GAUSA-SEIDELA METODE: SKAIDROJUMS, PIELIETOJUMI, PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Gauss-Seidel metode ir iteratīvs process, lai atrastu aptuveno risinājumu sistēmas lineāro algebrisko vienādojumu ar patvaļīgi izvēlēto precizitāti. Metode tiek piemērota kvadrātveida matricām, kuru diagonālēs elementi, kas nav nulle, un konverģence tiek garantēta, ja matrica ir diagonāli dominējoša.

To izveidoja Karls Frīdrihs Gauss (1777-1855), kurš 1823. gadā sniedza privātu demonstrāciju vienam no saviem studentiem. Vēlāk to oficiāli publicēja Filips Ludvigs fon Seidels (1821–1896) 1874. gadā, no tā arī nosaukums abu matemātiķu.

1. attēls. Gausa-Seidela metode ātri saplūst, lai iegūtu vienādojumu sistēmas risinājumu. Avots: F. Zapata.

Lai pilnībā izprastu metodi, ir jāzina, ka matrica ir diagonāli dominējoša, ja katras rindas diagonālā elementa absolūtā vērtība ir lielāka vai vienāda ar tās pašas rindas citu elementu absolūto vērtību summu.

Matemātiski to izsaka šādi:

Paskaidrojums, izmantojot vienkāršu lietu

Lai ilustrētu Gausa-Seidela metodi, mēs ņemsim vienkāršu gadījumu, kurā X un Y vērtības var atrast 2x2 lineāro vienādojumu sistēmā, kas parādīta zemāk:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Veicamie soļi

1- Pirmkārt, ir jānosaka, vai konverģence ir droša. Tūlīt tiek novērots, ka faktiski tā ir pa diagonāli dominējoša sistēma, jo pirmajā rindā pirmajam koeficientam ir augstāka absolūtā vērtība nekā pārējiem pirmajā rindā:

-5 -> - 2

Tāpat diagonāli dominē arī otrais koeficients otrajā rindā:

--4 -> - 1-

2- X un Y mainīgie tiek notīrīti:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3 - Tiek ievietota patvaļīga sākotnējā vērtība, ko sauc par "sēklu": Xo = 1, I = 2.

4-Ierācija sākas: lai iegūtu pirmo tuvinājumu X1, Y1, sēklas tiek aizstātas ar 2. posma pirmo vienādojumu, un rezultāts tiek iegūts 2. pakāpes otrajā vienādojumā:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Mēs rīkojamies līdzīgi, lai iegūtu vienādojumu sistēmas risinājuma otro tuvinājumu:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6. Trešā iterācija:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- ceturtā iterācija kā šī ilustratīvā gadījuma pēdējā iterācija:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Šīs vērtības diezgan labi sakrīt ar risinājumu, kas atrodams citās izšķirtspējas metodēs. Lasītājs to var ātri pārbaudīt, izmantojot tiešsaistes matemātikas programmu.

Metodes analīze

Kā redzams, izmantojot Gausa-Seidela metodi, aptuvenās vērtības, kas iegūtas iepriekšējam mainīgajam tajā pašā solī, jāaizstāj ar šo mainīgo. Tas to atšķir no citām iteratīvām metodēm, piemēram, Jacobi, kurās katram solim nepieciešami iepriekšējā posma tuvinājumi.

Gausa-Seidela metode nav paralēla procedūra, savukārt Gausa-Jordānijas metode ir. Tas ir arī iemesls, ka Gausa-Seidela metodei ir ātrāka konverģence - ar mazākām pakāpēm - nekā Jordānijas metodei.

Tas ne vienmēr ir izpildīts attiecībā uz diagonāli dominējošo matricas nosacījumu. Tomēr vairumā gadījumu pietiek ar nosacījumu, ka rindas apmainās no sākotnējās sistēmas. Turklāt metode gandrīz vienmēr saplūst, pat ja nav izpildīts diagonālās dominēšanas nosacījums.

Iepriekšējo rezultātu, kas iegūts ar četrām Gausa-Seidela metodes atkārtojumiem, var uzrakstīt decimālā formā:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Precīzs ierosinātās vienādojumu sistēmas risinājums ir:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Tātad, veicot tikai 4 atkārtojumus, jūs iegūstat rezultātu ar vienu tūkstošdaļu precizitātes (0.001).

1. attēlā parādīts, kā secīgas iterācijas ātri saplūst ar precīzu risinājumu.

