PERPENDIKULĀRA LĪNIJA: RAKSTUROJUMI, PIEMĒRI, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Perpendikulāra līnija ir tāda, kas veido leņķi, 90 ° attiecībā pret citu rindas, līkne vai virsma. Ņemiet vērā: ja divas līnijas ir perpendikulāras un atrodas vienā plaknē, tad, kad tās krustojas, tās veido četrus identiskus leņķus, katrs 90º.

Ja viens no leņķiem nav 90 °, līnijas tiek uzskatītas par slīpām. Perpendikulāras līnijas ir raksturīgas projektēšanā, arhitektūrā un konstrukcijā, piemēram, cauruļvadu tīkls šajā attēlā.

1. attēls. Cauruļu tīkls taisnā leņķī un daudzām perpendikulārām līnijām. Cik 90º leņķus var saskaitīt šajā attēlā? Avots: Piqsels.

Perpendikulāro līniju orientācija var būt dažāda, piemēram, parādīta zemāk:

2. attēls. Perpendikulāras līnijas plaknē. Avots: F. Zapata.

Neatkarīgi no stāvokļa līnijas, kas ir perpendikulāras viena otrai, tiek atpazītas, ar proraktora palīdzību identificējot leņķi starp tām kā 90 °.

Ņemiet vērā, ka atšķirībā no paralēlām līnijām plaknē, kas nekad nekrustojas, perpendikulāras līnijas to vienmēr dara punktā P, ko sauc par vienas līnijas pēdu otrā. Tāpēc arī divas perpendikulāras līnijas ir secīgas.

Jebkurai līnijai ir bezgalīgi perpendikulāri, jo, pārvietojot segmentu AB pa kreisi vai pa labi segmentā CD, mums būs jauni perpendikulāri ar citu pēdu.

Tomēr perpendikulu, kas iet tieši caur segmenta viduspunktu, sauc par šī segmenta bisektoru.

Perpendikulāru līniju piemēri

Pilsētas ainavā ir raksturīgas perpendikulāras līnijas. Šajā attēlā (3. attēls) ir uzsvērtas tikai dažas no daudzajām perpendikulārajām līnijām, kuras var redzēt šīs ēkas vienkāršajā fasādē un tās elementos, piemēram, durvīs, kanālos, pakāpienos un citur:

3. attēls. Uz šādas kopīgas ēkas fasādes ir liels skaits perpendikulāru līniju. Avots: Ričards Kangs, izmantojot Flickr.

Labi ir tas, ka trīs līnijas, kas ir perpendikulāras viena otrai, palīdz mums noteikt punktu un objektu atrašanās vietu telpā. Tās ir koordinātu asis, kas apzīmētas kā x ass, y ass un z ass, skaidri redzamas taisnstūrveida istabas stūrī, kā tas ir zemāk:

4. attēls. Dekarta ass sistēma sastāv no trim līnijām, kas ir perpendikulāras viena otrai, un katrai no tām ir preferenciāls virziens telpā. Kreisā attēla kredīti: treybunn 2 caur Flickr. Labais attēls; Needpix.

Pilsētas panorāmā labajā pusē ir pamanāms arī perpendikulārums starp debesskrāpi un zemi. Pirmais, ko mēs teiktu, ir gar z asi, bet zeme ir plakne, kas šajā gadījumā ir xy plakne.

Ja zeme veido xy plakni, debesskrāpis ir arī perpendikulārs jebkurai alejai vai ielai, kas garantē tās stabilitāti, jo slīpa struktūra ir nestabila.

Un ielās, visur, kur ir taisnstūrveida stūri, ir perpendikulāras līnijas. Daudzām alejām un ielām ir perpendikulārs izkārtojums, ja vien reljefs un ģeogrāfiskās īpašības to ļauj.

Lai izteiktu saīsinātu perpendikulitāti starp līnijām, segmentiem vai vektoriem, tiek izmantots simbols ⊥. Piemēram, ja līnija L ₁ ir perpendikulāra līnijai L ₂ , mēs rakstām:

L ₁ ⊥ L ₂

Vairāk perpendikulāru līniju piemēru

- Projektācijā perpendikulāras līnijas ir ļoti sastopamas, jo daudzu parasto objektu pamatā ir kvadrāti un taisnstūri. Šiem četrstūriem ir raksturīgs iekšējais leņķis 90 °, jo to malas ir paralēlas viena ar otru:

5. attēls. Kvadrāti un taisnstūri ir daļa no daudziem dizainparaugiem, piemēram, šī vienkāršā kartona kārba preču uzglabāšanai. Avots: F. Zapata.

