- Izcelsme un vēsture
- Aristotelis
- Ko pēta matemātiskā loģika?
- Priekšlikumi
- Patiesības galdi
- Matemātiskās loģikas veidi
- Apgabali
- Atsauces
Matemātiskā loģika vai simboliska loģika ir matemātiska valoda, kas ietver instrumentus, ar kuru palīdzību var apstiprināt vai noliegt matemātisko pamatojumu.
Ir labi zināms, ka matemātikā nav neviennozīmību. Ņemot vērā matemātisku argumentu, tas ir vai nu derīgs, vai arī vienkārši nav. Tas vienlaikus nevar būt nepatiess un patiess.
Īpašs matemātikas aspekts ir tas, ka tai ir formāla un precīza valoda, pēc kuras var noteikt argumenta pamatotību. Kas ir tas, kas noteiktu pamatojumu vai jebkuru matemātisku pierādījumu padara par neatspēkojamu? Tieši tā ir matemātiskā loģika.
Tādējādi loģika ir matemātikas disciplīna, kas ir atbildīga par matemātiskās argumentācijas un pierādījumu izpēti un rīku nodrošināšanu, lai varētu izdarīt pareizus secinājumus no iepriekšējiem apgalvojumiem vai priekšlikumiem.
Lai to izdarītu, tiek izmantotas aksiomas un citi matemātiski aspekti, kas tiks izstrādāti vēlāk.
Izcelsme un vēsture
Precīzi datumi attiecībā uz daudziem matemātiskās loģikas aspektiem nav skaidri. Tomēr lielākā daļa bibliogrāfiju par šo tēmu izseko tās izcelsmei senajā Grieķijā.
Aristotelis
Stingras loģikas traktējuma sākums daļēji tiek attiecināts uz Aristoteli, kurš uzrakstīja loģikas darbu kopumu, kurus vēlāk līdz viduslaikiem sastādīja un izstrādāja dažādi filozofi un zinātnieki. To varētu uzskatīt par "veco loģiku".
Vēlāk, tā sauktajā mūsdienu laikmetā, Leibnizu aizkustināja dziļa vēlme izveidot universālu valodu, lai pamatotu matemātiku, un citi matemātiķi, piemēram, Gottlob Frege un Giuseppe Peano, ar lielu ieguldījumu ievērojami ietekmēja matemātiskās loģikas attīstību. , starp tām, Peano aksiomas, kas formulē dabisko skaitļu neaizstājamās īpašības.
Šajā laikā liela ietekme bija arī matemātiķiem Džordžam Būlam un Georgam Kantoram, ar nozīmīgu ieguldījumu noteiktās teorijas un patiesības tabulās, cita starpā izceļot Būla algebru (Džordža Būla) un izvēles aksiomu (autors Džordžs Kantors).
Ir arī Augustus De Morgan ar labi zināmajiem Morgan likumiem, kas paredz negatīvas, savienojošas, disjunkcijas un nosacījumus starp priekšlikumiem, simboliskās loģikas attīstības atslēgas un Džonu Vennu ar slavenajām Vennas diagrammām.
20. gadsimtā, aptuveni laikā no 1910. līdz 1913. gadam, Bertrands Rasels un Alfrēds Ziemeļboldheads izceļas ar publicēto Principia mateica - grāmatu kopu, kas apkopo, izstrādā un postulē virkni aksiomu un loģikas rezultātu.
Ko pēta matemātiskā loģika?
Priekšlikumi
Matemātiskā loģika sākas ar pieņēmumu izpēti. Piedāvājums ir apgalvojums, ko var pateikt bez neviennozīmības, ja tas ir taisnība vai nē. Piedāvājumu piemēri ir šādi:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- 1930. gadā Eiropā notika zemestrīce.
Pirmais ir patiess apgalvojums, bet otrais - nepatiess apgalvojums. Trešais, kaut arī persona, kas to lasa, var nezināt, vai tā ir patiesa vai tūlītēja, ir paziņojums, kuru var pārbaudīt un noteikt, vai tas tiešām ir noticis.
Šie ir izteicienu, kas nav apgalvojumi, piemēri:
- Viņa ir blondīne.
- 2x = 6.
- Uzspēlējam!
- Vai tev patīk filmas
Pirmajā priekšlikumā nav norādīts, kas ir viņa, tāpēc neko nevar apstiprināt. Otrajā priekšlikumā nav norādīts, ko apzīmē “x”. Ja tā vietā teiktu, ka 2x = 6 kādam dabiskajam skaitlim x, šajā gadījumā tas atbilst apgalvojumam, patiesībā taisnība, jo x = 3 tas ir izpildīts.
Pēdējie divi apgalvojumi neatbilst apgalvojumam, jo nav iespēju tos noliegt vai apstiprināt.
Divus vai vairākus piedāvājumus var apvienot (vai savienot), izmantojot labi zināmus loģiskos savienojumus (vai savienotājus). Šie ir:
- Noliegums: "Lietus nelīst."
- Atdalīšana: "Luisa nopirka baltu vai pelēku maisu."
- Savienojums: "4 2 = 16 un 2 × 5 = 10".
- Nosacīti: "Ja līst, tad šopēcpusdien es uz sporta zāli neiešu."