Lietojumprogrammas

Gausa-Seidela metode nav ierobežota tikai ar 2 × 2 lineāro vienādojumu sistēmu. Iepriekšējo procedūru var vispārināt, lai atrisinātu lineāru n vienādojumu sistēmu ar n nezināmiem, kas attēloti matricā šādi:

A X = b

Kur A ir nxn matrica, bet X ir n mainīgā lieluma n mainīgo lielumu vektora n komponenti; un b ir vektors, kas satur neatkarīgo terminu vērtības.

Lai vispārinātu iterāciju secību, kas piemērota ilustratīvā gadījumā nxn sistēmai, no kuras vēlas aprēķināt mainīgo Xi, tiks piemērota šāda formula:

Šajā vienādojumā:

- k ir indekss vērtībai, kas iegūta iterācijā k.

-k + 1 norāda jauno vērtību tālāk.

Galīgo atkārtojumu skaitu nosaka, ja atkārtojumā k + 1 iegūtā vērtība atšķiras no vērtības, kas iegūta tieši pirms tam, ar daudzumu ε, kas ir precīzi vēlamā precizitāte.

Gausa-Seidela metodes piemēri

- 1. piemērs

Uzrakstiet vispārēju algoritmu, kas ļauj aprēķināt nxn vienādojumu lineārās sistēmas aptuveno risinājumu X vektoru , ņemot vērā koeficientu A matricu, neatkarīgo nosacījumu vektoru b , iterāciju skaitu (i ter) un sākotnējo vērtību vai "sēklu". "vektora X .

Risinājums

Algoritms sastāv no diviem “līdz” cikliem, viens atkārtojumu skaitam, otrs mainīgo skaitam. Tas būtu šāds:

Par k ∊

Par i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- 2. piemērs

Pārbaudiet iepriekšējā algoritma darbību, izmantojot tā piemērošanu bezmaksas un lietojamā matemātiskajā programmatūrā SMath Studio, kas ir pieejama operētājsistēmām Windows un Android. Kā piemēru var minēt 2 × 2 matricu, kas mums palīdzēja parādīt Gausa-Seidela metodi.

Risinājums

2. attēls. 2 x 2 piemēra vienādojumu sistēmas risinājums, izmantojot programmatūru SMath Studio. Avots: F. Zapata.

- 3. piemērs

Pielietojiet Gausa-Seidela algoritmu sekojošai 3 × 3 vienādojumu sistēmai, kas iepriekš tika pasūtīta tā, lai diagonāles koeficienti būtu dominējošie (tas ir, ar lielāku absolūto vērtību nekā absolūto vērtību koeficientu tā pati rinda):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Izmantojiet nulles vektoru kā sēklu un apsveriet piecas iterācijas. Komentē rezultātu.

Risinājums

3. attēls. Atrisinātā 3. piemēra vienādojumu sistēmas risinājums, izmantojot SMath Studio. Avots: F. Zapata.

Tai pašai sistēmai ar 10 atkārtojumiem, nevis 5 atkārtojumiem, iegūst šādus rezultātus: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Tas mums saka, ka, lai iegūtu trīs precizitātes zīmes aiz komata, pietiek ar piecām iterācijām un ka metode ātri pietuvojas risinājumam.

- 4. piemērs

Izmantojot iepriekš doto Gausa-Seidela algoritmu, atrodiet risinājumu zemāk dotajai vienādojumu sistēmai 4 × 4:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Lai sāktu metodi, izmantojiet šo sēklu:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 un x4 = 0

Apsveriet 10 iterācijas un novērtējiet rezultāta kļūdu, salīdzinot ar iterācijas numuru 11.

Risinājums

4. attēls. Atrisinātā 4. piemēra vienādojumu sistēmas risinājums, izmantojot SMath Studio. Avots: F. Zapata.

Salīdzinot ar nākamo iterāciju (skaitlis 11), rezultāts ir identisks. Lielākās atšķirības starp abām iterācijām ir ar secību 2 × 10 ^-8 , kas nozīmē, ka parādītā risinājuma precizitāte ir vismaz septiņas zīmes aiz komata.

Atsauces

1. Iteratīvo risinājumu metodes. Gauss-Seidels. Atgūts no: cimat.mx
2. Skaitliskās metodes. Gauss-Seidels. Atgūts no: test.cua.uam.mx
3. Skaitlisks: Gausa-Seidela metode. Atgūts no: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Wikipedia. Gausa-Seidela metode. Atgūts no: en. wikipedia.com
5. Wikipedia. Gausa-Seidela metode. Atgūts no: es.wikipedia.com