EULERA NUMURS VAI E SKAITLIS: CIK TAS IR VĒRTS, ĪPAŠĪBAS, LIETOJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Euler numuru vai numuru, e ir labi zināms matemātiska konstante, kas bieži parādās daudzās zinātnes un ekonomisko lietojumprogrammas, kopā ar numuru π un citiem svarīgiem skaitļiem matemātikā.

Zinātnisks kalkulators skaitlim e atdod šādu vērtību:

1. attēls. Eulera numurs zinātnē parādās bieži. Avots: F. Zapata.

e = 2,718281828 …

Bet ir zināmi vēl daudzi decimāldaļas, piemēram:

e = 2.71828182845904523536…

Un mūsdienu datori ir atraduši triljoniem skaitļu aiz komata skaitlim e.

Tas ir neracionāls skaitlis, kas nozīmē, ka tam ir bezgalīgs decimālzīmju skaits bez atkārtošanās shēmas (secība 1828 parādās divreiz sākumā un vairs neatkārtojas).

Un tas arī nozīmē, ka skaitli e nevar iegūt kā divu veselu skaitļu dalījumu.

Vēsture

Skaitli e identificēja zinātnieks Žaks Bernoulli 1683. gadā, kad viņš pētīja salikto interešu problēmu, taču iepriekš tas netieši bija parādījies Skotijas matemātiķa Džona Napiera darbos, kurš ap 1618. gadu izgudroja logaritmus.

Tomēr tas bija Leonhards Elers 1727. gadā, kurš tam piešķīra vārdu e un intensīvi pētīja tā īpašības. Tāpēc tas ir pazīstams arī ar Eulera numuru un arī kā dabisko bāzi pašlaik izmantotajiem dabiskajiem logaritmiem (eksponentam).

Cik ir cipars e?

Skaitlis e ir vērts:

e = 2.71828182845904523536…

Elipsis nozīmē, ka ir bezgalīgs skaits aiz komata, un faktiski ar mūsdienu datoriem miljoniem no tiem ir zināmi.

Cipara e attēlojums

Ir vairāki veidi, kā definēt e, ko mēs aprakstam zemāk:

Skaitlis e kā ierobežojums

Viens no daudzajiem skaitļa e izteikšanas veidiem ir tāds, kuru zinātnieks Bernoulli atrada savos darbos par saliktiem procentiem:

Kurā n vērtībai n ir jābūt ļoti lielam skaitlim.

Ar kalkulatora palīdzību ir viegli pārbaudīt, vai tad, ja n ir ļoti liels, iepriekšējā izteiksme tiecas uz iepriekš norādīto e vērtību.

Protams, mēs varam sev pajautāt, cik lielu n var izgatavot, tāpēc izmēģināsim apaļus skaitļus, piemēram, šādus:

n = 1000; 10 000 vai 100 000

Pirmajā gadījumā mēs iegūstam e = 2.7169239…. Otrajā e = 2,7181459… un trešajā tas ir daudz tuvāk e vērtībai: 2,7182682. Mēs jau varam iedomāties, ka ar n = 1 000 000 vai lielāku tuvinājumu būs vēl labāk.

Matemātikas valodā n tuvināšanas un tuvināšanas ļoti lielai vērtībai procedūru sauc par bezgalības robežu un tiek apzīmēta šādi:

Lai apzīmētu bezgalību, tiek izmantots simbols "∞".

Skaitlis e kā summa

Izmantojot šo darbību, ir iespējams arī definēt skaitli e:

Skaitļi, kas parādās saucējā: 1, 2, 6, 24, 120… atbilst darbībai n !, kur:

Un pēc definīcijas 0! = 1.

Ir viegli pārbaudīt, jo vairāk pievienoto papildinājumu, jo precīzāk tiek sasniegts skaitlis e.

Veiksim dažus testus ar kalkulatoru, pievienojot arvien vairāk un vairāk papildinājumu:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Jo vairāk terminu tiek pievienoti summai, jo vairāk rezultāts atgādina e.

Matemātiķi izstrādāja kompaktu apzīmējumu šīm summām, kas satur daudzus terminus, izmantojot summēšanas simbolu Σ:

Šis izteiciens tiek lasīts šādi: "summa no n = 0 līdz 1 bezgalībai starp n faktoriālo".

Skaitlis e no ģeometriskā viedokļa

Skaitlim e ir grafisks attēlojums, kas saistīts ar laukumu zem līknes diagrammas:

y = 1 / x

Ja x vērtības ir no 1 līdz e, šis laukums ir vienāds ar 1, kā parādīts šajā attēlā:

Skaitļa e grafiskais attēlojums: laukums zem 1 / x līknes starp x = 1 un x = e ir 1. vērtību. Avots: F. Zapata.

