Ir ortogonāla matrica, kad minētā matrica, kas reizināta ar tās transponēšanas rezultātu, rada identitātes matricu. Ja matricas apgrieztā vērtība ir vienāda ar transponēto, sākotnējā matrica ir taisnleņķa.
Ortogonālām matricām ir raksturīga iezīme, ka rindu skaits ir vienāds ar kolonnu skaitu. Turklāt rindu vektori ir ortogonāli vienības vektori un arī transponējošie rindu vektori.
1. attēls. Ortogonālās matricas piemērs un veids, kā tā pārveido ģeometriskos objektus. (Sagatavojis Ricardo Pérez)
Kad ortogonālo matricu reizina ar vektoru telpas vektoriem, tā iegūst izometrisku transformāciju, tas ir, transformāciju, kas nemaina attālumus un saglabā leņķus.
Tipisks ortogonālo matricu pārstāvis ir rotācijas matricas. Ortogonālo matricu transformācijas vektoru telpā sauc par ortogonālām transformācijām.
To kartēzisko vektoru attēloto punktu rotācijas un refleksijas ģeometriskās transformācijas tiek veiktas, izmantojot oriģināliem vektoriem ortogonālas matricas, lai iegūtu pārveidoto vektoru koordinātas. Tieši šī iemesla dēļ ortogonālās matricas tiek plaši izmantotas datorgrafikas apstrādē.
Īpašības
Matrica M ir perpendikulāras, ja reizina ar tā transponēt M T dod rezultātā identitātes matricu I . Līdzīgi, iegūstot ortogonālas matricas sākotnējās matricas transponēšanas rezultātu, iegūst identitātes matricu:
MM T = M T M = I
Iepriekšējā paziņojuma rezultātā mums ir, ka ortogonālās matricas transponēšana ir vienāda ar tās apgriezto matricu:
M T = M -1 .
Nxn dimensijas ortogonālo matricu komplekts veido ortogonālo grupu O (n). Ortogonālo matricu O (n) apakškopa ar determinantu +1 veido vienoto īpašo matricu SU (n) grupu. Grupas SU (n) matricas ir matricas, kas rada rotācijas lineāras transformācijas, kas pazīstamas arī kā rotācijas grupa.
Demonstrācija
Mēs vēlamies parādīt, ka matrica ir ortogonāla, ja un tikai tad, ja rindu vektori (vai kolonnu vektori) ir taisnleņķi viens otram un ar 1. normu.
Pieņemsim, ka ortogonālās matricas nxn rindas ir n lieluma n ortonormālie vektori. Ja to apzīmē ar v 1 , v 2 ,…., V n uz n vektoriem pieder:
Kur ir acīmredzams, ka rindu vektoru kopa ir ortogonālu vektoru kopa ar pirmo normu.
Piemēri
1. piemērs
Parādiet, ka 2 x 2 matrica, kuras pirmajā rindā ir vektors v1 = (-1 0), un otrajā rindā vektors v2 = (0 1) ir ortogonāla matrica.
Risinājums: Matrica M ir konstruēta un aprēķināta tās transpozīcija M T :
Šajā piemērā matrica M ir paštransponēta, tas ir, matrica un tās transponēšana ir identiskas. Reiziniet M ar tā transponēto M T :
Tiek pārbaudīts, vai MM T ir vienāds ar identitātes matricu:
Kad matricu M reizina ar vektora vai punkta koordinātām, tiek iegūtas jaunas koordinātas, kas atbilst transformācijai, ko matrica veic uz vektora vai punkta.
1. attēls parāda, cik M pārveido vektoru u uz u ", un arī to, kā M pārveido zilo daudzstūris vērā sarkano daudzstūris. Tā kā M ir ortogonāla, tad tā ir ortogonāla transformācija, kas saglabā attālumus un leņķus.
2. piemērs
Pieņemsim, ka jums ir 2 x 2 matrica, kas definēta reālijās ar šādu izteiksmi:
Atrodiet a, b, c un d reālās vērtības tā, lai matrica M būtu ortogonāla matrica.
