Skaitlim 3 ir arī divi dalītāji: 1 un 3. Tāpēc tie abi ir galvenie. Tagad apskatīsim skaitli 12, kuru mēs varam precīzi dalīt ar 2, 3, 4, 6 un 12. Ar 5 dalītājiem 12 ir salikts skaitlis.

1. attēls. Sākotnējos skaitļus zilā krāsā var attēlot tikai ar vienu punktu rindu, nevis saliktiem cipariem sarkanā krāsā. Avots: Wikimedia Commons.

Un kas notiek ar numuru 1, kas sadala visus pārējos? Nu, tas nav galvenais, jo tam nav divu dalītāju un tas nav salikts, tāpēc 1 neietilpst nevienā no šīm divām kategorijām. Bet ir daudz, daudz vairāk numuru.

Saliktos skaitļus var izteikt kā sākotnējo skaitļu reizinājumu, un šis produkts, izņemot koeficientu secību, katram skaitlim ir unikāls. To nodrošina aritmētikas pamatteorema, kuru pierādījis grieķu matemātiķis Eiklids (325-365 BC).

Atgriezīsimies pie 12. numura, ko mēs varam izteikt dažādos veidos. Mēģināsim dažus:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Formas, kas izceltas treknrakstā, ir sākotnējo skaitļu produkti, un vienīgais, kas mainās, ir faktoru secība, kas, kā mēs zinām, nemaina produktu. Pārējās formas, kaut arī ir derīgas 12 izteikšanai, nesatur tikai primes.

Salikto skaitļu piemēri

Ja mēs vēlamies sadalīt salikto skaitli tā sākotnējos koeficientos, mums tas jāsadala starp sākotnējiem skaitļiem tādā veidā, lai dalījums būtu precīzs, tas ir, atlikušais ir 0.

Šo procedūru sauc par galveno faktorizāciju vai kanonisko sadalīšanos. Galvenos faktorus var palielināt līdz pozitīviem eksponentiem.

Mēs sadalīsim skaitli 570, atzīmējot, ka tas ir vienmērīgs un tāpēc dalāms ar 2, kas ir sākotnējais skaitlis.

Mēs izmantosim joslu, lai nodalītu numuru kreisajā pusē no dalītājiem labajā pusē. Attiecīgie koeficienti tiek novietoti zem skaitļa, kad tiek iegūti. Sadalīšana ir pabeigta, kad kreisās kolonnas pēdējais skaitlis ir 1:

570 │2
285 │

Sadalot ar 2, koeficients ir 285, kas ir dalāms ar 5, cits primārais skaitlis, kas beidzas ar 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 ir dalāms ar 3, kas arī ir cipars, jo tā ciparu 5 + 7 = 12 summa ir 3 dalījums.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Visbeidzot mēs iegūstam 19, kas ir galvenais skaitlis, kura dalītāji ir 19 un 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Iegūstot 1, mēs varam izteikt 570 šādā veidā:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Un mēs redzam, ka patiesībā tas ir 4 sākotnējo skaitļu reizinājums.

Šajā piemērā mēs sākam dalīt ar 2, bet tie paši faktori (citā secībā) būtu iegūti, ja mēs sāktu, piemēram, dalot ar 5.

2. attēls. Salikto numuru 42 var sadalīt arī, izmantojot koka formas diagrammu. Avots: Wikimedia Commons.

Dalīšanas kritēriji

Lai sadalītu saliktu skaitli tā galvenajos faktoros, tas ir precīzi jāsadala. Primāro skaitļu dalāmības kritēriji ir noteikumi, kas ļauj precīzi zināt, kad skaitlis ir precīzi dalāms ar citu, nepamēģinot vai pierādot.

- dalāmība ar 2

Visi pāra skaitļi, tie, kas beidzas ar 0, vai pāra skaitļi ir dalāmi ar 2.

- dalāmība ar 3

Ja skaitļa ciparu summa ir trīskārtīga, tad skaitlis ir arī un tāpēc dalāms ar 3.

- dalāmība ar 5

Skaitļi, kas beidzas ar 0 vai 5, ir dalāmi ar 5.

-Dalāmība pa 7

Cipars ir dalāms ar 7, ja, atdalot pēdējo ciparu, reizinot to ar 2 un atņemot atlikušo skaitli, iegūtā vērtība ir dalījums ar 7.

Šis noteikums šķiet nedaudz sarežģītāks nekā iepriekšējie, bet patiesībā tas nav tik daudz, tāpēc apskatīsim piemēru: vai 98 būs dalāms ar 7?