Cipara īpašības e

Dažas no skaitļa e īpašībām ir:

-Tas ir neracionāli, citiem vārdiem sakot, to nevar iegūt, vienkārši dalot divus veselus skaitļus.

-Skaitlis e ir arī pārpasaulīgs skaitlis, kas nozīmē, ka e nav neviena polinoma vienādojuma risinājums.

-Tas ir saistīts ar četriem citiem slaveniem skaitļiem matemātikas jomā, proti: π, i, 1 un 0, izmantojot Eulera identitāti:

- Tā sauktos sarežģītos skaitļus var izteikt, izmantojot e.

-Tā ir mūsdienu dabisko vai dabisko logaritmu bāze (Džona Napiera sākotnējā definīcija nedaudz atšķiras).

-Tas ir vienīgais skaitlis, kura dabiskais logaritms ir vienāds ar 1, tas ir:

Lietojumprogrammas

Statistika

Skaitlis e ļoti bieži parādās varbūtības un statistikas laukā, parādās dažādos sadalījumos, piemēram, parastajā vai Gausa, Puasona un citos.

Inženierzinātnes

Inženierzinātnēs tā ir bieža, jo eksponenciālā funkcija y = e ^x atrodas, piemēram, mehānikā un elektromagnētikā. Starp daudzajiem pieteikumiem mēs varam minēt:

-Kabelis vai ķēde, kas karājas pie galiem, iegūst līknes formu, ko piešķir:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

- Sākotnēji izlādēts kondensators C, kas virknē savienots ar rezistoru R un sprieguma avotu V, lai uzlādētos, iegūst noteiktu lādiņu Q kā laika t funkciju, ko piešķir:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

bioloģija

Šūnu augšanas un baktēriju augšanas modelēšanai izmanto eksponenciālo funkciju y = Ae ^Bx ar A un B konstanti.

Fiziskā

Kodolfizikā radioaktīvā sabrukšana un vecuma noteikšana tiek modelēta pēc radiokarbona datēšanas.

Ekonomika

Aprēķinot saliktos procentus, skaitlis e rodas dabiski.

Pieņemsim, ka jums ir noteiktu naudas summu P _o ieguldīt ar procentu likmi i% gadā.

Ja jūs atstājat naudu uz 1 gadu, pēc šī laika jums būs:

Pēc vēl viena gada, to nepieskaroties, jums būs:

Un turpinot šādā veidā n gadus:

Tagad atcerēsimies vienu no e definīcijām:

Tas nedaudz atgādina izteicienu P, tāpēc jābūt attiecībām.

Mēs izdalīsim nominālo procentu likmi i n laika periodos, tādā veidā saliktā procentu likme būs i / n:

Šis izteiciens mazliet vairāk atgādina mūsu robežu, taču tas joprojām nav tieši tāds pats.

Tomēr pēc dažām algebriskām manipulācijām var parādīt, ka, mainot mainīgo:

Mūsu nauda P kļūst:

Un tas, kas atrodas starp lencēm, pat ja tas ir rakstīts ar burtu h, ir vienāds ar robežas argumentu, kas nosaka skaitli e, trūkstot tikai robežai.

Izveidosim h → ∞, un tas, kas atrodas starp lencēm, kļūst par skaitli e. Tas nenozīmē, ka mums ir jāgaida bezgala ilgs laiks, lai izņemtu savu naudu.

Ja mēs skatāmies cieši, veicot h = n / i un tiecoties uz ∞, patiesībā mēs esam izdarījuši procentu likmes sadalījumu ļoti, ļoti mazos laika periodos:

i = n / h

To sauc par nepārtrauktu savienošanu. Tādā gadījumā naudas summu var viegli aprēķināt šādi:

Kur i ir gada procentu likme. Piemēram, noguldot € 12 ar 9% gadā ar nepārtrauktu kapitalizāciju, pēc viena gada jums ir:

Ar peļņu 1,13 eiro.

Atsauces

1. Izbaudi matemātiku. Saliktie procenti: Periodiskais sastāvs. Atgūts no: enjoylasmatematicas.com.
2. Figuera, J. 2000. Matemātika 1.sēr. Daudzveidīgs. CO-BO izdevumi.
3. Garsija, M. Skaitlis e elementārajā aprēķinā. Atgūts no: matematica.ciens.ucv.ve.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice zāle.
5. Larsons, R. 2010. Mainīgā lieluma aprēķins. 9. Izdevums. Makgreiva kalns.