Lineāro interpolācijas ir metode, kas radies vispārējs Newton interpolāciju un tuvināšana, lai noteiktu, par nezināmu vērtību, kas ir starp diviem dotajiem skaitļiem; tas ir, tiek atrasta starpposma vērtība. To piemēro arī aptuvenām funkcijām, kur ir zināmas vērtības f (a) un f (b) un mēs vēlamies zināt f (x) starpposmu .
Pastāv dažādi interpolācijas veidi, piemēram, lineāra, kvadrātiska, kubiska un augstāka pakāpe, no kuriem vienkāršākais ir lineārā tuvinājums. Cena, kas jāmaksā ar lineāro interpolāciju, ir tāda, ka rezultāts nebūs tik precīzs kā tuvinājumiem, izmantojot augstāku grādu funkcijas.
Definīcija
Lineārā interpolācija ir process, kas ļauj izsecināt vērtību starp divām precīzi definētām vērtībām, kas var būt tabulā vai līnijas diagrammā.
Piemēram, ja jūs zināt, ka 3 litri piena ir vērts 4 USD un ka 5 litri ir USD 7, bet jūs vēlaties zināt, kāda ir 4 litru piena vērtība, interpolējat, lai noteiktu šo starpposma vērtību.
Metode
Lai novērtētu funkcijas starpposma vērtību, funkciju f (x) tuvina ar līnijas r (x) palīdzību , kas nozīmē, ka funkcija mainās lineāri ar «x» sekcijai «x = a» un «x = b "; tas ir, vērtībai "x" intervālā (x 0 , x 1 ) un (y 0 , y 1 ) "y" vērtību norāda ar līniju starp punktiem un izsaka ar šādu attiecību:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Lai interpolācija būtu lineāra, interpolācijas polinomam jābūt pirmās pakāpes (n = 1), lai tas atbilstu x 0 un x 1 vērtībām .
Lineārās interpolācijas pamatā ir trīsstūru līdzība tādā veidā, ka, ģeometriski iegūstot no iepriekšējās izteiksmes, var iegūt "y" vērtību, kas apzīmē nezināmu "x" vērtību.
Tādā veidā jums:
a = iedegums Ɵ = (pretējā kāja 1 ÷ blakus esošā kāja 1 ) = (pretējā kāja 2 ÷ blakus esošā kāja 2 )
Izteikts citā veidā, tas ir:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Risinot “un” no izteikumiem, mums ir:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Tādējādi iegūst vispārējo lineārās interpolācijas vienādojumu:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Kopumā lineārā interpolācija rada nelielu kļūdu patiesās funkcijas patiesajā vērtībā, kaut arī kļūda ir minimāla salīdzinājumā ar to, ja intuitīvi izvēlaties skaitli, kas tuvs tam, kuru vēlaties atrast.
Šī kļūda rodas, mēģinot tuvināt līknes vērtību ar taisnu līniju; Šajos gadījumos intervāla lielums ir jāsamazina, lai tuvināšana būtu precīzāka.
Lai iegūtu labākus tuvinājuma rezultātus, interpolācijas veikšanai ieteicams izmantot 2, 3 vai pat augstākas pakāpes funkcijas. Šajos gadījumos Teilora teorēma ir ļoti noderīgs rīks.
Atrisināti vingrinājumi
1. vingrinājums
Inkubācijā esošo baktēriju skaits tilpuma vienībā pēc x stundām ir parādīts nākamajā tabulā. Jūs vēlaties zināt, kāds ir baktēriju daudzums 3,5 stundas.
Risinājums
Atsauces tabulā nav noteikta vērtība, kas norāda baktēriju daudzumu uz 3,5 stundām, bet ir augšējā un apakšējā vērtība, kas attiecīgi atbilst 3 un 4 stundām. Tādā veidā:
x 0 = 3 un 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 un 1 = 135
Tagad, lai atrastu interpolēto vērtību, tiek izmantots matemātiskais vienādojums:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Tad atbilstošās vērtības tiek aizstātas:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Tādējādi tiek iegūts, ka 3,5 stundas baktēriju skaits ir 113, kas ir starpposma līmenis starp baktēriju daudzumu, kas pastāv 3 un 4 stundu laikā.
2. vingrinājums
Luisam ir saldējuma ražotne, un viņš vēlas veikt pētījumu, lai noteiktu ienākumus, kas viņam bija augustā, pamatojoties uz veiktajiem izdevumiem. Uzņēmuma administrators sastāda diagrammu, kas izsaka šīs attiecības, bet Luiss vēlas zināt:
Kādi ir augusta ienākumi, ja ir radušies izdevumi USD 55 000 apmērā?
Risinājums
Tiek parādīta diagramma ar ienākumu un izdevumu vērtībām. Luiss vēlas uzzināt, kādi ir ienākumi par augustu, ja rūpnīcai būtu izdevumi 55 000 USD. Šī vērtība nav tieši atspoguļota diagrammā, bet vērtības ir augstākas un zemākas par šo.
Vispirms tiek izveidota tabula, kur viegli sasaistīt vērtības:
Tagad, lai tādējādi noteiktu y vērtību, tiek izmantota interpolācijas formula
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Tad atbilstošās vērtības tiek aizstātas:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = 68 936 USD.
Ja augustā tika veikti izdevumi 55 000 USD apmērā, ienākumi bija 68 936 USD.
Atsauces
- Artūrs Gudmens, LH (1996). Algebra un trigonometrija ar analītisko ģeometriju. Pīrsona izglītība.
- Harpe, P. d. (2000). Ģeometrisko grupu teorijas tēmas. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineārā interpolācija ", matemātikas enciklopēdija.
- , JM (1998). Inženierijas skaitlisko metožu elementi. UASLP.
- , E. (2002). Interpolācijas hronoloģija: no senās astronomijas līdz mūsdienu signālu un attēlu apstrādei. IEEE darbi.
- skaitlisks, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.