EKSPONENTU LIKUMI (AR PIEMĒRIEM UN ATRISINĀTIEM VINGRINĀJUMIEM) - MATEMĀTIKA - 2025

Ar likumi kāpinātājiem ir tie, kas attiecas uz šo numuru, kas norāda, cik reizes bāziskums ir jāreizina ar sevi. Eksponenti ir zināmi arī kā pilnvaras. Pilnvarošana ir matemātiska operācija, ko veido pamatne (a), eksponents (m) un jauda (b), kas ir operācijas rezultāts.

Eksponenti parasti tiek izmantoti, ja tiek izmantoti ļoti lieli daudzumi, jo tie nav nekas cits kā saīsinājumi, kas apzīmē viena un tā paša skaitļa reizināšanu noteiktu reižu. Eksponenti var būt gan pozitīvi, gan negatīvi.

Eksponentu likumu skaidrojums

Kā iepriekš minēts, eksponenti ir saīsināta forma, kas attēlo skaitļus reizinot ar sevi vairākas reizes, ja eksponents attiecas tikai uz numuru kreisajā pusē. Piemēram:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Tādā gadījumā skaitlis 2 ir jaudas pamatne, kas tiks reizināta 3 reizes, kā norāda eksponents, kas atrodas pamatnes augšējā labajā stūrī. Ir dažādi veidi, kā lasīt izteicienu: 2 paaugstināti līdz 3 vai arī 2 paaugstināti līdz kubam.

Eksponenti arī norāda, cik reizes tos var dalīt, un lai šo darbību atšķirtu no reizināšanas, eksponentam priekšā ir mīnus zīme (-) (tā ir negatīva), kas nozīmē, ka eksponents atrodas saucējā a. frakcija. Piemēram:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

To nevajadzētu sajaukt ar gadījumu, kad pamatne ir negatīva, jo tas būs atkarīgs no tā, vai eksponents ir nepāra, vai pat no tā, lai noteiktu, vai jauda būs pozitīva vai negatīva. Tātad jums:

- Ja eksponents ir vienmērīgs, jauda būs pozitīva. Piemēram:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Ja eksponents ir nepāra, jauda būs negatīva. Piemēram:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Pastāv īpašs gadījums, kad, ja eksponents ir vienāds ar 0, jauda ir vienāda ar 1. Pastāv arī iespēja, ka bāze ir 0; tādā gadījumā jauda būs nenoteikta vai nav atkarīga no eksponenta.

Lai veiktu matemātiskas operācijas ar eksponentiem, ir jāievēro vairāki noteikumi vai normas, kas atvieglo risinājumu atrašanu šīm operācijām.

Pirmais likums: eksponenta jauda ir vienāda ar 1

Kad eksponents ir 1, rezultāts būs tāds pats kā bāzes vērtība: a ¹ = a.

Piemēri

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Otrais likums: eksponenta jauda ir vienāda ar 0

Ja eksponents ir 0, ja bāze nav vienāda ar ^nulli, rezultāts būs: a ⁰ = 1.

Piemēri

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Trešais likums: negatīvs eksponents

Tā kā eksponāts ir negatīvs, rezultāts būs frakcija, kur saucējs būs jauda. Piemēram, ja m ir pozitīvs, tad a ^-m = 1 / a ^m .

Piemēri

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Ceturtais likums: pilnvaru reizināšana ar vienādu bāzi

Lai reizinātu jaudas, ja bāzes ir vienādas un atšķirīgas no 0, pamatne tiek turēta un pievienoti eksponenti: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Piemēri

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Piektais likums: varas dalīšana ar vienādu bāzi

Lai dalītu spēkus, kuros bāzes ir vienādas un atšķirīgas no 0, pamatne tiek turēta, un eksponenti tiek atņemti šādi: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Piemēri

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^oktobris = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49. ^decembris / 49 ⁶ = 49 ^(12–6) = 49 ⁶ .

Sestais likums: pilnvaru reizināšana ar atšķirīgu bāzi

Šis likums ir pretējs tam, kas izteikts ceturtajā; tas ir, ja jums ir dažādas bāzes, bet ar vieniem un tiem pašiem eksponentiem, bāzes tiek reizinātas un eksponents tiek turēts: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Piemēri

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Vēl viens veids, kā pārstāvēt šo likumu, ir reizinājums, kas tiek pacelts uz varu. Tādējādi eksponents piederēs katram no apzīmējumiem: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Piemēri

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Septītais likums: varas dalīšana ar atšķirīgu bāzi

Ja jums ir dažādas bāzes, bet ar vieniem un tiem pašiem eksponentiem, sadaliet pamatnes un turiet eksponentu: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Piemēri

- 30 ³ /2 ³ = (30/02) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5.5 ⁴ .

Līdzīgi, kad dalījums tiek palielināts līdz varai, eksponents piederēs katram no terminiem: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Piemēri

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Pastāv gadījums, kad eksponents ir negatīvs. Pēc tam, lai iegūtu pozitīvu vērtību, skaitītāja vērtība tiek apgriezta ar saucēja vērtību šādi:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (5/4) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Astotais likums: varas vara

Kad jums ir jauda, ​​kas tiek pacelta citai jaudai, tas ir, diviem eksponentiem vienlaikus, pamatne tiek uzturēta un eksponenti tiek reizināti: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Piemēri

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Devītais likums: daļējs eksponents

Ja jaudā ir daļa no eksponenta, to atrisina, pārveidojot to n-tajā saknē, kur skaitītājs paliek kā eksponents un saucējs apzīmē saknes indeksu:

Piemērs

Atrisināti vingrinājumi

1. vingrinājums

Aprēķiniet operācijas starp pilnvarām, kurām ir dažādas bāzes:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Risinājums

Piemērojot eksponentu noteikumus, bāzes tiek reizinātas skaitītājā un eksponents tiek uzturēts šādi:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Tagad, tā kā mums ir vienas un tās pašas bāzes, bet ar dažādiem eksponentiem, bāze tiek turēta un eksponenti tiek atņemti:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

2. vingrinājums

Aprēķiniet operācijas starp spēkiem, kas izvirzīti citai varai:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Risinājums

Piemērojot likumus, jums:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

Atsauces

1. Aponte, G. (1998). Matemātikas pamati. Pīrsona izglītība.
2. Corbalán, F. (1997). Matemātika, ko izmanto ikdienas dzīvē.
3. Jiménez, JR (2009). Matemātika 1 SEP.
4. Makss Peterss, WL (1972). Algebra un trigonometrija.
5. Rees, PK (1986). Atgriezties.