HOMOTEHIJA: ĪPAŠĪBAS, VEIDI UN PIEMĒRI - MATEMĀTIKA - 2025

Dilatācija ir ģeometriskais izmaiņas plaknē, kas no fiksētas sauc centrā (O), attālumi tiek reizināts ar kopējo koeficientu. Tādā veidā katrs punkts P atbilst citam transformācijas punkta P 'produktam, un tie ir izlīdzināti ar punktu O.

Tātad homotehija ir par divu ģeometrisko figūru korespondenci, kur pārveidotos punktus sauc par homotētiskiem, un tie ir saskaņoti ar fiksētu punktu un ar segmentiem, kas ir paralēli viens otram.

Homotehija

Homotehija ir transformācija, kurai nav saskaņota attēla, jo no figūras tiks iegūts viens vai vairāki skaitļi, kas ir lielāki vai mazāki par oriģinālo; tas ir, ka homoteksija daudzstūri pārveido par citu līdzīgu.

Lai homofīcija tiktu izpildīta, punktam-punktam un līnijai līdz līnijai ir jāatbilst, lai homologo punktu pāri būtu saskaņoti ar trešo fiksēto punktu, kas ir homotezijas centrs.

Tāpat līniju pāriem, kas tiem pievienojas, jābūt paralēliem. Attiecības starp šādiem segmentiem ir nemainīgas, ko sauc par homotitātes koeficientu (k); tādā veidā, ka homoteziju var definēt kā:

Lai veiktu šāda veida pārveidi, mēs vispirms izvēlamies patvaļīgu punktu, kas būs homotezijas centrs.

No šī brīža katrai pārveidojamā figūras virsotnei tiek novilkti līnijas segmenti. Jaunās figūras reproducēšanas skala tiek piešķirta ar homotēzijas attiecību (k).

Īpašības

Viena no homotehijas galvenajām īpašībām ir tā, ka ar homotētisko iemeslu (k) visi homotētiskie skaitļi ir līdzīgi. Starp citiem izciliem īpašumiem ir šādi:

- homotēzijas centrs (O) ir vienīgais dubultā punkts, un tas tiek pārveidots par sevi; tas ir, tas neatšķiras.

- Līnijas, kas iet caur centru, tiek pārveidotas pašas par sevi (tās ir dubultas), bet punkti, kas to veido, nav dubultā.

- līnijas, kas neiet cauri centram, tiek pārveidotas par paralēlām līnijām; šādā veidā homotēzijas leņķi paliek nemainīgi.

- Segmenta attēls ar centra O homotezitāti un attiecību k, ir tam paralēls segments, kura garums ir k reizināts. Piemēram, kā redzams šajā attēlā, segments AB pēc homotēzes radīs citu segmentu A'B ', piemēram, AB būs paralēls A'B' un k būs:

- homotētiski leņķi ir saskanīgi; tas ir, viņiem ir viens un tas pats pasākums. Tāpēc leņķa attēls ir leņķis, kam ir tāda pati amplitūda.

No otras puses, mums ir tāda, ka homotīcija mainās atkarībā no tā attiecības (k) vērtības, un var rasties šādi gadījumi:

- Ja konstante k = 1, visi punkti ir fiksēti, jo tie sevi pārveido. Tādējādi homotētiskā figūra sakrīt ar sākotnējo, un transformāciju sauks par identitātes funkciju.

- Ja k ≠ 1, tad vienīgais fiksētais punkts būs homotētiskās (O) centrs.

- Ja k = -1, homotīcija kļūst par centrālo simetriju (C); ti, notiek rotācija ap C, leņķī 180 ^vai .

- Ja k> 1, pārveidotās figūras izmērs būs lielāks par oriģināla izmēru.

- Ja 0 <k <1, pārveidotās figūras izmērs būs mazāks nekā oriģināls.

- Ja -1 <k <0, pārveidotās figūras izmērs būs mazāks, un tas tiks pagriezts attiecībā pret oriģinālu.

- Ja k <-1, pārveidotās figūras izmērs būs lielāks un tas tiks pagriezts attiecībā pret oriģinālu.

