SAREŽĢĪTI SKAITĻI: ĪPAŠĪBAS, PIEMĒRI, OPERĀCIJAS - MATEMĀTIKA - 2025

Par kompleksiem skaitļiem ir skaitliskā kopums, kas aptver reālo skaitu un visas saknes polynomials, tostarp pāru saknēm negatīviem skaitļiem. Šīs saknes neeksistē reālo skaitļu komplektā, bet kompleksiem skaitļiem ir risinājums.

Sarežģīts skaitlis sastāv no reālās daļas un daļas, ko sauc par "iedomātu". Reālo daļu sauc, piemēram, par a, un iedomāto daļu ib, ar a un b reāliem skaitļiem un "i" kā iedomātu vienību. Tādā veidā kompleksais skaitlis izpaužas šādi:

1. attēls. Kompleksa skaitļa binomāls attēlojums reālās un iedomātas daļas izteiksmē. Avots: Pixabay.

Sarežģītu skaitļu piemēri ir 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Bet pirms operācijas ar viņiem, redzēsim, no kurienes rodas iedomātā vienība i, ņemot vērā šo kvadrātvienādojumu:

x ² - 10x + 34 = 0

Kurā a = 1, b = -10 un c = 34.

Izmantojot risinājuma formulu, lai noteiktu risinājumu, mēs atrodam sekojošo:

Kā noteikt √-36 vērtību? Nav reāla skaitļa, kas kvadrātā rada negatīvu daudzumu. Tad secina, ka šim vienādojumam nav reālu risinājumu.

Tomēr mēs to varam uzrakstīt:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Ja noteiktu vērtību x definējam šādi:

x ² = -1

Tātad:

x = ± √-1

Un iepriekšminētajam vienādojumam būtu risinājums. Tāpēc iedomātā vienība tika definēta kā:

i = √-1

Un tā:

√-36 = 6i

Daudzi senatnes matemātiķi strādāja pie līdzīgu problēmu risināšanas, it īpaši renesanses laikmeta Girolamo Kardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) un Raffaele Bombelli (1526-1572).

Gadu vēlāk Renē Dekarts (1596-1650) lielumus sauca par “iedomātām”, piemēram, √-36. Šī iemesla dēļ √-1 sauc par iedomātu vienību.

Sarežģītu numuru īpašības

-Kompleksu skaitļu kopa tiek apzīmēta ar C un ietver reālos skaitļus R un iedomātos skaitļus Im. Skaitļu kopas ir attēlotas Vennas diagrammā, kā parādīts šajā attēlā:

2. attēls. Skaitļu kopu Vennu diagramma. Avots: F. Zapata.

-Visi sarežģīti skaitļi sastāv no reālās un iedomātas daļas.

-Kad sarežģītā skaitļa iedomātā daļa ir 0, tas ir tīrs reālais skaitlis.

-Ja kompleksa skaitļa reālā daļa ir 0, skaitlis ir tīri iedomāts.

-Divi sarežģīti skaitļi ir vienādi, ja to reālā un iedomātā daļa ir vienāda.

-Ar sarežģītiem skaitļiem tiek veiktas zināmās saskaitīšanas, atņemšanas, reizināšanas, reizināšanas un uzlabošanas operācijas, kā rezultātā iegūst citu sarežģītu numuru.

Sarežģītu skaitļu attēlojums

Sarežģītos skaitļus var attēlot dažādos veidos. Šie ir galvenie:

- Binomu forma

Tā ir forma, kas norādīta sākumā, kur z ir sarežģītais skaitlis, a ir reālā daļa, b ir iedomātā daļa un i ir iedomātā vienība:

Vai arī:

Viens veids, kā grafizēt sarežģīto skaitli, ir caur šajā attēlā parādīto komplekso plakni. Iedomātā ass Im ir vertikāla, bet reālā ass ir horizontāla un tiek apzīmēta kā Re.

Kompleksais skaitlis z šajā plaknē tiek attēlots kā koordinātu punkts (x, y) vai (a, b), kā tas tiek darīts ar reālās plaknes punktiem.

Attālums no sākuma līdz punktam z ir kompleksa skaitļa modulis, ko apzīmē ar r, savukārt φ ir leņķis, ko r veido ar reālo asi.

