HEPTADECAGON: ĪPAŠĪBAS, DIAGONĀLES, PERIMETRS, LAUKUMS - MATEMĀTIKA - 2025

Heptadecagon ir regulārs daudzstūris ar 17 malām un 17 virsotnes. Tās konstrukciju var veikt eiklīda stilā, tas ir, izmantojot tikai lineālu un kompasu. Tas bija lielais matemātikas ģēnijs Karls Frīdrihs Gauss (1777-1855), tikko 18 gadu vecs, kurš 1796. gadā atrada tā uzbūves kārtību.

Acīmredzot, Gauss vienmēr bija ļoti noskaņots uz šo ģeometrisko figūru, tādā mērā, ka no dienas, kad viņš atklāja tās uzbūvi, viņš nolēma būt matemātiķis. Tiek arī teikts, ka viņš gribēja, lai heptadekagonu iegravētu uz viņa kapa pieminekļa.

1. attēls. Heptadekagons ir regulārs daudzstūris ar 17 malām un 17 virsotnēm. Avots: F. Zapata.

Gauss arī atrada formulu, lai noteiktu, kuriem regulārajiem daudzstūriem ir lineālu un kompasu konstruējamība, jo dažiem nav precīzas Eiklīda konstrukcijas.

Heptadekagona raksturojums

Runājot par tā īpašībām, tāpat kā jebkuram daudzstūrim, ir svarīga tā iekšējo leņķu summa. Parastā daudzstūrī ar n malām summu izsaka:

Šī summa, izteikta radiānos, izskatās šādi:

No iepriekšminētajām formulām var viegli secināt, ka katram heptadekagona iekšējam leņķim ir precīzs lielums α, ko aprēķina:

No tā izriet, ka iekšējais leņķis aptuveni ir:

Diagonāles un perimetrs

Diagonāles un perimetrs ir citi svarīgi aspekti. Jebkurā daudzstūrī diagonāļu skaits ir:

D = n (n - 3) / 2, un heptadekagonā, piemēram, n = 17, mums tad ir D = 119 diagonāles.

No otras puses, ja ir zināms katras heptadekagona malas garums, parastā heptadekagona perimetru nosaka, vienkārši pievienojot 17 reizes lielāku garumu vai to, kas ir ekvivalents 17 reizes lielākai par katras puses garumu d:

P = 17 d

Heptadekagona perimetrs

Dažreiz ir zināms tikai heptadekagona rādiuss r, tāpēc ir jāizstrādā šī gadījuma formula.

Šajā nolūkā tiek ieviests apotemijas jēdziens. Apoteēma ir segments, kas iet no regulārā daudzstūra centra līdz vienas puses viduspunktam. Apotēma attiecībā pret vienu pusi ir perpendikulāra šai pusei (sk. 2. attēlu).

2. attēls. Parādītas regulārā daudzstūra daļas ar rādiusu r un tā apotēma. (Pašu izstrādāts)

Turklāt apotema ir leņķa bisektrise ar centrālo virsotni un malām divās secīgās daudzstūra virsotnēs, tas ļauj mums atrast sakarību starp rādiusu r un sānu d.

Ja centrālo leņķi DOE sauc par β un, ņemot vērā, ka apotēma OJ ir bisektors, mums ir EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), no kura mums ir attiecības, lai atrastu daudzstūra malas d garumu d. zināms tā rādiuss r un centrālais leņķis β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Heptadekagonam β = 360º / 17 mums ir:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Visbeidzot tiek iegūta formula heptadekagona perimetram, kas zināms ar tā rādiusu:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6,2475 r

Heptadekagona perimetrs ir tuvu perimetram, kurš to apzīmē, bet tā vērtība ir mazāka, tas ir, apzīmētā apļa perimetrs ir Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Apgabals

Lai noteiktu heptadekagona laukumu, mēs atsauksimies uz 2. attēlu, kurā parādītas regulārā daudzstūra ar n malām malas un apotēma. Šajā attēlā trijstūra EOD laukums ir vienāds ar pamatni d (daudzstūra puse), reizinot ar augstumu a (daudzstūra apotēmiju), dalītu ar 2:

EOD laukums = (dxa) / 2

Tātad, zinot heptadekagona apotēmu a un tā d pusi, tā laukums ir:

Sešstūra lielums = (17/2) (dxa)

Platība ar sānu

Lai iegūtu formulu heptadekagona laukumam, zinot tā septiņpadsmit malu garumu, ir jāatrod saistība starp apotemes a garumu un sānu d.

