PITAGORA IDENTITĀTES: DEMONSTRĀCIJA, PIEMĒRS, VINGRINĀJUMI - MATEMĀTIKA - 2025

Pitagora identitātes ir visi trigonometriskie vienādojumi, kas attiecas uz jebkuru leņķa vērtību un ir balstīti uz Pitagora teorēmu. Visslavenākā no Pitagora identitātēm ir pamata trigonometriskā identitāte:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

1. attēls. Pitagora trigonometriskās identitātes.

Nākamais svarīgums, un es izmantoju pieskares un sekvences Pitagora identitāti:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

Un Pitagora trigonometriskā identitāte, kas saistīta ar koaģentu un kazekantu:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

Demonstrācija

Trigonometriskās attiecības sinusu un kosinusu attēlo uz viena rādiusa apli (1), kas pazīstams kā trigonometriskais aplis. Minētā loka centrā ir koordinātu O sākums.

Leņķus mēra no Xs pozitīvās pusass, piemēram, leņķis α, kas parādīts 2. attēlā (skatīt zemāk). Pretēji pulksteņrādītāja virzienam, ja leņķis ir pozitīvs, un pulksteņa rādītāja virzienā, ja tas ir negatīvs leņķis.

Tiek novilkts stars ar O sākumu un leņķi α, kas pārtver vienības apli P punktā. P punkts tiek izvirzīts ortogonāli uz horizontālās ass X, veidojot punktu C. Līdzīgi P tiek projicēts perpendikulāri uz vertikālās ass Y, dodot P vieta uz punktu S.

Mums ir taisnais trīsstūris OCP pie C.

Sinus un kosinuss

Jāatceras, ka trigonometriskā koeficienta sinuss uz taisnstūra ir noteikts šādi:

Trijstūra leņķa sinuss ir attiecība vai koeficients starp kāju, kas atrodas pretī leņķim, un trijstūra hipotenūzi.

Pielietojot 2. attēla trīsstūri OCP, tas izskatās šādi:

Sen (α) = CP / OP

bet CP = OS un OP = 1, tā, ka:

Sen (α) = OS

Kas nozīmē, ka projekcijas OS uz Y ass ir vērtība, kas vienāda ar parādītā leņķa sinusu. Jāatzīmē, ka leņķa (+1) sinusa maksimālā vērtība rodas, ja α = 90 °, un minimālā (-1), ja α = -90 ° vai α = 270 °.

2. attēls. Trigonometriskais aplis, kas parāda saistību starp Pitagora teorēmu un pamata trigonometrisko identitāti. (Pašu izstrādāts)

Līdzīgi leņķa kosinuss ir koeficients starp leņķim piegulošo kāju un trīsstūra hipotenūzi.

Pielietojot 2. attēla trīsstūri OCP, tas izskatās šādi:

Košs (α) = OC / OP

bet OP = 1, tā, ka:

Košs (α) = OC

Tas nozīmē, ka projekcijai OC uz X ass ir vērtība, kas vienāda ar parādītā leņķa sinusu. Jāatzīmē, ka kosinusa maksimālā vērtība (+1) rodas, ja α = 0º vai α = 360º, bet kosinusa minimālā vērtība ir (-1), ja α = 180º.

Pamata identitāte

Labajam trīsstūrim OCP, kas izteikts C, tiek pielietota Pitagora teorēma, kas nosaka, ka kāju kvadrātu summa ir vienāda ar hipotenūza kvadrātu:

CP ² + OC ² = OP ²

Bet jau tika teikts, ka CP = OS = Sen (α), ka OC = Cos (α) un ka OP = 1, tāpēc iepriekšējo izteiksmi var pārrakstīt kā leņķa sinusa un kosinusa funkciju:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

Pieskares ass

Tāpat kā X ass trigonometriskajā aplī ir kosinusa ass un Y ass sinusa ass, tādā pašā veidā ir pieskares ass (sk. 3. attēlu), kas ir precīzi pieskares līnija vienības lokam punktā. B koordinātu (1, 0).

Ja vēlaties uzzināt leņķa pieskares vērtību, leņķis tiek novilkts no X pozitīvās pusass, leņķa krustpunkts ar pieskares asi nosaka punktu Q, segmenta OQ garums ir leņķis.