3. attēls. Kompleksa skaitļa attēlojums kompleksajā plaknē. Avots: Wikimedia Commons.

Šis attēlojums ir cieši saistīts ar vektoru attēlojumu reālajā plaknē. R vērtība atbilst kompleksa skaitļa modulim.

- Polārā forma

Polārā forma sastāv no kompleksa skaitļa izteikšanas, norādot r un φ vērtības. Ja skatāmies uz skaitli, r vērtība atbilst taisnstūra trīsstūra hipotenūzei. Kājas ir vērts a un b, vai x un y.

No binomālās vai binomial formas mēs varam pāriet uz polāro formu:

Leņķis φ ir tas, ko veido segments r ar horizontālo asi vai iedomāto asi. Tas ir pazīstams kā kompleksa skaitļa arguments. Pa šo ceļu:

Argumentā ir bezgalīgas vērtības, ņemot vērā, ka katru reizi pagriežot pagriezienu, kura vērtība ir 2π radiāni, r atkal ieņem to pašu pozīciju. Šādā vispārīgā veidā z arguments, kas apzīmēts Arg (z), tiek izteikts šādi:

Kur k ir vesels skaitlis un tiek izmantots pagriezienu skaita norādīšanai: 2, 3, 4…. Zīme norāda griešanās virzienu, ja tas ir pulksteņrādītāja virzienā vai pretēji tam.

4. attēls. Kompleksa skaitļa polārs attēlojums kompleksajā plaknē. Avots: Wikimedia Commons.

Un, ja mēs vēlamies pāriet no polārās formas uz binomālo formu, mēs izmantojam trigonometriskās attiecības. No iepriekšējā attēla redzams, ka:

x = r cos φ

y = r sin φ

Tādā veidā z = r (cos φ + i sin φ)

Kas ir saīsināts šādi:

z = r cis φ

Sarežģītu skaitļu piemēri

Binomālā formā ir norādīti šādi sarežģīti skaitļi:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Un šie pasūtīta pāra formā:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Visbeidzot, šī grupa tiek norādīta polārā vai trigonometriskā formā:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Kam viņi domāti?

Sarežģītu skaitļu lietderība pārsniedz tikai sākumā parādītā kvadrātiskā vienādojuma risināšanu, jo tie ir svarīgi inženierzinātņu un fizikas jomā, jo īpaši:

-Elektromagnētisko viļņu izpēte

- maiņstrāvas un sprieguma analīze

- Visu veidu signālu modelēšana

- relativitātes teorija, kur laiks tiek pieņemts kā iedomāts lielums.

Sarežģītas numuru operācijas

Izmantojot sarežģītus skaitļus, mēs varam veikt visas operācijas, kas tiek veiktas ar reālām. Dažus ir vieglāk izdarīt, ja skaitļi ir binomi, piemēram, saskaitīšana un atņemšana. Turpretī reizināšana un dalīšana ir vienkāršāka, ja tos veic ar polāro formu.

Apskatīsim dažus piemērus:

- 1. piemērs

Pievienojiet z ₁ = 2 + 5i un z ₂ = -3 -8i

Risinājums

Īstās daļas tiek pievienotas atsevišķi no iedomātajām:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- 2. piemērs

Reiziniet z ₁ = 4 cis 45º un z ₂ = 5 cis 120º

Risinājums

Var parādīt, ka divu sarežģītu skaitļu reizinājumu polārā vai trigonometriskā formā iegūst šādi:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Saskaņā ar to:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Pieteikums

Vienkāršs sarežģītu skaitļu pielietojums ir visu polinoma vienādojuma sakņu atrašana, kā parādīts raksta sākumā.

Vienādojuma x ² - 10x + 34 = 0 gadījumā, izmantojot izšķirtspējas formulu, iegūstam:

Tāpēc risinājumi ir:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Atsauces

1. Earl, R. Sarežģīti skaitļi. Atgūts no: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matemātika 1.sēr. Daudzveidīgs. CO-BO izdevumi.
3. Hoffmann, J. 2005. Matemātikas tēmu atlase. Monforta publikācijas.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
5. Wikipedia. Sarežģīti skaitļi. Atgūts no: en.wikipedia.org