Atsaucoties uz 2. attēlu, iegūst šādas trigonometriskās attiecības:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, kur β ir centrālā leņķa DOE. Tātad apotēmiju a var aprēķināt, ja ir zināms daudzstūra malas garums d un centrālais leņķis β:

a = (d / 2) Kotāns (β / 2)

Ja šo izteicienu tagad aizstāj ar apotemiju, tad iepriekšējā sadaļā iegūtā heptadekagona laukuma formulā mums ir:

Heptadekagana laukums = (17/4) (d ² ) Kotāns (β / 2)

Heptadekagonam ir β = 360º / 17, tāpēc mums beidzot ir vēlamā formula:

Heptadekagana laukums = (17/4) (d ² ) Kotāns (180º / 17)

Apgabals ar rādiusu

Iepriekšējās sadaļās tika atrasta saistība starp regulārā daudzstūra sānu d un tā rādiusu r, šīs attiecības ir šādas:

d = 2 r Sen (β / 2)

Šis d izteiciens tiek ievietots izteiksmē, kas iegūta iepriekšējā iedaļā par apgabalu. Ja tiek veikti attiecīgi aizstājumi un vienkāršojumi, iegūst formulu, kas ļauj aprēķināt heptadekagona laukumu:

Heptadekagana laukums = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Aptuvenais apgabala izteiciens ir:

Heptadekagonu laukums = 3,0706 (r ² )

Kā sagaidāms, šis laukums ir nedaudz mazāks nekā zonā apļa uz heptadecagon A _Circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Precīzāk sakot, tas ir par 2% mazāk nekā tā noteiktais aplis.

Piemēri

1. piemērs

Lai atbildētu uz jautājumu, ir jāatceras attiecības starp regulārā n-veida daudzstūra sānu un rādiusu:

d = 2 r Sen (180º / n)

Hptadekagonam n = 17, tā, ka d = 0,3675 r, tas ir, heptadekagona rādiuss ir r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm vai

10,8844 cm diametrā.

2 cm sānu heptadekagona perimetrs ir P = 17 * 2 cm = 34 cm.

2. piemērs

Mums jāatsaucas uz formulu, kas parādīta iepriekšējā sadaļā, kas ļauj mums atrast heptadekagona laukumu, ja tam ir malas garums d:

Heptadekagana laukums = (17/4) (d ² ) / dzeltenbrūns (180º / 17)

Aizvietojot d = 2 cm iepriekšējā formulā, mēs iegūstam:

Platība = 90,94 cm

Atsauces

1. CEA (2003). Ģeometrijas elementi: ar vingrinājumiem un kompasa ģeometriju. Medeljinas Universitāte.
2. Kamposs, F., Cerecedo, FJ (2014). Matemātika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atbrīvots, K. (2007). Atklājiet daudzstūrus. Izglītības uzņēmuma etalons.
4. Hendriks, V. (2013). Ģeneralizētie daudzstūri. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matemātikas pirmais semestris Tacaná. IGER.
6. Jr ģeometrija. (2014). Daudzstūris. Lulu Press, Inc.
7. Millers, Heerēns un Hornsbijs. (2006). Matemātika: pamatojums un pielietojums (desmitais izdevums). Pīrsona izglītība.
8. Patiño, M. (2006). Matemātika 5. Redakcija Progreso.
9. Sada, M. 17-pusīgs parastais daudzstūris ar lineālu un kompasu. Atgūts no: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Atgūts no: es.wikipedia.com