MORGANA LIKUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Par l acis Morgan ir secinājums noteikumi, ko izmanto propositional loģika, kas nosaka, kāda rezultāts liedzot šķiršana un konjunkciju priekšlikumus vai propositional mainīgajiem. Šos likumus definēja matemātiķis Augusts De Morgans.

Morgana likumi ir ļoti noderīgs līdzeklis, lai parādītu matemātiskās spriešanas pamatotību. Vēlāk tie tika vispārināti matemātiķa Džordža Būla komplektu koncepcijā.

Šis Boole izdarītais vispārinājums ir pilnīgi līdzvērtīgs sākotnējiem Morgana likumiem, taču tas ir izstrādāts īpaši kopām, nevis priekšlikumiem. Šis vispārinājums ir pazīstams arī kā Morgana likumi.

Piedāvājuma loģikas pārskats

Pirms apskatīt, kas tieši ir Morgana likumi un kā tie tiek izmantoti, ir noderīgi atcerēties dažus ierosināšanas loģikas pamatjēdzienus. (Sīkāku informāciju skat. Rakstā par piedāvājuma loģiku).

Matemātiskās (vai priekšlikuma) loģikas jomā secinājums ir secinājums, ko izdod no telpu kopuma vai hipotēzes. Šis secinājums kopā ar iepriekšminētajām piezīmēm rada tā saucamo matemātisko pamatojumu.

Šādai argumentācijai jābūt pierādāmai vai noliegtai; tas ir, ne visi secinājumi vai secinājumi matemātiskajā spriešanā ir derīgi.

Maldība

Kļūdaini secinājumi, kas izdarīti no noteiktām hipotēzēm, kuras tiek uzskatītas par patiesām, tiek sauktas par maldiem. Maldībām ir īpatnība būt argumentiem, kas šķiet pareizi, bet matemātiski tie nav.

Propozīcijas loģika ir tieši atbildīga par tādu metožu izstrādi un nodrošināšanu, ar kuru palīdzību bez jebkādām divdomībām var apstiprināt vai atspēkot matemātisko pamatojumu; tas ir, izsecināt derīgu secinājumu no telpām. Šīs metodes ir zināmas kā secinājumu likumi, kuru sastāvdaļa ir Morgana likumi.

Priekšlikumi

Būtiski priekšlikuma loģikas elementi ir priekšlikumi. Priekšlikumi ir apgalvojumi, kurus var teikt par derīgiem vai ne, bet vienlaikus nevar būt patiesi vai nepatiesi. Šajā jautājumā nevajadzētu būt neviennozīmīgiem.

Tāpat kā skaitļus var apvienot, saskaitot, atņemot, reizinot un dalot, piedāvājumus var darbināt ar labi zināmiem loģiskiem savienojumiem (vai savienotājiem): negācija (¬, “nav”), disjunkcija (V , “Or”), savienojums (Ʌ, “un”), nosacīts (→, “ja…, tad…”) un biconditionāls (↔, “ja un tikai tad, ja”).

Lai strādātu vispārīgāk, tā vietā, lai apsvērtu konkrētus piedāvājumus, tiek apsvērti priekšlikuma mainīgie, kas apzīmē jebkurus piedāvājumus, un tos parasti apzīmē ar mazajiem burtiem p, q, r, s utt.

Piedāvājuma formula ir piedāvājuma mainīgo kombinācija, izmantojot dažus loģiskos savienojumus. Citiem vārdiem sakot, tas ir piedāvājuma mainīgo sastāvs. Parasti tos apzīmē ar grieķu burtiem.

Mēdz teikt, ka piedāvājuma formula loģiski nozīmē citu, ja tā ir patiesa katru reizi, kad ir taisnība. To apzīmē ar:

Ja loģiskā saistība starp divām piedāvājuma formulām ir abpusēja - tas ir, kad iepriekšējā implicācija ir derīga arī pretējā nozīmē - tiek uzskatīts, ka formulas ir loģiski līdzvērtīgas, un to apzīmē ar

Loģiskā ekvivalence ir sava veida vienādība starp piedāvājuma formulām un ļauj to vajadzības gadījumā aizstāt ar otru.

Morgana likumi

Morgana likumi sastāv no divām loģiskām ekvivalentēm starp divām piedāvājuma formām, proti:

Šie likumi ļauj nodalīt disjunkcijas vai konjunkcijas noliegumu kā iesaistīto mainīgo negatīvus.

Pirmo var lasīt šādi: disjunkcijas noliegums ir vienāds ar negatīvu savienojumu. Un otrais lasāms šādi: savienojuma noliegšana ir negatīvu atdalīšana.