- Bicondition: "Es dodos uz sporta zāli šopēcpusdienā tikai tad, ja nav lietus."
Piedāvājumu, kam nav neviena no iepriekšējiem savienojumiem, sauc par vienkāršu (vai atomu) ierosinājumu. Piemēram, "2 ir mazāks par 4" ir vienkāršs piedāvājums. Piedāvājumus, kuriem ir kāda saistoša, sauc par saliktiem piedāvājumiem, piemēram, "1 + 3 = 4 un 4 ir pāra skaitlis."
Paziņojumi, kas izteikti, izmantojot priekšlikumus, parasti ir gari, tāpēc ir apgrūtinoši tos vienmēr rakstīt tā, kā redzams līdz šim. Šī iemesla dēļ tiek izmantota simboliska valoda. Priekšlikumus parasti attēlo ar lielajiem burtiem, piemēram, P, Q, R, S utt. Un šādi simboliski savienojumi:
Tā ka
Converse par nosacītu piedāvājums
ir priekšlikums
Un priekšlikuma pretēji abpusējs (vai pretstats)
ir priekšlikums
Patiesības galdi
Vēl viens svarīgs loģikas jēdziens ir patiesības tabulas. Piedāvājuma patiesās vērtības ir divas piedāvājuma iespējas: patiesa (kuru apzīmēs ar V un tiks teikts, ka tā patiesā vērtība ir V) vai nepatiesa (kuru apzīmēs ar F un tiks teikts, ka tā vērtība tiešām ir F).
Saliktā piedāvājuma patiesā vērtība ir atkarīga tikai no tajā ietverto vienkāršo apgalvojumu patiesības vērtībām.
Lai strādātu vispārīgāk, mēs neapsvērsim konkrētus piedāvājumus, bet piedāvājuma mainīgos lielumus p, q, r, s utt., Kas attēlo jebkurus piedāvājumus.
Izmantojot šos mainīgos un loģiskos savienojumus, tiek veidotas plaši pazīstamās piedāvājuma formulas, tāpat kā tiek veidoti saliktie priekšlikumi.
Ja katru no mainīgajiem, kas parādās piedāvājuma formulā, aizstāj ar ierosinājumu, tiek iegūts salikts piedāvājums.
Zemāk ir loģisko savienojumu patiesības tabulas:
Ir piedāvājošas formulas, kuras patiesības tabulā saņem tikai vērtību V, tas ir, viņu patiesības tabulas pēdējā kolonnā ir tikai vērtība V. Šos formulas veidus sauc par tautoloģijām. Piemēram:
Tālāk sniegta formulas patiesības tabula
Teicams, ka formula α loģiski nozīmē citu formulu β, ja α ir patiesa katru reizi, kad β ir patiesa. Tas ir, α un β patiesības tabulā rindas, kurās α ir V, β ir arī V. Mūs interesē tikai tās rindas, kurās α ir vērtība V. Apzīmējums loģiskajai implikācijai ir šāds: :
Šajā tabulā ir apkopotas loģiskās implicēšanas īpašības:
Divas piedāvājuma formulas tiek uzskatītas par loģiski līdzvērtīgām, ja to patiesības tabulas ir identiskas. Loģiskās ekvivalences izteikšanai tiek izmantots šāds apzīmējums:
Šādas tabulas apkopo loģiskās ekvivalences īpašības:
Matemātiskās loģikas veidi
Pastāv dažādi loģikas veidi, it īpaši, ja cita starpā ņem vērā arī pragmatisko vai neformālo loģiku, kas norāda uz filozofiju.
Ciktāl tas attiecas uz matemātiku, loģikas veidus varētu apkopot šādi:
- Formāla vai aristoteliāla loģika (senā loģika).
- Propozīcijas loģika: tā ir atbildīga par visa, kas saistīts ar argumentu un ierosinājumu pamatotību, izpēti, izmantojot formālo un simbolisko valodu.
- Simboliskā loģika: koncentrējas uz kopu un to īpašību izpēti, arī ar formālo un simbolisko valodu, un ir cieši saistīta ar piedāvājuma loģiku.
- Kombinatoriskā loģika: viena no nesen izstrādātajām, ietver rezultātus, kurus var izstrādāt, izmantojot algoritmus.
- Loģiskā programmēšana: izmanto dažādās pakotnēs un programmēšanas valodās.
Apgabali
Starp jomām, kuras matemātisko loģiku savā argumentācijas un argumentu izstrādē izmanto neaizstājamā veidā, izceļas filozofija, kopu teorija, skaitļu teorija, algebriskā konstruktīvā matemātika un programmēšanas valodas.
Atsauces
- Ailvina, CU (2011). Loģika, komplekti un skaitļi. Mérida - Venecuēla: Publikāciju padome, Universidad de Los Andes.
- Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Ievads skaitļu teorijā. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Skaitļu teorijas pamatkurss. Ziemeļu universitāte.
- Cofré, A., un Tapia, L. (1995). Kā attīstīt matemātisko loģisko spriešanu. Universitātes izdevniecība.
- Saragosa, AC (sf). Skaitļu teorija Redakcijas vīzija Libros.