Risinājums: pēc definīcijas matrica ir ortogonāla, ja reizina ar tās transponēšanu, iegūst identitātes matricu. Atceroties, ka transponētā matrica tiek iegūta no oriģināla, mainot rindas uz kolonnām, tiek iegūta šāda vienādība:
Mēs veicam matricas reizināšanu:
Vienādojot kreisās matricas elementus ar identitātes matricas elementiem labajā pusē, iegūstam četru vienādojumu sistēmu ar četriem nezināmiem a, b, c un d.
Mēs piedāvājam šādus, a, b, c un d izteikumus ar sinonusa un kosinusa trigonometrisko attiecību:
Ar šo priekšlikumu un ņemot vērā fundamentālo trigonometrisko identitāti, pirmais un trešais vienādojums tiek automātiski izpildīts matricas elementu vienādībā. Trešais un ceturtais vienādojums ir vienāds, un matricas vienādībā pēc piedāvāto vērtību aizstāšanas tas izskatās šādi:
kas noved pie šāda risinājuma:
Visbeidzot, iegūstot šādus risinājumus ortogonālai matricai M:
Ņemiet vērā, ka pirmajam no risinājumiem ir determinants +1, tāpēc tas pieder grupai SU (2), savukārt otrajam risinājumam ir determinants -1 un tāpēc tas nepieder šai grupai.
3. piemērs
Ņemot vērā šo matricu, atrodiet a un b vērtības, lai mums būtu ortogonāla matrica.
Risinājums: lai dotā matrica būtu taisnleņķa, produktam ar tā transponējumu jābūt identitātes matricai. Pēc tam tiek veikts dotās matricas produkts ar tās transponēto matricu, iegūstot šādu rezultātu:
Tālāk rezultāts tiek pielīdzināts 3 x 3 identitātes matricai:
Otrajā rindā trešajā kolonnā ir (ab = 0), bet a nevar būt nulle, jo pretējā gadījumā netiktu izpildīta otrās rindas un otrās kolonnas elementu vienādība. Tad obligāti b = 0. Aizstājot b ar vērtību 0, kas mums ir:
Tad tiek atrisināts vienādojums: 2a ^ 2 = 1, kura risinājumi ir: + ½√2 un -½√2.
Ņemot pozitīvu risinājumu a, iegūst šādu ortogonālu matricu:
Lasītājs var viegli pārbaudīt, vai rindu vektori (un arī kolonnu vektori) ir ortogonāli un vienādi, tas ir, ortonormāli.
4. piemērs
Parādiet, ka matrica A, kuras rindu vektori ir v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) un v3 = (0 0 -1), ir ortogonāla matrica. Turklāt atrod vektorus no kanoniskās i, j, k bāzes uz vektoriem u1 , u2 un u3 .
Risinājums: Jāatceras, ka matricas elements (i, j), kas reizināts ar tās transponēšanu, ir (i) rindas vektora punktveida produkts ar transponētās j kolonnas j punktu. Turklāt šis produkts ir vienāds ar Kronekera deltu, ja matrica ir taisnleņķa:
Mūsu gadījumā tas izskatās šādi:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Ar kuru tiek parādīts, ka tā ir ortogonāla matrica.
Turklāt u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) un visbeidzot u3 = A k = (0, 0, -1)
Atsauces
- Entonijs Nicolaides (1994) Determinanti un matricas. Pass publikācija.
- Birkhoff un MacLane. (1980). Mūsdienu algebra, ed. Vicens-Vives, Madride.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Ievads lineārajā algebrā. ESIC redakcija.
- Deivs Kirkbijs (2004) Maths Connect. Heinemann.
- Dženija Olive (Jenny Olive, 1998) Matemātika: Studenta izdzīvošanas rokasgrāmata. Cambridge University Press.
- Ričards Dž. Brauns (Richard J. Brown) (2012) 30 sekunžu matemātika: 50 visvairāk prātu paplašinošās matemātikas teorijas. Ivy Press Limited.
- Wikipedia. Ortogonāla matrica. Atgūts no: es.wikipedia.com
- Wikipedia. Ortogonāla matrica. Atgūts no: en.wikipedia.com