- Kādas ir dimensijas?
- Trīsdimensiju telpa
- Ceturtā dimensija un laiks
- Hiperkuba koordinātas
- Hiperkuba atlocīšana
- Atsauces
Hiperkubs ir kubs dimensijas n. Konkrēto četrdimensiju hiperkuba gadījumu sauc par tesseraktu. Hiperkubs vai n-kubs sastāv no taisniem segmentiem, visiem vienāda garuma, kas ir taisnleņķi to virsotnēs.
Cilvēki uztver trīsdimensiju telpu: platumu, augstumu un dziļumu, bet mums nav iespējams vizualizēt hiperkubu, kura dimensija ir lielāka par 3.
1. attēls. 0 kubs ir punkts, ja šis punkts sniedzas tādā virzienā, kādā attālums a veido 1 kubu, ja tas 1 kubs pagarina attālumu a ortogonālā virzienā, mums ir 2 kubi (no malas no x līdz a), ja 2-kubs iziet attālumu a taisnleņķa virzienā, mums ir 3-kubs. Avots: F. Zapata.
Mēs to varam pārstāvēt trīsdimensiju telpā, līdzīgi kā mēs to projicējam plaknē.
Otrajā dimensijā vienīgais skaitlis ir punkts, tāpēc 0 kubs ir punkts. 1 kubs ir taisns segments, kuru veido, pārvietojot punktu vienā virzienā attālumā a.
Savukārt 2 kubi ir kvadrāts. To konstruē, nobīdot 1 kubu (a garuma segmentu) y virzienā, kas ir perpendikulārs x virzienam, attālumā a.
3 kubs ir parastais kubs. To veido no kvadrāta, pārvietojot to trešajā virzienā (z), kas ir perpendikulārs x un y virzieniem, ar attālumu a.
2. attēls. 4 kubs (tesseraktīvs) ir 3 kubu pagarinājums ortogonālā virzienā uz trim parastajiem telpiskajiem virzieniem. Avots: F. Zapata.
4-kubs ir tekstakta objekts, kas veidots no 3-kubu, pārvietojot to perpendikulāri, attālumā a, ceturtajā dimensijā (vai ceturtajā virzienā), ko mēs nevaram uztvert.
Tekstilaktam ir visi taisnie leņķi, tam ir 16 virsotnes, un visām tā malām (kopumā 18) ir vienāds garums a.
Ja n izmēra n-veida kuba vai hiperkuba malas ir 1, tad tas ir vienības hiperkubs, kurā garākā diagonāle ir √n.
3. attēls. No (n-1) kuba tiek iegūts n-kubs, pagarinot to ortogonāli nākamajā dimensijā. Avots: wikimedia commons.
Kādas ir dimensijas?
Izmēri ir brīvības pakāpes vai iespējamie virzieni, kādos objekts var pārvietoties.
0. dimensijā nav iespējas tulkot, un vienīgais iespējamais ģeometriskais objekts ir punkts.
Dimensiju Eiklīda telpā apzīmē orientēta līnija vai ass, kas definē šo dimensiju, ko sauc par X asi.Atdalījums starp diviem punktiem A un B ir Eiklīda attālums:
d = √.
Divās dimensijās atstarpi attēlo divas līnijas, kas ir savstarpēji perpendikulāras un sauktas par X asi un Y asi.
Jebkura punkta atrašanās vietu šajā divdimensiju telpā norāda tā taisnleņķa koordinātu pāris (x, y), un attālums starp jebkuriem diviem punktiem A un B ir:
d = √
Jo tā ir telpa, kurā tiek izpildīta Eiklida ģeometrija.
Trīsdimensiju telpa
Trīsdimensiju telpa ir telpa, kurā mēs pārvietojamies. Tam ir trīs virzieni: platums, augstums un dziļums.
Tukšā telpā perpendikulāri stūri dod šos trīs virzienus, un katram no tiem mēs varam saistīt asi: X, Y, Z.