Tas ir tāpēc, ka pēc definīcijas leņķa α pieskare ir pretējās kājas QB starp blakus esošo kāju OB. Tas ir, Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

3. attēls. Trigonometriskais aplis, kas parāda pieskares asi un pieskares Pitagora identitāti. (Pašu izstrādāts)

Pieskares Pitagora identitāte

Pieskares Pitagora identitāti var pierādīt, ņemot vērā labo trīsstūri OBQ pie B (3. attēls). Piemērojot Pitagora teorēmu šim trīsstūram, mums ir BQ ² + OB ² = OQ ² . Bet jau tika teikts, ka BQ = Tan (α), ka OB = 1 un ka OQ = Sec (α), tā kā Pitagora vienādojumā aizstājot pareizo trīsstūri OBQ, mums ir:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α).

Piemērs

Pārbaudiet, vai Pitagora identitāte ir izpildīta kāju labajā trīsstūrī AB = 4 un BC = 3.

Risinājums: kājas ir zināmas, jānosaka hipotenūza, kas ir:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

Leņķi ∡BAC sauks par α, ∡BAC = α. Tagad ir noteiktas trigonometriskās attiecības:

Sen α = BC / AC = 3/5

Kos α = AB / AC = 4/5

Tātad α = BC / AB = 3/4

Kotāns α = AB / BC = 4/3

Sec α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

Tas sākas ar pamata trigonometrisko identitāti:

Sin ² (α) + Cos ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

Tiek secināts, ka tas ir izpildīts.

- Nākamā Pitagora identitāte ir tangences identitāte:

Tan ² (α) + 1 = Sec ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

Un tiek secināts, ka tiek pārbaudīta pieskares identitāte.

- līdzīgi kā ar koaģentu:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

Secināts, ka tas ir arī izpildīts, ar kuru ir pabeigts uzdevums pārbaudīt pitagora identitātes dotajam trīsstūrim.

Atrisināti vingrinājumi

Pierādiet šādas identitātes, pamatojoties uz trigonometrisko attiecību un Pitagora identitāšu definīcijām.

1. vingrinājums

Pierādiet, ka Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x).

Risinājums: labajā pusē mēs atzīmējam ievērojamo divdomīgo koeficienta reizinājumu ar tā konjugātu, kas, kā mēs zinām, ir kvadrātu atšķirība:

Cos ² x = 1 ² - Sin ² x

Pēc tam termins ar sinusu labajā pusē pāriet uz kreiso pusi ar mainītu zīmi:

Cos ² x + Sen ² x = 1

Atzīmējot, ka ir sasniegta pamata trigonometriskā identitāte, tāpēc tiek secināts, ka dotā izteiksme ir identitāte, tas ir, tā ir taisnība jebkurai x vērtībai.

2. vingrinājums

Sākot ar pamata trigonometrisko identitāti un izmantojot trigonometrisko attiecību definīcijas, parādiet cosekanta Pitagora identitāti.

Risinājums: Pamata identitāte ir:

Sin ² (x) + Cos ² (x) = 1

Abus locekļus dala ar Sen ² (x), un saucējs tiek sadalīts pirmajā loceklī:

Sin ² (x) / Sin ² (x) + Cos ² (x) / Sin ² (x) = 1 / Sin ² (x)

Tas ir vienkāršots:

1 + (Kos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Kos (x) / Sen (x) = Kotāns (x) ir (nav Pitagora) identitāte, ko apstiprina ar pašu trigonometrisko attiecību definīciju. Tas pats notiek ar šādu identitāti: 1 / Sen (x) = Csc (x).

Visbeidzot:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

Atsauces

1. Baldors J. (1973). Plaknes un kosmosa ģeometrija ar ievadi trigonometrijā. Centrālamerikas kultūras. AC
2. CEA (2003). Ģeometrijas elementi: ar vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
3. Kamposs, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemātika 2. Grupo Editorial Patria.
4. IGER. (sf). Matemātikas pirmais semestris Tacaná. IGER.
5. Jr ģeometrija. (2014). Daudzstūris. Lulu Press, Inc.
6. Millers, Heerēns un Hornsbijs. (2006). Matemātika: pamatojums un pielietojums (desmitais izdevums). Pīrsona izglītība.
7. Patiño, M. (2006). Matemātika 5. Redakcija Progreso.
8. Wikipedia. Trigonometrijas identitātes un formulas. Atgūts no: es.wikipedia.com