Veidi

Atkarībā no tā attiecības vērtības (k) homoteciju var iedalīt divos veidos:

Tieša homotezija

Tas notiek, ja konstante k> 0; tas ir, homotētiskie punkti ir vienā pusē attiecībā pret centru:

Proporcionalitātes koeficients vai līdzības attiecība starp tiešajiem homotētiskajiem skaitļiem vienmēr būs pozitīva.

Apgrieztā homotēzija

Tas notiek, ja konstante k <0; tas ir, sākotnējie punkti un to homotētika atrodas pretējos galos attiecībā pret homotētikas centru, bet ir saskaņoti ar to. Centrs atradīsies starp abiem skaitļiem:

Proporcionālais koeficients vai līdzības attiecība starp apgrieztajiem homotētiskajiem skaitļiem vienmēr būs negatīva.

Sastāvs

Ja tiek veiktas vairākas kustības pēc kārtas, līdz iegūst skaitli, kas vienāds ar oriģinālu, rodas kustību sastāvs. Vairāku kustību sastāvs ir arī kustība.

Sastāvs starp divām homotēzēm rada jaunu homoteziju; tas ir, ir tāds homotētiju produkts, kurā centrs tiks izlīdzināts ar divu sākotnējo pārvērtību centru, un attiecība (k) ir abu attiecību rezultāts.

Tādējādi divu homotētiju H ₁ (O ₁ , k ₁ ) un H ₂ (O ₂ , k ₂ ) kompozīcijā, reizinot to attiecību: k ₁ xk ₂ = 1, tiks iegūts homotētības koeficients k ₃ = k ₁ xk ₂ . Šīs jaunās homotezijas (O ₃ ) centrs atradīsies uz līnijas O ₁ O ₂ .

Homotēzija atbilst plakanām un neatgriezeniskām izmaiņām; Ja tiek izmantotas divas homotēzijas, kurām ir vienāds centrs un attiecība, bet ar atšķirīgu zīmi, tiks iegūts oriģināls attēls.

Piemēri

Pirmais piemērs

Pielieciet homotēzi dotajam centra (O) daudzstūrim, kas atrodas 5 cm attālumā no punkta A un kura attiecība ir k = 0,7.

Risinājums

Par homotezijas centru tiek izvēlēts jebkurš punkts, un no šī punkta stari tiek vilkti caur figūras virsotnēm:

Attālums no centra (O) līdz punktam A ir OA = 5; Ar to var noteikt attālumu starp vienu no homotētiskajiem punktiem (OA '), arī zinot, ka k = 0,7:

OA '= kx OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Procesu var veikt katrai virsotnei, vai arī var sastādīt homotētisko daudzstūri, atceroties, ka abiem daudzstūriem ir paralēlas malas:

Visbeidzot, transformācija izskatās šādi:

Otrais piemērs

Uzliek homoteciju dotajam daudzstūrim ar centru (O), kas atrodas 8,5 cm attālumā no punkta C un kura y attiecība k = -2.

Risinājums

Attālums no centra (O) līdz punktam C ir OC = 8,5; Izmantojot šos datus, ir iespējams noteikt attālumu no viena no homotētiskajiem punktiem (OC '), arī zinot, ka k = -2:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

Pēc pārveidotā daudzstūra virsotņu segmentu uzzīmēšanas mums sākotnējie punkti un to homotētika atrodas pretējos galos attiecībā pret centru:

Atsauces

1. Álvaro Rendón, AR (2004). Tehniskais zīmējums: aktivitātes piezīmju grāmatiņa.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, JL (2002). Affinitāte, homoloģija un homothecy.
3. Bērs, R. (2012). Lineārā algebra un projektīvā ģeometrija. Kurjeru korporācija.
4. Heberts, Y. (1980). Vispārīgā matemātika, varbūtības un statistika.
5. Meserve, BE (2014). Ģeometrijas pamatjēdzieni. Kurjeru korporācija.
6. Načbins, L. (1980). Ievads algebrā. Atgriezties.