- Lauki, kuros nodarbojas ar dažādiem sporta veidiem, ir norobežoti ar daudziem laukumiem un taisnstūriem. Tie savukārt satur perpendikulāras līnijas.

- Divi no segmentiem, kas veido taisnstūri, ir perpendikulāri viens otram. Tos sauc par kājām, bet atlikušo līniju sauc par hipotenūzi.

- Elektriskā lauka vektora līnijas ir perpendikulāras diriģenta virsmai elektrostatiskā līdzsvara stāvoklī.

- Lādētam vadītājam ekvipotenciālās līnijas un virsmas vienmēr ir perpendikulāras elektriskā lauka virsmām.

- Cauruļvados vai cauruļvadu sistēmās, ko izmanto dažāda veida šķidrumu, piemēram, gāzes, pārvadāšanai, kas parādīti 1. attēlā, parasti ir taisna leņķa elkoņi. Tāpēc tie veido perpendikulāras līnijas, piemēram, katlu telpa:

6. attēls. Caurules katlu telpā. Avots: Wikimedia Commons. Rodžers Maklaiss / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

Vingrinājumi

- 1. vingrinājums

Izmantojot lineālu un kompasu, uzzīmējiet divas perpendikulāras līnijas.

Risinājums

To ir ļoti vienkārši izdarīt, veicot šādas darbības:

- Pirmā līnija ir novilkta, to sauc par AB (melna).

-Augstāk (vai zemāk, ja vēlaties) AB atzīmējiet punktu P, caur kuru šķērsos perpendikulu. Ja P ir tieši virs (vai zem) no AB vidus, tas perpendikulārs ir segmenta AB bisektors.

-Ar kompasu, kura centrā ir P, uzzīmējiet apli, kas sagriež AB divos punktos, ko sauc par A 'un B' (sarkans).

-Kompass tiek atvērts A'P, tas ir centrā uz A 'un tiek uzvilkts apkārtmērs, kas iet caur P (zaļu).

-Atkārtojiet iepriekšējo darbību, bet tagad atveriet segmenta B'P garumu (zaļš). Abas perimetra loka krustojas punktā Q zem P un, protams, pēdējos.

-Punkti P un Q ir savienoti ar lineālu un perpendikulārā līnija (zilā krāsā) ir gatava.

-Visbeidzot, visas palīgkonstrukcijas ir rūpīgi jāizdzēš, atstājot tikai perpendikulāras.

6. attēls. Perpendikulāru līniju izsekošana ar lineālu un kompasu. Avots: Wikimedia Commons.

- 2. vingrinājums

Divas līnijas L ₁ un L ₂ ir perpendikulāras, ja to attiecīgais slīpums m ₁ un m ₂ atbilst šīm attiecībām:

m ₁ = -1 / m ₂

Ņemot līniju y = 5x - 2, atrodiet tai perpendikulāru līniju, kas iet caur punktu (-1, 3).

Risinājums

-Pirmais ir perpendikulārās līnijas slīpums m _⊥ , kā norādīts paziņojumā. Sākotnējās līnijas slīpums ir m = 5, koeficients, kas pavada "x". Tātad:

m _⊥ = -1/5

-Tad tiek izveidots perpendikulārās līnijas y _ation vienādojums _, aizstājot iepriekš atrasto vērtību:

y _⊥ = -1 / 5x + b

-Tālāk b vērtību nosaka ar teikuma piešķirtā punkta (-1,3) palīdzību, jo perpendikulārajai līnijai tai jāiet cauri:

y = 3

x = -1

Aizstāj:

3 = -1/5 (-1) + b

Atrisiniet b vērtību:

b = 3- (1/5) = 14/5

-Visbeidzot, tiek izveidots galīgais vienādojums:

un _⊥ = -1 / 5x + 14/5

Atsauces

1. Baldor, A. 2004. Plaknes un kosmosa ģeometrija. Kultūras publikācijas.
2. Clemens, S. 2001. Ģeometrija ar lietojumprogrammām un problēmu risināšanu. Adisons Veslijs.
3. Matemātika ir jautra. Perpendikulāras līnijas. Atgūts no: mathisfun.com.
4. Monterejas institūts. Perpendikulāras līnijas. Atgūts no: montereyinstitute.org.
5. Wikipedia. Perpendikulāras līnijas. Atgūts no: es.wikipedia.org.