Izpildīsim norādījumus: mēs atdalām pēdējo skaitli, kas ir 8, mēs to reizinām ar 2, kas dod 16. Skaitlis, kas paliek, atdalot 8, ir 9. Mēs atņemam 16 - 9 = 7. Un, tā kā 7 ir pats no sevis, 98 ir dalāms. starp 7.

-Dalāmība līdz 11

Ja skaitļu summu pāra stāvoklī (2, 4, 6…) atņem no nepāra stāvoklī esošo skaitļu kopsummas (1, 3, 5, 7…) un iegūst 0 vai tiek iegūts skaitļa 11 reizinājums, skaitlis ir dalāms ar 11.

Pirmie reizinājumi no 11 ir viegli identificējami: tie ir 11, 22, 33, 44… 99. Bet esiet piesardzīgs, 111 nav, tā vietā 110 ir.

Kā piemēru redzēsim, vai 143 ir reizinājums no 11.

Šim skaitlim ir 3 cipari, vienīgais pāra skaitlis ir 4 (otrais), divi nepāra cipari ir 1 un 3 (pirmais un trešais), un to summa ir 4.

Abas summas tiek atņemtas: 4 - 4 = 0, un, tā kā tiek iegūta 0, izrādās, ka 143 ir 11 reizinājums.

-Dalāmība līdz 13

Skaitlis bez viena cipara ir jāatņem no šī cipara 9 reizes. Ja skaitlis atgriež 0 vai 13 reizinājumu, skaitlis ir 13 reizinājums.

Kā piemēru mēs pārbaudīsim, vai 156 ir 13. reizinājums. Cipari ir 6 un skaitlis, kas paliek bez tā, ir 15. Mēs reizinām 6 x 9 = 54 un tagad atņemam 54 - 15 = 39.

Bet 39 ir 3 x 13, tātad 56 ir 13 reizinājums.

Ievadiet numurus viens otram

Divi vai vairāki sākotnējie vai saliktie skaitļi var būt primāti vai vienlaikus. Tas nozīmē, ka vienīgais kopīgais dalītājs, kas viņiem ir, ir 1.

Ir divi svarīgi rekvizīti, kas jāatceras, runājot par coprimes:

- Divreiz trīs un vairāk cipari pēc kārtas vienmēr ir viens pret otru.

- To pašu var teikt par diviem, trim vai vairāk nepāra skaitļiem pēc kārtas.

Piemēram, 15, 16 un 17 ir sākotnējie skaitļi viens otram, tāpat kā 15, 17 un 19.

Kā zināt, cik dalītājiem ir saliktais skaitlis

Pirmajam skaitlim ir divi dalītāji, tas pats skaitlis un 1. Un cik dalītājiem ir saliktajam skaitlim? Tie var būt brālēni vai savienojumi.

Ļaujiet N būt saliktam skaitlim, kas izteikts ar tā kanonisko sadalījumu šādi:

N = a ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Kur a, b, c… r ir galvenie faktori un n, m, p… k - attiecīgie eksponenti. Nu dalītāju C skaitu, kāds ir N, nosaka:

C = (n +1) (m + 1) (p +1)… (k + 1)

Ar C = galvenie dalītāji + saliktie dalītāji + 1

Piemēram, 570, kas izteikts šādi:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Visi galvenie faktori tiek paaugstināti līdz 1, tāpēc 570 ir:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 dalītāji

No šiem 10 dalītājiem mēs jau zinām: 1, 2, 3, 5, 19 un 570. Trūkst vēl 10 dalītāju, kas ir salikti skaitļi: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 un 285. Tos atrod, novērojot sadalīšanos galvenajos faktoros un reizinot arī šo faktoru kombinācijas.

Atrisināti vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Sadaliet šādus skaitļus galvenajos faktoros:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Risinājums

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Risinājums b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Risinājums c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Risinājums d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- 2. vingrinājums

Uzziniet, vai šie skaitļi ir savstarpēji primāri:

6, 14, 9

Risinājums

- Dalītāji no 6 ir: 1, 2, 3, 6

-Kā 14, tas ir dalāms ar: 1, 2, 7, 14

-Visbeidzot, 9 ir dalītāji: 1, 3, 9

Vienīgais dalītājs, kas viņiem ir kopīgs, ir 1, tāpēc tie ir savstarpēji izcili.

Atsauces

1. Baldor, A. 1986. Aritmētika. Izdevumu un izplatīšanas kodekss.
2. Byju's. Galvenie un saliktie skaitļi. Atgūts no: byjus.com.
3. Galvenie un saliktie skaitļi. Atgūts no: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Dalīšanas kritēriji. Atgūts no: smartick.es.
5. Wikipedia. Salikti skaitļi. Atgūts no: en.wikipedia.org.