Citiem vārdiem sakot, divu piedāvājošu mainīgo atdalīšanas noliegšana ir līdzvērtīga abu mainīgo negatīvu savienojumam. Tāpat divu ierosinošu mainīgo savienojuma noliegšana ir līdzvērtīga abu mainīgo negatīvu atsķirībai.

Kā minēts iepriekš, šīs loģiskās ekvivalences aizstāšana palīdz pierādīt svarīgus rezultātus, kā arī citus esošos secinājumu noteikumus. Ar šo palīdzību jūs varat vienkāršot daudzas piedāvājuma formulas, lai ar tām būtu lietderīgāk strādāt.

Šis ir matemātiskas pierādīšanas piemērs, izmantojot secinājumu noteikumus, ieskaitot Morgana likumus. Konkrēti tiek parādīts, ka formula:

Tas ir līdzvērtīgs:

Pēdējo ir vieglāk saprast un attīstīt.

Demonstrācija

Ir vērts pieminēt, ka Morgana likumu spēkā esamību var pierādīt matemātiski. Viens veids ir salīdzināt savas patiesības tabulas.

Komplekti

Tos pašus secinājumu noteikumus un loģikas priekšstatus, ko piemēro piedāvājumiem, var izstrādāt arī, ņemot vērā kopas. Tas ir tas, kas pēc matemātiķa Džordža Būla ir pazīstams kā Būla algebra.

Lai diferencētu gadījumus, ir jāmaina apzīmējums un jāpāriet uz kopām, visi jau redzētie priekšlikuma loģikas priekšstati.

Komplekts ir objektu kolekcija. Komplekti tiek apzīmēti ar lielajiem burtiem A, B, C, X, … un kopas elementus apzīmē ar mazajiem burtiem a, b, c, x utt. Ja elements a pieder X kopai, to apzīmē ar:

Ja tas nepieder X, apzīmējums ir šāds:

Komplektu attēlot var, ievietojot to elementus brekešu iekšpusē. Piemēram, dabisko skaitļu kopu attēlo:

Komplektus var attēlot arī nerakstot precīzu to elementu sarakstu. Tos var izteikt šādā formā: {:}. Kolu lasa "tāds, ka". Pa kreisi no diviem punktiem tiek novietots mainīgais, kas apzīmē kopas elementus, un labajā pusē ir novietots īpašums vai nosacījums, kuru tie apmierina. Tas ir:

Piemēram, veselo skaitļu kopu, kas lielāka par -4, var izteikt šādi:

Vai līdzvērtīgi un saīsināti kā:

Līdzīgi šādi izteicieni attēlo attiecīgi nepāra un pāra skaitļu kopas:

Savienību savienojums, krustojums un komplektu papildinājumi

Tālāk mēs redzēsim loģisko savienojumu analogus komplektu gadījumā, kas ir daļa no pamata operācijām starp kopām.

Savienība un krustojums

Komplektu savienība un krustojums tiek definēti attiecīgi šādi:

Piemēram, apsveriet komplektus:

Tātad, jums:

Papildinājums

Komplekta papildinājumu veido elementi, kas nepieder pie minētās kopas (tāda paša veida, kādu attēlo oriģināls). A kopas papildinājumu apzīmē ar:

Piemēram, dabisko skaitļu ietvaros pāra skaitļu kopas papildinājums ir nepāra skaitļu papildinājums, un otrādi.

Lai noteiktu komplekta komplementāciju, attiecīgajam elementam universālajam vai galvenajam kopumam jābūt skaidram jau pašā sākumā. Piemēram, tas nav tas pats, kas kopuma papildinājumu uzskatīt par naturāliem skaitļiem, kā par racionālu skaitļu.

Šajā tabulā parādīta saistība vai analoģija, kas pastāv starp operācijām iepriekš definētās kopās un piedāvājuma loģikas savienojumiem:

Morgana likumi komplektiem

Visbeidzot, Morgana likumi par komplektiem ir:

Vārdos: savienības papildinājums ir papildinājumu krustojums, un krustojuma papildinājums ir papildinājumu savienojums.

Pirmās vienlīdzības matemātiskais pierādījums būtu šāds:

Otrā pierādījums ir analogs.

Atsauces

1. Almaguers, G. (2002). Matemātika 1. Redakcija Limusa.
2. Ailvina, CU (2011). Loģika, komplekti un skaitļi. Mérida - Venecuēla: Publikāciju padome, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Ievads skaitļu teorijā. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Skaitļu teorijas pamatkurss. Ziemeļu universitāte.
5. Cofré, A., un Tapia, L. (1995). Kā attīstīt matemātisko loģisko spriešanu. Universitātes izdevniecība.
6. Guevara, MH (nd). Ciparu teorija. EUNED.
7. Saragosa, AC (sf). Skaitļu teorija Redakcijas vīzija Libros.