Šī atstarpe ir arī eiklidiāna, un attālumu starp diviem punktiem A un B aprēķina šādi:
d = √
Cilvēki nevar uztvert vairāk kā trīs telpiskās (vai Eiklīda) dimensijas.
Tomēr no stingri matemātiskā viedokļa ir iespējams definēt n-dimensijas Eiklīda telpu.
Šajā telpā punktam ir koordinātas: (x1, x2, x3,… .., xn), un attālums starp diviem punktiem ir:
d = √.
Ceturtā dimensija un laiks
Patiešām, relativitātes teorijā laiks tiek traktēts kā vēl viena dimensija, un ar to ir saistīta koordināta.
Bet ir jāprecizē, ka šī ar laiku saistītā koordināta ir iedomāts skaitlis. Tāpēc divu punktu vai notikumu atdalīšana telpā-laikā nav eiklidiāna, bet drīzāk seko Lorenca metrikai.
Četru dimensiju hiperkubs (tesseraktīvs) nedzīvo telpā laikā, tas pieder pie četrdimensiju Eiklīda hipertelpas.
4. attēls. Četrdimensiju hiperkuba 3D projekcija vienkāršā pagriešanā ap plakni, kas sadala figūru no priekšas uz kreiso, atpakaļ uz labo un no augšas uz leju. Avots: Wikimedia Commons.
Hiperkuba koordinātas
N-kuba virsotņu koordinātas, kuru centrā ir izcelsme, iegūst, veicot visas iespējamās šādas izteiksmes permutācijas:
(a / 2) (± 1, ± 1, ± 1,…., ± 1)
Kur a ir malas garums.
-A n malas n-kuba tilpums ir: (a / 2) n (2 n ) = a n .
-Garākā diagonāle ir attālums starp pretējām virsotnēm.
-Šīs ir kvadrātā pretējas virsotnes : (-1, -1) un (+1, +1).
-Un kubā : (-1, -1, -1) un (+1, +1, +1).
-The garākā diagonāle par n-kuba pasākumu:
d = √ = √ = 2√n
Šajā gadījumā tika pieņemts, ka puse ir a = 2. N-veida kubam jebkuram tas būs:
d = a√n.
- Tesseraktam ir katra no 16 virsotnēm, kas savienotas ar četrām malām. Šajā attēlā parādīts, kā virsotnes ir savienotas tekstā.
5. attēls. Parādītas četrdimensiju hiperkuba 16 virsotnes un to savienošanas veids. Avots: Wikimedia Commons.
Hiperkuba atlocīšana
Regulāru ģeometrisku figūru, piemēram, daudzskaldni, var izlocīt vairākās mazāka izmēra figūrās.
2 kubu (kvadrātu) gadījumā to var sadalīt četros segmentos, tas ir, četros 1 kubā.
Līdzīgi 3 kubu var izlocīt sešos 2 kubiņos.
6. attēls. N-kubu var salocīt vairākos (n-1) kubos. Avots: Wikimedia Commons.
4 kubu (tesseraktu) var izlocīt astoņos 3 kubiņos.
Šī animācija parāda teksta atvēršanu.
7. attēls. Četru dimensiju hiperteksu var salocīt astoņos trīsdimensiju kubiņos. Avots: Wikimedia Commons.
8. attēls. Četru dimensiju hiperkuba trīsdimensiju projekcija, veicot dubultu pagriešanos ap divām taisnleņķa plaknēm. Avots: Wikimedia Commons.
Atsauces
- Zinātniskā kultūra. Hiperkubs, vizualizējot ceturto dimensiju. Atgūts no: culturac Scientifica.com
- Epsilons. Četru dimensiju hiperkubs vai tesserakts. Atgūts no: epsilones.com
- Perezs R, Aguilera A. Metode, lai iegūtu tekstu no hiperkuba (4D) izstrādes. Atgūts no: researchgate.net
- Wikibooks. Matemātika, daudzskaldne, hiperkubi. Atgūts no: es.wikibooks.org
- Wikipedia. Hiperkubs. Atgūts no: en.wikipedia.com
- Wikipedia. Tesseract. Atgūts no: en.wikipedia.com